基于小波和分数阶傅里叶变换的混沌图像加密

李琼+胡绍海+邱禧荷

摘 要：为了进一步提高加密效果和效率，本文提出一种基于小波分解和分数阶傅里叶变换的混沌图像加密方法。加密过程包括三个步骤：首先利用混沌序列对图像进行像素值扰乱；然后进行小波分解并提取出低频分量，对其进行分数阶傅里叶变换；最后进行混沌置乱得到最终加密图像。仿真结果表明该方法能够成功实现图像的加密和解密，具有很好的加密效果和安全性。

关键词：分数阶傅里叶变换；小波分解；混沌加密；Logistic映射；二维猫映射

中图分类号：TN911 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）01（b）-0000-00

数字图像是是目前最流行的多媒体形式之一，许多重要信息要以数字图像的形式传输。对于某些特殊领域，如军事、商业等，数字图像有着较高的保密要求。因此图像加密技术越来越受到人们的关注，各种加密方案也相继提出。

由于分数阶傅里叶对变换阶次非常敏感[1]，基于FRFT的图像加密算法不断涌现[2，3]。但是和空域图像加密算法（如混沌系统加密）相比，由于其仅仅是对分数阶域中少量系数加密，加密效果稍有降低。于是出现了将FRFT与混沌系统结合起来的加密方法[4，5，6]，其中最常用的混沌加密可分为为像素置乱和像素值扰乱两种。

为了提高加密效率，本文将小波分解引入加密算法。针对目前基于FRFT加密算法的不足，本文基于小波和FRFT [7]提出了一种混沌图像的多重加密方法。首先，用Logistic映射对图像在空域进行像素值扰乱；然后进行小波分解，由于图像经小波分解后的低频分量集中了原始图像的大部分信息，所以只对图像的低频分量做分数阶傅里叶变换，以提高加密效率；最后对小波重构图像进行二维猫映射置乱，从而实现图像的多重加密，提高加密效果。

1 相关理论

1.1基于二维猫映射的像素置乱

猫映射是图像置乱中最基本的一个算法，因用一张猫脸作仿真试验而得名。二维猫映射定义如下：

（1）

式中a、b为整数，N为图像方阵的大小，且式（1）是一一映射。

图像在猫映射的置乱下，经过线性拉伸再通过取模的运算进行折叠，达到像素位置变换的目的，利用式（1）经过多次迭代运算便可实现图像的置乱变换。

该方法的优缺点是：计算速度快、易于实现，但是在重复迭代的过程中会呈现周期性，即庞加莱回复性，且该加密方法只是将原始图像每个像素的位置置乱，其像素值并未改变，较易通过用统计分析方法解密。

1.2 基于混沌序列的像素值扰乱

混沌系统具有随机性、非周期性、遍历性以及对初始条件和控制系数敏感性高等特点，因此非常适用于数据的加密。产生混沌信号的迭代方程有很多，比较典型的有Logistic、Henon和Quadratic等混沌映射方程。本文选用Logistic映射完成图像像素值的扰乱。

Logistic映射定义为

（2）

式中， 为分支参数， 为序列值。研究表明，当 时，Logistic映射工作于混沌状态。也就是说，由初始条件 在logistic映射的作用下所产生的序列 是非周期的、不收敛的且对初始值非常敏感。

设原图像I的大小为 ，选取参数 与初始值 由式（2）生成一组混沌序列，并选取舍去参数 ，从 开始取 个序列并将其转换成 的矩阵 。根据Logistic混沌的特点可知 ，对 按照式（3）做相应地变换得到像素扰乱矩阵 且 。对原图像I中的每个像素的像素值 与 做按位异或运算，得到像素值被扰乱的加密图像 。

（3）

该方法的优缺点是：易于实现，使加密图像的灰度直方图分布更加均匀，但是单一的像素值扰乱加密，在较充裕的时间內也较易通过密钥攻击的方法破译。

1.3 小波变换

小波变换是一种空间频率的局部化分析工具，又被称作“数学显微镜”，可以表示为信号与某个核函数修正形式乘积的积分计算。连续小波变换定义为

（4）

积分核 是由小波母函数 通过伸缩平移得到一组小波基函数

（5）

小波基函数的容许条件为：

（6）

式中， 。

在图像处理中可以利用二维离散小波变换对图像进行加密，在加密图像中得不到原图像任何信息。只有在小波类型和分解层数都已知的情况下才可以正确解密，部分密钥只能得到图像的轮廓信息。

该方法的优缺点是：加密效率得到提高，破坏了原始图像的统计特性，降低了图像像素之间的相关性，但是和空域图像加密算法相比，加密效果稍有降低。

1.4 分数阶傅里叶变换

分数阶傅里叶变换是傅里叶变换的广义形式，可以看成是在时频平面任意角度的逆时针旋转[1]。

的FRFT定义为

（7）

其中p为变换阶数，旋转角度 ， 为FRFT的核函数。且

（8）

在处理数字图像时，需要使用FRFT的二维离散化算法。二维分数阶傅里叶变换定义为

（9）

二维变换核是可分离的， 、 分别为x和y方向的变换阶数。由于变换阶次可以作为两个密钥，将FRFT应用到图像加密可以进一步加强图像的安全性。

该方法能够较好的隐藏原图像统计特性，有效抵抗对加密图像统计特性的破译攻击，但是只经过FRFT加密后图像呈现一定的可识别性（如图1所示），故不宜单独使用。

2 加密算法

本文提出的基于小波和分数阶傅里叶变换的混沌图像加密算法流程如图2所示。

具体实现步骤描述如下：

（1） 像素值扰乱：输入原图像，选取合适的密钥 、 、 进行Logistic像素值扰乱，得到加密图像 。

（2） 小波分解：选取小波对图像 进行小波分解，提取出低频分量 作为后续加密的输入图像。

（3） 分数阶傅里叶变换：对 进行二维不对称离散分数阶傅里叶变换，将加密的低频分量和水平细节分量、垂直细节分量以及对角细节分量进行小波逆变换合成二次加密图像 。

（4） 混沌置乱：对 进行二维猫映射置乱，置乱次数为 ，得到三次加密图像 。

解密过程即将以上加密过程逆向实现。

由上述加密步骤可知，该加密方法的四组密钥分别为：（1）混沌序列初值 、分叉参数 和舍去参数 （2）小波类型与分解尺度（3）分数阶次 和 （4）猫映射置乱矩阵 和置乱次数 。可见该方法的密钥空间是无穷大的，只有所有的密钥都正确时，图像才能被正确解密。

相比文献[7]，本方法先对图像进行小波分解，只对小波变换后的低频分量进行FRFT，降低了计算复杂度，加密速度也得到了提高。文献[4-7]均用到混沌置乱，但只是将像素的位置置乱，其像素值并未改变，本方法引入基于Logistic映射的像素值扰乱，使得加密图像的灰度直方图分布更加均匀。

3 仿真结果

3.1 加密解密效果

采用本文算法对灰度图像“lena.bmp”进行加密处理，图像尺寸为256 256。实际加密中，密钥参数可以在一定范围内任意选取，本文实验中选取混沌序列初值 、分叉参数 、舍去参数 ；db1小波进行单层分解；分数阶次 ， ；置乱映射参数 且置乱次数 。

图3（a）为原始图像，图3（b）为像素值扰乱后的加密图像，图3（c）为图像小波分解之后各个分量的图像，图3（d）为选取的低频分量，图3（e）为低频分量经过FRFT后的图像，图3（f）为加密图像，图3（g）为经过解密得到的一重解密图像，图3（h）为经过解密得到的二重解密图像。图3（i）为经过解密得到的三重解密图像。图3（j）为最终解密图像。

3.2 密钥分析实验

为了测试密钥的敏感性，在对图像解密过程中，置乱次数出错时，解密图像如图4（a）所示；小波类型错误时，解密图像如图4（b）所示；分数阶次 错误时，解密图像如图4（c）所示， 错误时，解密图像如图4（d）所示；Logistic序列初始值 错误时，解密图像如图4（e）所示。从解密图像来看，本文方法密钥空间大，其中任何一组密钥错误都无法解密出正确的图像，保密性更高。

3.3 统计特性分析

图像加密的目的就是使加密图像的直方图特征难以提取以保证图像的安全。文献[7]中加密算法的明文和密文图像直方图如图5所示，本文加密算法的明文和密文图像直方图如图6所示。可以看出，原图像与加密图像的直方图具有明显不同的分布，而且本文加密图像的直方图相对于文献[7]平滑了很多。这是因为本文算法在空域实现了像素值的扰乱，同时也实现了空域和频域的置乱，使得图像的像素位置和像素值都得到了很大的扰乱，因此加密图像的直方图分布更加均匀，攻击者很难从统计特性中获得有用信息。

4 结论

本文提出了一种基于小波分解和分数阶傅里叶变换的混沌图像加密方法，实现对灰度图像的多重加密。对数字图像首先进行空域像素值扰乱，然后进行小波分解并提取其低频分量，对低频分量进行分数阶傅里叶变换，最后采用二维猫映射对重构图像进行混沌置乱，很好地置乱了像素位置和扰乱了像素值。由于小波分解的引入，有效降低了FRFT的计算复杂度，仿真实验验证了加密算法的可行性与安全性。实验结果表明，该加密算法能较好地抵抗统计分析攻击，密钥空间大、对参数敏感度高，有很好的加密效果和安全性。

参考文献：

[1] OZAKTAS H M， MENDLOVIC D. Fractional Fourier transforms and their optical implementation（Ⅱ）[J].Opt Sco AM A，1993，10（112）：2522—2531. （in English）

[2] 辛怡，陶然，王越.基于分数阶Fourier变换的数字图像实值加密方法[J].光学技术，2008，34（4）：498-502，508.

Xin Yi， Tao Ran， Wang Yue. Real-value Encryption of Digital Image Utilizing Fractional Fourier Transform[J]. Optical Technique， 2008，34（4）：498-502，508. （in Chinese）

[3] 何俊发，李俊，王红霞.不对称离散分数阶傅里叶变换实现数字图像的加密变换[J].光学技术，2005，31（3）：410—412.

He Junfa， Li Jun， Wang Hongxia. New Encrypted Transform Method for Digital Image Based on Dissymmetrical Discrete Fractional Fourier[J]. Optical Technique， 2005，31（3）：410—412. （in Chinese）

[4] 王银花，柴晓东.基于分数阶傅里叶变换的混沌图像加密方法[J].计算机工程，2007，33（12）：172-174.

Wang Yinhua， Chai Xiaodong. Image Encryption Method Based on Chaotic Sequences and Fractional Fourier Transform[J]. Computer Engineering， 2007，33（12）：172-174. （in Chinese）

[5] 杨倬，冯久超，方勇.一种基于混沌和分教阶傅里叶变换的图像加密算法[J].计算机科学，2008，35（9）：239-240，273.

Yang Zhuo， Feng Jiuchao， Fang Yong. Image Encryption Algorithm Based on Chaos and Fractional Fourier Transform[J]. Computer Science， 2008，35（9）：239-240，273. （in Chinese）

[6] 王雅庆，周尚波.基于分数阶Fourier变换的数字图像加密算法研究[J].计算机应用研究，2011，28（7）：2738—2741.

Wang Qingya， Zhou Shangbo. Research on Digital Image Encryption Algorithm Based on Fractional Fourier Transform[J]. Application Research of Computers， 2011， 28（7）：2738—2741. （in Chinese）

[7] 黄雨青，王友仁.基于分数阶小波变换的图像加密方法[J]. 科学技术与工程，2013，13（8）.

Huang Yuqing， Wang Youren. Image Encryption Method Based on Fractional Wavelet Transform[J]. Science technology and Engineering， 2013，13（8）.（in Chinese）

作者简介：

李琼，女，1988年生，籍贯河南。现就读于北京交通大学计算机与信息技术学院2011级硕士研究生，信号与信息处理专业。研究方向为：智能感知与信息处理。

Li Qiong， female， was born in 1988 at Henan province， and now is studying in School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a graduate student who was enrolled in 2011.The main research is the application of Fractional Fourier transform in the signal detection and image processing.

胡绍海，男，1964年生，籍贯江西。现任北京交通大学计算机与信息技术学院教授、博士生导师。研究方向为：智能感知与信息处理。

Hu Shaohai， male， was born in 1964 at Jiangxi province， and now is working at School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a professor and PhD supervisor. The main research is intelligent perception and information processing.

[5] 杨倬，冯久超，方勇.一种基于混沌和分教阶傅里叶变换的图像加密算法[J].计算机科学，2008，35（9）：239-240，273.

Yang Zhuo， Feng Jiuchao， Fang Yong. Image Encryption Algorithm Based on Chaos and Fractional Fourier Transform[J]. Computer Science， 2008，35（9）：239-240，273. （in Chinese）

[6] 王雅庆，周尚波.基于分数阶Fourier变换的数字图像加密算法研究[J].计算机应用研究，2011，28（7）：2738—2741.

Wang Qingya， Zhou Shangbo. Research on Digital Image Encryption Algorithm Based on Fractional Fourier Transform[J]. Application Research of Computers， 2011， 28（7）：2738—2741. （in Chinese）

[7] 黄雨青，王友仁.基于分数阶小波变换的图像加密方法[J]. 科学技术与工程，2013，13（8）.

Huang Yuqing， Wang Youren. Image Encryption Method Based on Fractional Wavelet Transform[J]. Science technology and Engineering， 2013，13（8）.（in Chinese）

作者简介：

李琼，女，1988年生，籍贯河南。现就读于北京交通大学计算机与信息技术学院2011级硕士研究生，信号与信息处理专业。研究方向为：智能感知与信息处理。

Li Qiong， female， was born in 1988 at Henan province， and now is studying in School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a graduate student who was enrolled in 2011.The main research is the application of Fractional Fourier transform in the signal detection and image processing.

胡绍海，男，1964年生，籍贯江西。现任北京交通大学计算机与信息技术学院教授、博士生导师。研究方向为：智能感知与信息处理。

Hu Shaohai， male， was born in 1964 at Jiangxi province， and now is working at School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a professor and PhD supervisor. The main research is intelligent perception and information processing.

[5] 杨倬，冯久超，方勇.一种基于混沌和分教阶傅里叶变换的图像加密算法[J].计算机科学，2008，35（9）：239-240，273.

Yang Zhuo， Feng Jiuchao， Fang Yong. Image Encryption Algorithm Based on Chaos and Fractional Fourier Transform[J]. Computer Science， 2008，35（9）：239-240，273. （in Chinese）

[6] 王雅庆，周尚波.基于分数阶Fourier变换的数字图像加密算法研究[J].计算机应用研究，2011，28（7）：2738—2741.

Wang Qingya， Zhou Shangbo. Research on Digital Image Encryption Algorithm Based on Fractional Fourier Transform[J]. Application Research of Computers， 2011， 28（7）：2738—2741. （in Chinese）

[7] 黄雨青，王友仁.基于分数阶小波变换的图像加密方法[J]. 科学技术与工程，2013，13（8）.

Huang Yuqing， Wang Youren. Image Encryption Method Based on Fractional Wavelet Transform[J]. Science technology and Engineering， 2013，13（8）.（in Chinese）

作者简介：

李琼，女，1988年生，籍贯河南。现就读于北京交通大学计算机与信息技术学院2011级硕士研究生，信号与信息处理专业。研究方向为：智能感知与信息处理。

Li Qiong， female， was born in 1988 at Henan province， and now is studying in School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a graduate student who was enrolled in 2011.The main research is the application of Fractional Fourier transform in the signal detection and image processing.

胡绍海，男，1964年生，籍贯江西。现任北京交通大学计算机与信息技术学院教授、博士生导师。研究方向为：智能感知与信息处理。

Hu Shaohai， male， was born in 1964 at Jiangxi province， and now is working at School of Computer and Information Technology， Beijing Jiaotong University as a professor and PhD supervisor. The main research is intelligent perception and information processing.