波罗的海干散货运价指数的马尔可夫链分析

毕艳芳

(上海海事大学经济管理学院，上海201306)

一、引言

波罗的海干散货指数(BDI)是投资者研究航运股的重要工具，干散货航运上市公司的股价走势与BDI紧密相关。波罗的海干散货市场运价指数即BDI，一直被认为是反映国际干散货运输市场变化的晴雨表，同时是初级商品市场价格走势的风向标。研究BDI的波动规律，对其发展趋势进行预测得到人们广泛的关注。吕靖(2002)通过对波罗的海国际干散货运价指数分别提取长期趋势项、周期波动项和季节波动项以后，建立ARMA模型，对 BFI(BDI的前身)进行了短期预测［1];徐萍(2005)采用小波分析和神经网络对BFI进行了预测研究［2];刘晶，卢春霞(2008)结合FFA市场，建立了波罗的海干散货运价指数ARMA预测模型［3];聂金龙，李序颖(2009)引入ARFIMA模型，来改进传统的ARMA预测模型［4];靳廉洁(2010)针对巴拿马型干散货船舶，进行基于支持向量机(SVM)模型的波罗的海运价指数预测研究［5];魏文臻杰，李序颖(2011)通过引入波罗的海原油运价指数BDTI这一外生变量，提出了一种ARMAX模型的短期 BDI预测方法［6]。

本文将引入马尔可夫链理论，建立BDI的马尔可夫预测模型，并据此分析BDI的短期波动变化趋势可能性［7]。

二、数学理论

1.马尔可夫链的定义

将具有“过去只影响现在，而不影响将来”特点的随机过程成为马尔可夫过程。状态离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链。符合马氏性的随机数列可用马尔可夫链进行状态预测。

则称{Xn:n≥0}为马尔可夫链，简称马氏链。

随机过程Xn:n≥{}0是马氏链的充要条件是，对于任意的 n≥1，及任意的 i1，i2，···，in，j∈S，有

2.转移概率

对于 马 氏 链{Xn:n≥0}，称P(ijn)(m)=PS为系统在时刻m时处于状态i的条件下，经过n步转移到状态j的n步转移概率。P(ijn)(m)具有以下性质:

对于齐次的马氏链Xn:n≥{}0，有

转移概率矩阵形式为

P满足:(1)所有元素非负，(2)各行元素之和为1。

3.马氏性的检验

检验随机过程是否具有马氏性，是应用马尔可夫链模型进行数据分析的首要前提。通常对于离散型的马尔可夫链是用χ2统计量来检验:

为了说明我们引入频数矩阵(nij)n×n，nij是系统从状态i转移到j状态的次数。

则统计量

4.C－K方程

对于齐次马氏链{Xn:n≥0}的n步转移概率，有

即为C－K方程，在马尔可夫链转移概率计算中起着重要作用。写成矩阵形式即:P(m+n)=P(m)P(n)，且P(n)=Pn。所以对齐次马尔可夫链来说，一步转移概率Pij就可以确定所有的n步转移概率，即

这对于应用马尔可夫链来进行预测有关键意义。

二、马尔可夫链分析模型的建立

1.数据选取与状态划分

波罗的海干散货运价指数BDI随着时间而不断变化，形成时间序列数据。这里选取2013年12月2日至2014年3月5日的BDI数据(来源Clarkson SIN数据)。

因为BDI一直被认为是反映国际干散货运输市场变化的晴雨表，也为简化分析，将状态划分为“上涨”“持平”“下跌”三种状态［8]，具体划分法如下:

(1)将BDI数据进行差分处理;

(2)状态划分标准:指数上涨超过20点，为状态1，称为“上涨”;指数上涨或者下跌在20点范围内，为状态2，称为“持平”;指数下跌超过20点，为状态3，称之为“下跌”。故状态空间S=1，2，{}3。

(3)据上述标准进行状态划分，得到如下结果(见表1).

表1 2013年12月2日至2014年3月5日的BDI情况

2.检验马尔科夫性

用nij表示BDI从状态i转移到j状态的次数，通过计算得到频数矩阵(nij)n×n:

将频数矩阵的第j列之和除以各行各列的总和，由公式(5)得到，并计算得到

由公式计算得到χ2=60.44257，取α=0.05，查表得χ2(3－1)=5.991，所以此过程是马氏链过程，具有马氏性［9]。

3.转移概率矩阵计算

由表1可知，最后一天的状态为1，而没有出现状态转移，故出现状态1的次数为18－1=17次，其中由状态1转1的次数为11次，即转移概率;状态1转2的次数为5次，即转移概率;状态1转3的次数为1次，即转移概率同理可计算得到

由此可得，该BDI状态的一步转移概率矩阵:

因此利用表1资料预测以后交易日的情况，由于马氏性和齐次性，我们用第61个交易日的状态为初始状态，由表1可知，2014年3月5日的数据落在状态1区间内，即初始分布为P(0)=(1 0 0 )，利用模型(7)式，可计算得第62个交易日的BDI状态概率情况:

经计算表明，第62个交易日的BDI指数上涨超过20个点的概率为64.71%，指数变动在－20到20范围内的概率为29.41%，指数下降超过20个点的概率为5.88%。

第59个交易日的BDI状态概率情况:

第60个交易日的BDI状态概率情况:

第60个交易日的BDI状态概率情况:

这样，只要稳定条件不变，即一步转移概率不变，以后各个交易日的状态都可预测分析［10]。

三、马尔可夫链分析结果说明

据以上分析可知，随着交易日的增加，BDI指数上涨超过20点的可能性在不断下降，其他两个状态出现的可能性在上升，这与现实情况一致。越远期越是难预测，出现三种状态的可能性将会差不多。同时，需要说明的是，BDI指数除了受市场因素影响之外，还会受到其他很多外界因素的影响，不能保证转移概率矩阵不变，因此本方法适宜于对BDI进行短期预测分析，为波罗的海干散货运价指数的科学预测提供新的思路。

［1] 吕靖.海运价格指数的波动规律［J] .大连海事大学学报，2003(2).

［2] 徐萍.基于小波分析和神经网络的BFI预测研究［D] .大连海事大学，2005.

［3] 刘晶，卢春霞.波罗的海干散货运价指数预测模型分析［J] .航海技术，2008(5).

［4] 聂金龙，李序颖.波罗的海干散货运价指数的ARFIMA模型研究［J] .中国水运，2009(4).

［5] 靳廉洁.基于支持向量机的干散货运价指数预测研究［D] .大连海事大学，2010(6).

［6] 魏文臻杰，李序颖.基于ARMAX模型的短期BDI预测［J] .物流工程与管理，2012(1).

［7] 李龙锁 .随机过程［M] .北京;科学出版社，2011.

［8] 韦丁源.股市大盘指数的马尔科夫链预测法［J] .广西广播电视大学学报，2008(9).

［9] 叶宗文.股票价格的马氏链预测法［J] .重庆师范大学学报，2006(3).

［10] 孟银凤，李荣华.股票价格的马氏链预测模型［J] .数学理论与应用，2010(9).