浅谈数学教学中的求解策略

顾学冲

摘要：向量运算中如何求解实参数或数量积的取值范围问题是高考试题中的热点问题，也是考查学生数学能力的重要题型，学生在学习中感觉比较困难，因此选择正确的思维策略，对减轻学生负担，提高数学思维能力是至关重要的。本文阐述了处理这一类问题的四种不同策略。

关键词：向量运算；取值范围；求解策略

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）18-082-1一、特殊值探路，寻求解题途径

有关取值范围问题是一个变化的问题，在没有确定它的求解方法之前，可以对试题进行必要的研究，考虑到取值范围的上下界，一般都是在某些特殊位置取得，因此考查特殊位置关系时相应的值，一般可以求得问题的正确答案，进一步由此寻找到问题求解的途径。

例1如图1所示，已知扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=1，点P是弧AB上的一点，OP=xOA+yOB，求x+y的取值范围。

分析：由于P是一个动点，随着P点的移动，对应x、y的值也在不断变化。考虑到x+y取得最值的时候可能是P在A或B的位置，或在弧AB的中点位置，因此我们可以考察上述特殊位置时x、y的值。

当P在A点位置时，x=1，y=0，这时x+y=1；当P在B点位置时，x=0，y=1，这时x+y=1；当P在弧AB的中点位置时，如图2所示，这时四边形AOBP恰好是一个菱形，这时x=1，y=1，这时x+y=2，由此可知x+y的取值范围是[1，2]。

由上述特殊位置的探索，联想到无论P如何运动，OP的长度始终是不变的，这就为我们寻找到正确的解题方法提供了有效途径。

二、引入新元素，变换求解思路

取值范围问题一般是一个动态的变量问题，要考虑一个变量的取值范围或最值，应该从引起变动的原因入手，寻找变动的根源，由此引入新的变量，从而将问题转化为新元的函数问题或其他问题，进一步使得问题得到有效解决。

例2在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），动点D满足|CD|=1，则|OA+OB+OD|的最大值是（2014高考湖南卷）

分析：由题意可知A、B、D三个点中只有D是一个动点，因此|OA+OB+OD|的最值只与D点的位置有关。又因为|CD|=1，所以点D的轨迹为以C为圆心，半径为1的圆，由此我们可以考虑引入一个新的元素∠DOx=θ，于是问题就转化为关于新元素θ的函数问题，从而可以求得|OA+OB+OD|的最大值。

三、建立坐标系，向量问题实数化

向量的加减运算是一个几何范畴的问题，如果局限于向量运算的三角形法则或平行四边形法则，有时不但运算繁琐，而且不容易理解。如果我们基于题设条件，建立适当的坐标系，就可以将向量的加减运算转化为坐标运算，进一步转化为实数运算，从而使问题得到有效解决。

例3如图3所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC=λDE+μAP，则λ+μ的最小值为。

分析：由题意可知AC、DE都是定向量，只有AP是一个变动的向量，而从图形中无法直接得到三个向量AC、DE、AP的线性关系，由于向量AP的模是一个定值，且A是定点，故向量AP只与∠BAP有关，因此可以考虑将∠BAP设计为新元素θ，结合向量的坐标运算，将λ+μ转化为实数θ的函数，再求出它的最值。

四、知识巧迁移，化归为其他问题求解

取值范围问题有时会由多个运动的点或其他变化的量形成。由于变量较多，仅在向量运算范围内求解，显然是有较大困难的。这时如果我们将不同的量巧妙地转化为新的元素，实现不同章节的知识的有效迁移，将向量中的最值问题，化归为新元素的不等（或相等）关系，再结合不等式或其他的相应知识，就可以使得问题得到解决。

例4已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且|MN|≤1，∠MON=α，则|OM|·|ON|cosα的取值范围是。

分析：注意到|OM|·|ON|cosα就是OM·ON，而点O是一个定点，所以OM·ON与M、N两点的位置有关，从而可以将OM·ON表示为M、N两点相应位置的关系式，由于|MN|≤1表示的是一个圆面，再结合线性规划的知识就可以求出OM·ON的最值。

向量运算中的取值范围问题，有时仅考查向量有关的内容，更多的只是以向量内容作为平台，考查函数、三角函数、导数、不等式、解析几何等知识。要顺利完成这一类试题的求解，除需要熟悉向量的相关内容，并且能够熟练应用以外，还应借它山之石，灵活运用其他章节的相关知识，才能顺利完成向量中有关取值范围的试题的求解。endprint

摘要：向量运算中如何求解实参数或数量积的取值范围问题是高考试题中的热点问题，也是考查学生数学能力的重要题型，学生在学习中感觉比较困难，因此选择正确的思维策略，对减轻学生负担，提高数学思维能力是至关重要的。本文阐述了处理这一类问题的四种不同策略。

关键词：向量运算；取值范围；求解策略

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）18-082-1一、特殊值探路，寻求解题途径

有关取值范围问题是一个变化的问题，在没有确定它的求解方法之前，可以对试题进行必要的研究，考虑到取值范围的上下界，一般都是在某些特殊位置取得，因此考查特殊位置关系时相应的值，一般可以求得问题的正确答案，进一步由此寻找到问题求解的途径。

例1如图1所示，已知扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=1，点P是弧AB上的一点，OP=xOA+yOB，求x+y的取值范围。

分析：由于P是一个动点，随着P点的移动，对应x、y的值也在不断变化。考虑到x+y取得最值的时候可能是P在A或B的位置，或在弧AB的中点位置，因此我们可以考察上述特殊位置时x、y的值。

当P在A点位置时，x=1，y=0，这时x+y=1；当P在B点位置时，x=0，y=1，这时x+y=1；当P在弧AB的中点位置时，如图2所示，这时四边形AOBP恰好是一个菱形，这时x=1，y=1，这时x+y=2，由此可知x+y的取值范围是[1，2]。

由上述特殊位置的探索，联想到无论P如何运动，OP的长度始终是不变的，这就为我们寻找到正确的解题方法提供了有效途径。

二、引入新元素，变换求解思路

取值范围问题一般是一个动态的变量问题，要考虑一个变量的取值范围或最值，应该从引起变动的原因入手，寻找变动的根源，由此引入新的变量，从而将问题转化为新元的函数问题或其他问题，进一步使得问题得到有效解决。

例2在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），动点D满足|CD|=1，则|OA+OB+OD|的最大值是（2014高考湖南卷）

分析：由题意可知A、B、D三个点中只有D是一个动点，因此|OA+OB+OD|的最值只与D点的位置有关。又因为|CD|=1，所以点D的轨迹为以C为圆心，半径为1的圆，由此我们可以考虑引入一个新的元素∠DOx=θ，于是问题就转化为关于新元素θ的函数问题，从而可以求得|OA+OB+OD|的最大值。

三、建立坐标系，向量问题实数化

向量的加减运算是一个几何范畴的问题，如果局限于向量运算的三角形法则或平行四边形法则，有时不但运算繁琐，而且不容易理解。如果我们基于题设条件，建立适当的坐标系，就可以将向量的加减运算转化为坐标运算，进一步转化为实数运算，从而使问题得到有效解决。

例3如图3所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC=λDE+μAP，则λ+μ的最小值为。

分析：由题意可知AC、DE都是定向量，只有AP是一个变动的向量，而从图形中无法直接得到三个向量AC、DE、AP的线性关系，由于向量AP的模是一个定值，且A是定点，故向量AP只与∠BAP有关，因此可以考虑将∠BAP设计为新元素θ，结合向量的坐标运算，将λ+μ转化为实数θ的函数，再求出它的最值。

四、知识巧迁移，化归为其他问题求解

取值范围问题有时会由多个运动的点或其他变化的量形成。由于变量较多，仅在向量运算范围内求解，显然是有较大困难的。这时如果我们将不同的量巧妙地转化为新的元素，实现不同章节的知识的有效迁移，将向量中的最值问题，化归为新元素的不等（或相等）关系，再结合不等式或其他的相应知识，就可以使得问题得到解决。

例4已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且|MN|≤1，∠MON=α，则|OM|·|ON|cosα的取值范围是。

分析：注意到|OM|·|ON|cosα就是OM·ON，而点O是一个定点，所以OM·ON与M、N两点的位置有关，从而可以将OM·ON表示为M、N两点相应位置的关系式，由于|MN|≤1表示的是一个圆面，再结合线性规划的知识就可以求出OM·ON的最值。

向量运算中的取值范围问题，有时仅考查向量有关的内容，更多的只是以向量内容作为平台，考查函数、三角函数、导数、不等式、解析几何等知识。要顺利完成这一类试题的求解，除需要熟悉向量的相关内容，并且能够熟练应用以外，还应借它山之石，灵活运用其他章节的相关知识，才能顺利完成向量中有关取值范围的试题的求解。endprint

摘要：向量运算中如何求解实参数或数量积的取值范围问题是高考试题中的热点问题，也是考查学生数学能力的重要题型，学生在学习中感觉比较困难，因此选择正确的思维策略，对减轻学生负担，提高数学思维能力是至关重要的。本文阐述了处理这一类问题的四种不同策略。

关键词：向量运算；取值范围；求解策略

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）18-082-1一、特殊值探路，寻求解题途径

有关取值范围问题是一个变化的问题，在没有确定它的求解方法之前，可以对试题进行必要的研究，考虑到取值范围的上下界，一般都是在某些特殊位置取得，因此考查特殊位置关系时相应的值，一般可以求得问题的正确答案，进一步由此寻找到问题求解的途径。

例1如图1所示，已知扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=1，点P是弧AB上的一点，OP=xOA+yOB，求x+y的取值范围。

分析：由于P是一个动点，随着P点的移动，对应x、y的值也在不断变化。考虑到x+y取得最值的时候可能是P在A或B的位置，或在弧AB的中点位置，因此我们可以考察上述特殊位置时x、y的值。

当P在A点位置时，x=1，y=0，这时x+y=1；当P在B点位置时，x=0，y=1，这时x+y=1；当P在弧AB的中点位置时，如图2所示，这时四边形AOBP恰好是一个菱形，这时x=1，y=1，这时x+y=2，由此可知x+y的取值范围是[1，2]。

由上述特殊位置的探索，联想到无论P如何运动，OP的长度始终是不变的，这就为我们寻找到正确的解题方法提供了有效途径。

二、引入新元素，变换求解思路

取值范围问题一般是一个动态的变量问题，要考虑一个变量的取值范围或最值，应该从引起变动的原因入手，寻找变动的根源，由此引入新的变量，从而将问题转化为新元的函数问题或其他问题，进一步使得问题得到有效解决。

例2在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），动点D满足|CD|=1，则|OA+OB+OD|的最大值是（2014高考湖南卷）

分析：由题意可知A、B、D三个点中只有D是一个动点，因此|OA+OB+OD|的最值只与D点的位置有关。又因为|CD|=1，所以点D的轨迹为以C为圆心，半径为1的圆，由此我们可以考虑引入一个新的元素∠DOx=θ，于是问题就转化为关于新元素θ的函数问题，从而可以求得|OA+OB+OD|的最大值。

三、建立坐标系，向量问题实数化

向量的加减运算是一个几何范畴的问题，如果局限于向量运算的三角形法则或平行四边形法则，有时不但运算繁琐，而且不容易理解。如果我们基于题设条件，建立适当的坐标系，就可以将向量的加减运算转化为坐标运算，进一步转化为实数运算，从而使问题得到有效解决。

例3如图3所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC=λDE+μAP，则λ+μ的最小值为。

分析：由题意可知AC、DE都是定向量，只有AP是一个变动的向量，而从图形中无法直接得到三个向量AC、DE、AP的线性关系，由于向量AP的模是一个定值，且A是定点，故向量AP只与∠BAP有关，因此可以考虑将∠BAP设计为新元素θ，结合向量的坐标运算，将λ+μ转化为实数θ的函数，再求出它的最值。

四、知识巧迁移，化归为其他问题求解

取值范围问题有时会由多个运动的点或其他变化的量形成。由于变量较多，仅在向量运算范围内求解，显然是有较大困难的。这时如果我们将不同的量巧妙地转化为新的元素，实现不同章节的知识的有效迁移，将向量中的最值问题，化归为新元素的不等（或相等）关系，再结合不等式或其他的相应知识，就可以使得问题得到解决。

例4已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且|MN|≤1，∠MON=α，则|OM|·|ON|cosα的取值范围是。

分析：注意到|OM|·|ON|cosα就是OM·ON，而点O是一个定点，所以OM·ON与M、N两点的位置有关，从而可以将OM·ON表示为M、N两点相应位置的关系式，由于|MN|≤1表示的是一个圆面，再结合线性规划的知识就可以求出OM·ON的最值。

向量运算中的取值范围问题，有时仅考查向量有关的内容，更多的只是以向量内容作为平台，考查函数、三角函数、导数、不等式、解析几何等知识。要顺利完成这一类试题的求解，除需要熟悉向量的相关内容，并且能够熟练应用以外，还应借它山之石，灵活运用其他章节的相关知识，才能顺利完成向量中有关取值范围的试题的求解。endprint