《实变函数》教学中的几个难点解析

摘要：针对勒贝格积分和黎曼积分的关系以及几条重要概念和定理，教师进行了详细地解析，从而大大降低了实变函数的难度和抽象性，改善了课堂的教学效果，以便学生更快更好地掌握《实变函数》这门核心课程。

关键词：勒贝格积分；黎曼积分；实变函数

中图分类号：G42 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）09-0247-02

《实变函数》是数学专业重要的分析基础课之一，它为学生进一步学习其他数学分支如泛函分析、函数论、微分方程、概率论等提供了必不可少的基础知识。现在《实变函数》已经成为大学数学院系中的必修课程，在整个本科教学中起着十分重要的作用[1-5]。《实变函数》也是本科教学中学生普遍反映的学习难度较大的重要课程之一，如何教好这门课程目前已经成了国内同行们关注的焦点。本文主要对勒贝格积分和黎曼积分的关系以及几条较难理解的重要概念和定理进行了详细地解析，大大降低了实变函数的难度和抽象性，以便学生更快更好地掌握《实变函数》这门专业核心课程。

在实际教学中笔者发现，很多学生不明白实变函数与数学分析之间的区别和联系，从而严重挫伤了他们学习《实变函数》课程的积极性。笔者在实际教学中强调数学分析中学到的是黎曼积分，实变函数中学到的是勒贝格积分，并通过以下六条对黎曼积分和勒贝格积分进行了详细的对比。

1.黎曼积分的可积函数范围太小，即使像Dirichlet函数这样形式上比较简单的函数也不是黎曼可积函数，只有几乎处处连续的函数才是黎曼可积函数。此外黎曼可积函数形成的函数空间是不完备的，而完备性对函数空间是十分必要的。勒贝格积分不仅会大大扩大可积函数的范围，使得Dirichlet函数也是可积函数，而且勒贝格可积函数是基本上连续的，范围要比黎曼可积函数大得多，另外由勒贝格可积函数形成的函数空间是完备的。

2.黎曼积分只能定义在有界闭区间[a，b]或n维欧式空间的有界闭连通区域上，而很多特殊的集合如[a，b]的有理数集或无理数集都无法充当黎曼积分的积分区域，所以黎曼积分的积分区域范围太小。此外黎曼积分的积分区域是用约当测度测量的，而约当测度只具备有限可加性。勒贝格积分不仅会大大扩大积分区域的范围，因为它的积分区域是用勒贝格测度测量的，而且勒贝格测度则具备可数可加性。

3.从积分性质角度出发，则可以看出勒贝格积分具备绝对可积性而黎曼积分不具备；勒贝格积分具备积分区域的可数可加性，而黎曼积分只具备积分区域的有限可加性。

4.积分与极限换序中黎曼积分要求一致收敛的条件，而这一条件是很强的条件，很多函数列一般不满足这一条件。另一方面即使满足也很难验证，这大大限制了黎曼积分在实际问题中的应用。Arzela定理虽然利用处处收敛这个较弱的条件代替一致收敛，但是由于黎曼可积函数列的极限函数不一定是黎曼可积的，所以Arzela定理仍然要求黎曼可积函数列的极限函数是黎曼可积的，这一条件也是比较强的。有例子表明即使单调递增的黎曼可积函数列，它的极限函数也不一定是黎曼可积的。勒贝格积分的勒贝格控制收敛定理不仅用处处收敛条件代替一致收敛的条件，而且也去掉了Arzela定理中可积函数列的极限函数是可积这一较强的条件。

5.微分（或积分）和无穷函数项级数换序时，一般要求无穷函数项级数满足一致收敛的条件，显然这一条件很强，既不容易满足，也不容易验证。勒贝格积分在很大程度上也会减弱一致收敛的条件。

6.黎曼积分在导函数仍然是在黎曼可积的前提下才能使得微积分基本定理成立，而在实际应用中，即使是导函数有界这样性质比较好的函数也不一定保证其导函数是黎曼可积的。勒贝格积分在很大程度上也会减弱导函数仍然可积这一较强的条件。

以上对比使得学生对实变函数和数学分析的区别和联系有了清醒的认识，大大提高了他们的学习积极性，在实际教学中取得了良好效果。

实变函数中出现了大量新的概念和定理，每一条对于初学者而言都有一定的难度和较高的抽象性。下面主要从以下五个方面进行详细的解析，具体如下。

1.Egoroff定理的含义。对于测度有限的可测集合上的几乎处处收敛的可测函数列，如果该函数列的极限函数的函数值有限，则对任意小的正数，总存在E的可测子集e的测度小于这个正数，且函数列在E-e上是一致收敛的。这表明几乎处处收敛的可测函数序列在E去掉一个测度任意小（有可能是空集、非空零测集或者测度大于0但是任意小的可测集）的集合之后剩下的可测集上是一致收敛的。因此处处收敛的函数列若满足Egoroff定理的条件，则在很大程度上或者基本上就是一致收敛的，从而推翻了处处收敛与一致收敛差别很大的想法。

2.Lusin定理的含义。对任意小的正数，总存在闭集F？奂E，使得可测函数f（x）在F上是连续的，并且不连续点集E-F的测度小于这个正数。这表明对于所有的可测函数，在E去掉一个测度任意小（有可能是空集、非空零测集或者测度大于0但是任意小的可测集）的集合之后剩下的闭集上是连续的，从而表明可测函数基本上是连续的，但是比几乎处处连续的程度要差一些。

3.勒贝格积分中的分划与黎曼积分中的分划的区别与联系。以R1中的E=[a，b]为例。对应于黎曼积分中的每一个分划Δ：E=■Ei，其中Ei=[xi-1，xi]，i=1，…，n，就有唯一的勒贝格分划D：E=■E'i与之对应，其中E'1=[x0，x1]，E'i=[xi-1，xi]， i=2，3，…，n。除此之外，对于E=[a，b]，勒贝格积分还有很多由比较特殊的可测子集组成的分划，并且这些分划不是黎曼积分中的分划，例如E中的无理数集合以及有理数集合组成的分划。对于二维空间以上的分划，黎曼积分的积分区域以及每个分划对应的小子集都是约当可测集，而勒贝格积分的积分区域以及每个分划对应的小子集都是勒贝格可测集，这种差别也表明后者的范围要大得多。

4.引入可测函数的原因以及可测函数的含义。勒贝格积分的极限定义一般要求Ei=E[x：yi-1a]都可测，又Ei=E[x：f（x）>yi-1]-E[x：f（x）>yi]，则Ei显然是可测的。虽然a是无穷多的，但是所有的集合E[x：f（x）>a]只是E的全部子集的一部分，而且对于不同的函数f（x），E[x：f（x）>a]的个数也不一定是无穷多的，譬如Dirichlet函数对应的E[x：f（x）>a]的个数就是有限多的。一般地，如果函数f（x）能够使得E[x：f（x）>a]的那些子集可测，才认为f（x）是可测函数。

5.黎曼可积的充要条件。函数不连续点集的测度为0。[a，b]上的连续函数、有限多个不连续点的有界函数、单调有界函数、Riemann函数的不连续点集都是零测集，所以都是黎曼可积函数。不连续点是无穷多且不是黎曼可积的函数的典型例子为Dirichlet函数，因为它的不连续点集不是零测集。

综上所述，如何加强实变函数的基本概念和重要定理内容的解析，对实变函数和数学分析相关内容进行详细的对比，从而降低实变函数的难度和抽象性，明确学生学习实变函数的目的，进而提高他们的学习热情是实际教学中的关键所在。如果能够做到本文中提到的几点要求，就会大大改善《实变函数》的教学效果，使得学生更多更好地掌握《实变函数》的知识，达到教学大纲的要求。

参考文献：

[1]夏道行，等.实变函数论与泛函分析[M].第二版.北京：高等教育出版社，1995.

[2]周民强.实变函数论[M].北京大学出版社，2001.

[3]江泽坚，吴智泉.实变函数论[M].第二版.北京：高等教育出版社，1994.

[4]邓东皋，常心怡.实变函数简明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]苏孟龙，杜智慧，李建华，夏兴无.实变函数论[M].吉林：吉林大学出版社，2009.