关于德布罗意波中几个速度问题的讨论

张凯　桑芝芳　高雷

法国物理学家德布罗意受光的波粒二象性理论的启发，在1924年提出物质波假说，即实物粒子也具有波粒二象性：一个质量为m的微观粒子，以速度v做匀速运动，一方面可以用能量E和动量p来描述其粒子性，另一方面又可以用频率ν和波长λ描述其波动性.其能量E和动量p与频率v和波长λ之间的关系为

E=hν（1）

p=h/λ（2）

学生在学习过程（甚至一些教辅资料）中常常出现以下问题：

（1）往往把粒子的运动速度v和德布罗意波的波长和频率联系起来，得到λ=v1ν；

（2）直接将光的波粒二象性规律迁移到德布罗意波关系式中，得到E=hν=hc1λ.

这里涉及到微观粒子的运动速度，波传播的相速度和群速度，这些问题学生容易混淆，本文将对物质波的相速度、群速度以及它们与粒子运动速度之间的关系进行讨论，以便学生能更好地理解物质波的内涵.

1相速度

相速度是波在传播过程中相同相点的移动速度，即对于一个以频率为ν和波长λ运动的平面波的运动方程为

ψ（x，t）=Acos（2πνt-kx），

其中k=2π/λ为波数.相同相点位于同一等相面上，等相面的表达式为：

2πνt-kx=const，

两边对t求导得vp=dx1dt=λν（3）

根據德布罗意关系可得

vp=λν=E/p（4）

（3）、（4）式为相速度vp的表达式，即将物质波的频率ν和波长λ联系起来的是相速度.根据（4）式，结合E=mc2，p=mv可得它和粒子运动速度v之间的关系为

vp=E1p=c21v（5）

可见物质波的相速度是可以大于光速的，它并不是粒子的运动速度，也不是光速.若对于光子v=c，则有vp=c，故光波相速度为c.

2群速度

事实上，在讨论微观粒子的波粒二象性时，既不是经典物理意义下的粒子，也不是经典物理意义下的波，它既不是代表介质运动的传递过程，也不是代表经典的场量，而是一种比较抽象的几率幅波.在量子力学中，不可能任意精确地同时测量微观粒子的坐标和相应的动量.如果粒子x坐标的不确定范围是Δx，粒子相应动量分量的不确定范围是Δpx.那么，根据不确定关系，有

ΔxΔpx≥h12π.

因此，与粒子相联系的波不可能是在空间上无限扩展的单色平面波，而应该是有限扩展的波包.波包越小，粒子的位置就越准确，而动量的不确定范围就越大；反之，若波包越大，粒子的位置不确定范围就越大，而动量的不确定范围就越小.可以证明，波包是由很多频率相接近的单色平面波叠加而成的.现考虑两列振幅A相同，角频率相差小量Δω，波数相差小量Δk的正弦波叠加的情形，它们叠加后形成周期性波包，波包（包络）的传播速度就是群速度.两列波的波函数分别为

ψ1（x，t）=Asin（ωt-kx），

ψ2（x，t）=Asin[（ω+Δω）t-（k+Δk）x]，

进行叠加后得

ψ（x，t）=Asin[（ω+Δω12）t-（k+Δk12）x]cos（Δωt-Δkx）（6）

其中，正弦部分的相位与原来相近，称为载波；余弦部分称为调制波，它的传播速度就是群速度，要计算某个状态下的群速度，需满足在时间变化Δt，位移变化Δx时相位保持不变，即Δωt-Δkx=const，两边对t求导即可得

vg=dω1dk=dE1dp.

此即群速度的表达式.

根据E2=（pc）2+E20，其中E0为静能量，两边求导得

vg=dE1dp=pc21E=mvc21mc2=v（8）

可以看出整个波包移动的群速度等于粒子运动速度.若对于光子v=c，则有vg=c，故光波群速度也为c.

3结论

综上所述，与自由运动粒子相联系的德布罗意波以波包的形式和粒子运动速度相等的群速度前行.而波包则是由一系列频率相近的单色平面波叠加而成，单色平面波的运动速度表现为相速度，相速度可以大于光速.对于光子v=c，则有vp=vg=c，即对于光波恒有λv=c，无论频率值多大，相速度c为常数，各种频率不同的波叠加，其波包前行的速度（传递速度）当然为c.因此，对于静质量不为零的微观粒子的德布罗意关系（1）和（2）式虽然和光子的波粒二象性公式形式上相同，但在波长和频率的联系方式上有重要差别.

【基金项目：江苏省教育科学“十二五”规划2013年度课题（D/2013/01/105），中国教育学会物理教学专业委员会2013-2016年全国物理教育科研重点课题和苏州大学大学生课外学术项目的研究成果之一.】