N维阵研究及其地学应用

2014-09-21 19:21申维
地球科学与环境学报 2014年2期

基金项目:国家自然科学基金项目(41172302,40672196)

摘要:提出了N维阵的概念和常用的几种定义和运算,包括N维阵的加减、方括号乘法和Hadamard积,给出了其性质及相应的说明;指出立体阵是N维阵的一个特例。N维阵方法的优势在于对多维数据表示更加简洁,理论分析较方便。最后,通过江绍拼合带中西段CuZnAbAgSnAs元素组合异常研究和浙西地区铜多金属矿成矿预测,说明了N维阵在实际问题应用中的方法及步骤。N维阵在处理地学多维数据方面有着重要的应用前景。

关键词:数学地质;N维阵;方括号乘法;Hadamard积;立体阵;元素组合;成矿预测

中图分类号:P628;O189.12文献标志码:A

Study of Ndimensional Matrices and Its Application in Geology

SHEN Wei

(State Key Laboratory of Geological Processes and Mineral Resources, China University of

Geosciences, Beijing 100083, China)

Abstract: A new basic concept of Ndimensional matrices was presented by the cubic matrices conception. The definition and arithmetic (including addsubtract, bracket multiplication and Hadamard product) of Ndimensional matrices were studied and proved. The cubic matrices was a special case of Ndimensional matrices. The multidimensional data were expressed more brief and facility in theoretical analysis by the method of Ndimensional matrices. The geological examples, which included the research on CuZnAbAgSnAs element combination anomalies in the middlewest of JiangshanShaoxing matching belt and the metallogenic prediction of copper polymetallic ore in the western of Zhejiang, were given to illustrate the method and procedure of Ndimensional matrices in geological application.The method of Ndimensional matrices is considered as a good tool in exploration and forecast.

Key words: mathematical geology; Ndimensional matrices; bracket multiplication; Hadamard product; cubic matrices; element combination; metallogenic prediction

0引言

在地学研究中,经常遇到多维数据,例如对于许多复杂的地质现象,要考虑全局范围各个方向的平稳性,即区别各向同性或各向异性分布规律,同时它们包含多个因变量和层次,每个因变量和层次具有不同的统计特征,必须用多变量与多个参数(即多维数据信息)来描述,才能全面刻画其特征。在矿床预测研究中经常遇到以下难题:矿质运移及其空间展布具有多维性;矿床演变与控矿构造具有多层次、多阶段性等[19]。目前,对于地质模型研究常用方法有非线性逻辑回归模型、多维对数线性模型、多维标度法和数量化理论等[1011],但这些方法主要用于处理二维数据,因此,提出和研究处理多维数据的新方法是非常必要的[12]。N维阵概念的提出和应用,为研究多维数据提供了一个有力的工具。笔者提出了N维阵的概念、常用的几种定义和运算,包括N维阵的加减、方括号乘法和Hadamard积,同时研究了其性质,认为N维阵在处理地学多维数据中有重要应用前景。

1N维阵的定义

定义1.1称r1×r2×…×rn的n维数组S为N维阵,S=(si1i2…in),1≤i1≤r1,1≤i2≤r2,…,1≤in≤rn。

例如,当n=4时,i4、i3分别表示横坐标与纵坐标(或经纬度),i2表示高度(或高程),si1i2i3i4表示第i1种地球化学元素(如金)在三维坐标(i2,i3,i4)处的数值,i1=1,2,…,r1。

定义1.2设S和T均为r1×r2×…×rn的N维阵,定义S与T之和(差)为S±T=(si1i2…in±ti1i2…in) ,1≤i1≤r1,1≤i2≤r2,…,1≤in≤rn。

例如,当n=4时,si1i2i3i4+ti1i2i3i4表示两类地质变量数据(如物探数据和化探数据)si1i2i3i4与ti1i2i3i4在三维坐标(i2,i3,i4)处的数值之和,i1=1,2,…,r1。

定义1.3设A为m×r1阶矩阵,S为r1×r2×…×rn的N维阵,定义A与S的方括号乘法T=[A][S]为一个m×r2×…×rn的N维阵,即tsi2i3…in=∑r1 k=1askski2i3…in,1≤s≤m,1≤i2≤r2,1≤i3≤r3,…,1≤in≤rn。

特别地,当n=4时,当A等于a,为一个r1维向量时,T=[A][S]为r2×r3×r4的三维阵,即ti2i3i4=∑r1 k=1akski2i3i4,1≤i2≤r2,1≤i3≤r3,1≤i4≤r4。例如,a=(a1,a2,…,ar1),其中,ak是权数,∑r1 k=1ak=1,ti2i3i4表示r1种地球化学元素(如金)si1i2i3i4在三维坐标(i2,i3,i4)处的加权数值之和,i1=1,2,…,r1。

方括号乘法的基本性质为

[A±B][S]=[A][S]±[B][S](1)

[A][S±T]=[A][S]±[A][T](2)

式中:A、B为m×r1阶矩阵。

定义1.4设S和T均为r1×r2×…×rn的N维阵,定义S与T的Hadamard积ST=(si1i2…in·ti1i2…in),1≤i1≤r1,1≤i2≤r2,…,1≤in≤rn。

Hadamard积的基本性质为

ST=TS(3)

(ST)U=S(TU)(4)

(S+T)U=SU+TU(5)

式中:S、T、U均为r1×r2×…×rn的N维阵。

定义1.5设k为一个常数,S为r1×r2×…×rn的N维阵,定义T=kS=(ksi1i2…in),为r1×r2×…×rn的N维阵,1≤i1≤r1,1≤i2≤r2,…,1≤in≤rn。

2立体阵的定义

立体阵的概念及运算最早由Bates等在1980年提出[13],1983年Tsai在博士论文中对其进行了初步整理,1989年中国学者韦博成在Tsai博士论文的基础上进行了系统总结和扩充[14]。立体阵在非线性模型的非线性强度度量中有广泛的应用,在估计非线性模型的固有曲率和参数效应曲率时,起着关键的作用,在非线性回归分析、搏弈论与经济学等中都有广泛的应用前景。实际上,立体阵是N维阵的一个特例(n=3)。

定义2.1定义n×p×q的三维数组X=(xkij)为立体阵[13],1≤k≤n,1≤i≤p,1≤j≤q。其表达式为

X=X1

X2

Xn(6)

其中Xk=xk11 … xk1q



xkp1 … xkpq

例如,j、i分别表示横坐标与纵坐标(或经纬度),xkij表示第k种地球化学元素(如金)在坐标(i,j)处的数值,k=1,2,…,n。

定义2.2设X和Y均为n×p×q立体阵,定义X与Y之和(差)为X±Y=(xkij±ykij)[15] ,1≤k≤n,1≤i≤p,1≤j≤q。

例如,xkij+ykij表示两类地质变量数据(如物探数据和化探数据)xkij与ykij在坐标(i,j)处的数值之和,k=1,2,…,n。

定义2.3设A为m×n阶矩阵,X为n×p×q立体阵,定义A与X的方括号乘法Y=[A][X][15],为一个m×p×q的立体阵,即ysij=∑n k=1askxkij,1≤s≤m,1≤i≤p,1≤j≤q。

特别地,当A=a,为一个n维向量时,Y=[a][X]为p×q阶矩阵,即yij=∑n k=1akxkij,1≤i≤p,1≤j≤q。例如,a=(a1,a2,…,an),其中ak是权数,∑n k=1ak=1,yij表示n种地球化学元素(xkij)在坐标(i,j)处的加权数值之和,k=1,2,…,n,1≤i≤p,1≤j≤q。

方括号乘法的基本性质(立体阵)

[C±D][X]=[C][X]±[D][X](7)

[C][X±Y]=[C][X]±[C][Y](8)

式中:X、Y为2个n×p×q立体阵;C、D为m×n阶矩阵。

定义2.4设X和Y均为n×p×q立体阵,定义X与Y的Hadamard积XY=(xkijykij) [16],1≤k≤n,1≤i≤p,1≤j≤q。

Hadamard积的基本性质(立体阵)

XY= YX(9)

(XY)Z=X(YZ)(10)

(X+Y)Z=XZ+YZ(11)

式中:Z为n×p×q立体阵。

定义2.5设k为一个常数,X为n×p×q立体阵,定义Y=kX=kX1

kX2

kXn为n×p×q立体阵。

3应用实例

3.1江绍拼合带中西段CuZnAbAgSnAs元素组合异常研究

江绍拼合带中西段1∶200 000地球化学元素Cu、Zn、Ab、Ag、Sn和As的数据(每个元素的数据量为5 544个)可以组成6×56×99的三维数组X=(xkij),即立体阵,1≤k≤6,1≤i≤56,1≤j≤99。通过成矿及伴生元素共生组合规律研究,确定相关性较强的元素组合。以相关性较强元素的地球化学观测数据为基础,计算多元素的累加指数值,定量表示和研究地球化学元素组合异常及其空间分布规律。最常用的方法是通过多元相关分析方法,确定成矿元素组合,然后用元素累加指数制作元素组合异常等值线图(图1)。

累加指数计算公式为

(zij)=∑6 k=1xkij ∑56 i=1∑99 j=1xkij/(56×99)=[a][X](12)

其中a=∑56 i=1∑99 j=1x1ij/(56×99)

∑56 i=1∑99 j=1x2ij/(56×99)

∑56 i=1∑99 j=1x6ij/(56×99),

1≤i≤56,1≤j≤99。

3.2浙西地区铜多金属矿成矿预测

根据浙西地区1∶200 000地质图和相关矿种分布图,在对区域地质背景深入分析的基础上,针对

图1CuZnPbAgSnAs元素组合异常等值线

Fig.1Contour Map of CuZnAbAgSnAs Element Combination Anomalies

需要预测矿种与地质背景的关系,提取以下信息作为地质预测变量(图层):有利地层面积百分比(X1);地层组合熵(X2);同熔型及重熔型花岗岩存在与否(X3);燕山期岩体存在与否(X4);断裂等密度(X5);断裂交点数(X6);银矿点数(X7);金矿点数(X8);铅锌矿点数(X9);铁矿点数(X10);成矿元素簇团因子异常得分(X11)。

将研究区划分为5 km×5 km的网格单元,共1 755个单元,每个单元可以看作平面上的一个点,计算11个地质预测变量(图层)的每个单元成矿有利度(即铜多金属矿发生的条件概率),其中安徽、江西单元部分(共301个)的有利度设为0。这样,11个地质预测变量(图层)Xk的成矿有利度可以组成11×39×45的三维数组X=(xkij),即立体阵,1≤k≤11,1≤i≤39,1≤j≤45。其中,i、j表示单元的坐标。将11个地质预测变量(图层)的成矿有利度加权平均,得到浙西地区铜多金属矿成矿有利度等值线图(图2)。

成矿有利度加权平均值为

(yij)=∑11 k=1akxkij=[a][X](13)

其中X=X1

X2

X11,1≤i≤39,1≤j≤45

a=(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11)=(012,0.08,0.05,0.09,0.06,0.01,0.19,021,0.01,0.05,0.13)

式中:ak为相应的地质预测变量(图层)权数,∑11 k=1ak=1。

4结语

(1)提出了N维阵的概念、常用的几种定义和

图2铜多金属矿成矿有利度等值线

Fig.2Contour Map of Oreforming Favorability of Copper Polymetallic Deposit

运算,包括N维阵的加减、方括号乘法和Hadamard积,并给出了其性质及相应的说明。

(2)通过江绍拼合带中西段CuZnAbAgSnAs元素组合异常研究与浙西地区铜多金属矿成矿预测,说明N维阵在实际问题中应用的方法及步骤,认为N维阵在处理地学多维数据中有着重要的应用前景。

(3)N维阵方法的优势在于对多维数据表示与分析更加简洁与方便。N维阵也是处理空间和时间地质空间多维数据的有效工具。

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