闭复区间矩阵及其应用初论

赵志青 石春

摘要：区间矩阵在工程领域，图像识别和力学中的应用和范围越来越受到人们的关注，其在处理多维数据，尤其在不确定方程的求解中发挥了重要的作用，该文在在区间矩阵的基础之上，给出了闭复区间矩阵，研究了其性质，最后将其应用到复区间数值的方程组求解中，为其更深入的研究奠定了扎实的基础，丰富和发展了矩阵理论及相关学科。

关键词：区间数；复区间值；区间矩阵；闭复区间矩阵；复区间值方程组

中图分类号：TP18 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）06-1309-05

1 预备知识

区间数

定义1[1] 设[R=-∞，+∞]为实数空间，称R上的有限区间[X=X-，X+]为区间数，区间数记作[IR]

定义2[1] 任意的[X，Y∈IR]，有：

[X∨Y=X-∨Y-，X+∨Y+][X∧Y=X-∧Y-，X+∧Y+]

[X+Y=X-+Y-，X++Y+][X-Y=X--Y+，X+-Y-]

[X?Y=X-Y-∧X-Y+∧X+Y-∧X+Y+，X-Y-∨X-Y+∨X+Y-∨X+Y+]

[ab=a-b-∧a-b+∧a+b-∧a+b+，a-b-∨a-b+∨a+b-∨a+b+，0?b]

[kX=kX-，kX+0kX+，kX-k?0k=0k?0] [1b=Δ1b-∧1b+，1b-∨1b+]

定义3 设[a=a-，a+，b=b-，b+∈IR].

1）如果[a-≤b-，a+≤b+]，称a小于或等于b.若[a=a-，a+=0-，0+]，则称b大余或等于a.

1.2 闭区间复数

定义4[1] 设C为复数域，对任意闭区间数

[X=X-，X+，Y=Y-，Y+][∈IR]

称复有界闭集，

[Z=X+iY=x+iy∈C|x∈X，y∈Y]

为闭复区间数，其中[i=-1]，用[IC]表示[C]上闭复区间数全体，即[IC=z=x+iy|x，y∈IR].

定义5[1]设*是复数域C上的二元运算，对于任意的

[Zk=Xk+iYk=X-k，X+k+iY-k，Y+k∈Ic][k=1，2Ic]

上的扩展运算定义为

[Z1*Z2=ΔZ|?Z1，Z2∈Z1×Z2，Z=Z1*Z2]

定义6[1]共轭闭复区间数

称[Z*=X-iY=x-iy|x∈X，y∈Y]为[Z]的共轭闭复区间数。

称[Z=X2+Y212=x2+y212|x∈X，y∈Y]为Z上的模。

定义7[1] 对任意的[Zk=Xk+iYk=X-k，X+k+iY-k，Y+k∈ICk=1，2]

有如下运算：

[Z1+Z2=X-1，X+1+iY-1，Y+1+X-2，X+2+iY-2，Y+2][=X-1+X-2，X+1+X+2+iY-1+Y-2，Y+1+Y+2]

[Z1-Z2=X-1，X+1+iY-1，Y+1-X-2，X+2+iY-2，Y+2][=X-1-X+2，X+1-X-2+iY-1-Y+2，Y+1-Y-2]

[Z1Z2=X1+iY1X2+iY2][=X1X2+iX1Y2+iX2Y1-Y1Y2][=X1X2-Y1Y2+iX1Y2+X2Y1]

（其中，[Xi?Yj=Xi-Yj-∧Xi-Yj+∧Xi+Yj-∧Xi+Yj+，Xi-Yj-∨Xi-Yj+∨Xi+Yj-∨Xi+Yj+，i∈1，2，j∈1，2]）

[kZ=kx+yi=kx+kyi=kx-，kx++ky-，ky+i0kx+，kx-+ky+，ky-ik>0k=0k<0]

1.3 复矩阵

复矩阵指的是元素中含有复数的矩阵.其中不管这个矩阵中含有多少个复数，只要这个矩阵中含有复数，那么这个矩阵就是复矩阵.如果这个矩阵中不含有复数，那么这个矩阵就不是复矩阵.

2 闭复区间矩阵

2.1 闭复区间矩阵的定义

定义1 如果[m×n]个元素均为闭复区间数，[Zij∈IC][i=1，2，..........m，j=1，2，.............n]则由[m×n]个元素构成的[m×n]阶矩阵

[E=Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn]

记为[EC]，表示C上的所有闭复区间矩阵.

特别的当[m=n]时，则称为[n]阶闭复区间矩阵记为[Enc]

定义2 形如

[1+i00...001+i0...0...............00...1+i000...01+i]

的矩阵称为单位矩阵.这里的[1+i=1-，1++1-，1+i]

形如

[00...0000...00...............00...0000000]

的矩阵称为零矩阵.这里的[0=0-，0++0-，0+i]

2.2 闭复矩阵的运算

定义3 对任意的C上的闭复区间矩阵

[E=Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn]

[F=Y11Y12......Y1nY21Y22......Y2n..........Ym1Ym2......Ymn]

则有

[1][E+F=][Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn][±Y11Y12......Y1nY21Y22......Y2n..........Ym1Ym2......Ymn][=Z11±Y11Z12±Y12......Z1n±Y1nZ21±Y21Z22±Y22......Z2n±Y2n..........Zm1±Ym1Zm2±Ym2......Zmn±Ymn]

特别的当E的列数等于F的行数时有

[EF=][Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmnm×n][Y11Y12......Y1mY21Y22......Y2m..........Yn1Yn2......Ynmn×m]

[Z11Y11+Z12Y21+...+Z1nYn1Z11Y21+Z12Y22+...+Z1nYn2...Z11Y1n+Z12Y2n+...+Z1nYnm........Zm1Y11+Zm2Y21+...+ZmnYn1Zm1Y12+Zm2Y22+...+ZmnYn2...Zm1Y1n+Zm2Y2n+...+ZmnYnmm×m]

2）对于任意的[k∈IR]有

[kE=kZ11kZ12......kZ1nkZ21kZ22......kZ2n..........kZm1kZm2......kZmn]

2）闭复区间矩阵的转置

[Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......ZmnT=Z11Z21......Zn1Z12Z22......Zn2..........Z1nZ2m......Znm]

4） 闭复区间矩阵的共轭矩阵

[Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn为Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zm1Zm2......Zmn]

定理1 （基本性质）

设[E1，E2，E3∈Ec]，[k，l∈IR]，有

1）（加的交换律）[E1+E2=E2+E1]

2） （加的结合律） [E1+E2+E3=E1+E2+E3]

3） （加零）[E1+0=E1]

4）（加负）[E1+-E1=0]

5） （分配律）[k+lE1=kE1+lE2]

6） （分配律）[kE1+E2=kE1+kE2]

7） [Z=Z]，[z1+z2=z1+z2]

8） [z1z2=z1z2]，[z1z2=z1z2][z1≠0]

2.3 闭复区间矩阵的行列式

定义4 如果[m×n]个元素均为闭复区间数，[Zij∈IC][i，j=1，2，..........n]则由[n×n]个元素构成的n阶行列式

[Z11Z12......Z1nZ21Z22......Z2n..........Zn1Zn2......Znn]

是[IC]中唯一确定的数：

1）当[n=1]时，[Z11=Z11]

2）当[n>1]时，

[Z11Z12...Z1nZ21Z22...Z2n............Zn1Zn2...Znn=Z11Z22...Z2nZ32...Z3n.........Zn2...Znn-Z21Z12...Z1nZ32...Z3n.........Zn2...Znn+......+-1n-1Zn1Z12...Z1nZ22...Z2n.........Zn-12...Zn-1n]

2.4 闭复区间矩阵的克莱姆法则

定理4 如果线性方程组

[Z11*x1+Z12*x2+......+Z1n*xn=b1Z21*x1+Z22*x2+......+Z2n*xn=b2...Zn1*x1+Zn2*x2+......+Znn*xn=bn]

的系数行列式

[d=Z11Z12...Z1nZ21Z22...Z2n.........................................................Zn1Zn2...Znn≠0]

则此方程存在唯一解：

[x1=d1d，x2=d2d，......，xn=dnd]

其中

[dj=Z11Z12...Z1j-1b1Z1j+1...Z1nZ21Z22...Z2j-1b2Z2j+1...Z2n.........................................................Zn1Zn2...Znj-1bnZnj+1...Znn，j=1，2，...，n.]

例1 解下列闭复区间方程组。

[13+25ix1+24+35ix2=57+46i27+36ix1+79+68ix2=810+1112i]

解：

[d=13+25i24+35i27+36i79+68i=13+25i79+68i-24+35i27+36i=1379+1368i+2579i-2568-2427+2436i+3527i-3536]

[=1×7∧1×9∧3×7∧3×9，1×7∨1×9∨3×7∨3×9+1×6∧1×8∧3×6∧3×8，1×6∨1×8∨3×6∨3×8i+2×7∧2×9∧5×7∧5×9，2×7∨2×9∨5×7∨5×9i-2×6∧2×8∧5×6∧5×8，2×6∨2×8∨5×6∨5×8-{2×2∧2×7∧4×2∧4×7，2×2∨2×7∨4×2∨4×7+2×3∧2×6∧4×3∧4×6，2×3∨2×6∨4×3∨4×6i+2×3∧2×6∧4×3∧4×6，2×3∨2×6∨4×3∨4×6i-3×3∧3×6∧5×3∧5×6，3×3∨3×6∨5×3∨5×6}]

[=（7∧9∧21∧27，7∨9∨21∨27+6∧8∧18∧24，6∨8∨18∨24i+14∧18∧35∧45，14∨18∨35∨45i-12∧16∧30∧40，12∨16∨30∨40）-（4∧14∧8∧28，4∨14∨8∨28+6∧12∧12∧24，6∨12∨12∨24i+6∧21∧10∧35，6∨21∨10∨35i-9∧18∧15∧30，9∨18∨15∨30）=727+624i+1445i-1240-428+624i+635i-930]

[=727-1240+624-1445i-428-930+624-635i=7-4027-12+2069i-4-3028-9+6-3524-6i=-3315+2069i--2619+-2918i=-3315--2619+2069--2918i=-33-1915+26+20-1869+29i=-5241+298i]

[d≠0]

[d1=57+46i24+35i810+1112i79+68i]

[=57+46i79+68i-24+35i810+1112i]

[=5779+5768i+4679i-4668-24810+241112i+35810i-351112=（5×7∧5×9∧7×7∧7×9，5×7∨5×9∨7×7∨7×9+5×6∧5×8∧7×6∧7×8，5×6∨5×8∨7×6∨7×8i+4×7∧4×9∧6×7∧6×9，4×7∨4×9∨6×7∨6×9i-4×6∧4×8∧6×6∧6×8，4×6∨4×8∨6×6∨6×8）-（2×8∧2×10∧4×8∧4×10，2×8∨2×10∨4×8∨4×10+2×11∧2×12∧4×11∧4×12，2×11∨2×12∨4×11∨4×12i+3×8∧3×10∧5×8∧5×10，3×8∨3×10∨5×8∨5×10i-3×11∧3×12∧5×11∧5×12，3×11∨3×12∨5×11∨5×12）=-20-5+104208i]

[d2=-5534+-5763i]

[x1=-11.471.984+-4.014.16i]

[x2=-4.243.685+-3.9253.1i]

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