由基本图形入手巧解中考题

朱元元

［摘要］ 每到中考结束，从试卷得分层面上都会谈及学生解题能力的培养，本文笔者从基本图形入手谈中考几何题的巧解过程，与大家共勉.

［关键词］ 基本图形；识图；标图

所谓“基本图形”， 是在几何问题的分析中，组成一个几何问题的图形的最简单、最重要、最基本的，但又是具有特定的性质，能明确地阐明应用条件和应用方法的图形.

下面，笔者以连云港市2013年中考数学试卷中的26题为例，谈如何由基本图形入手巧解题，与大家共勉.

例题（2013江苏连云港）如图1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（8，0），（0，6），动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t秒（0＜t≤5）. 以点P为圆心、PA长为半径的⊙P与AB，OA的另一个交点分别为点C和点D，连结CD，QC.

（1）当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值.

（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t 的取值范围.

分析?摇 此题为连云港市2013中考数学试卷的倒数第2题，满分12分. 从所处的位置及分值看，学生自然会认为这题应该有难度，通过批阅试卷后的抽样调查看，平均得分1分，也佐证了这个观点. 然而笔者并不能苟同，理由是：本张试卷共有27题，用时120分钟，其中选择填空各8题，计16题，17-19题是计算题，其后20-27题是应用类题型，且每题都在2问以上，如果把20-27题以“问”为单位进行分解，那整张试卷就有39个小题，在此题前有32问，如果平时学生训练不到位，解题能力弱，答题经验不足，遇到这样的中考试卷，前面耗时太多，自然就没有时间做26题，也就造成了许多“0分”卷. 这也是笔者认为造成这道题得分少的原因之一. 下面笔者从基本图形入手对此题进行分析、求解，以说明这题不是太难的理由.

■ 图形提取——识图

从图1中，我们不难找到这样两个基本图形（图2和图3）：

图2所反馈的知识信息首先是“直径所对的圆周角是直角”，即∠D=90°；图3中，如果CD∥BO，那么这个图形就是三角形相似中的典型图形了，结合图2，这个结论自然是成立的.

■ 数形结合——标图

（1）把题目中的已知数量关系在图3中标出，得图4.

（2）根据发现，可知△ACD∽△ABO，由对应边成比例，学生可以在草稿纸上计算出用t来表示线段CD和AD的长的表达式（这个做法，应该是学生做这类动点题的思维定式），由此进一步标图（如图5）.

以上操作，在审题的思维过程中，应当是一气呵成的，作为一线的老师，大家都能做到这一点，但是对于学生而言，能真正做到这样，却是少之又少（我们应该对学生强化这方面的训练）. 如果学生有了这方面的技能，那解题自然就没有太大的问题了. 下面让我们进入实质的解题阶段.

■ 知识运用——求解

第（1）问：求当t为何值时，点Q与点D重合？

分析?摇 从图5中我们知道，OQ=t，AD=■t，如果点Q与点D重合，那么也就是说OQ（D）+AQ（D）=8，即得t+■t=8，这是一元一次方程，学生易求出t=■（s）.

验证：当t=■（s）时，AD=■，CD=■，由AD ∶ AO=■=CD ∶ BO，满足△ACD∽△ABO，即求解正确.

在学生的审题能力达到且标出图5后，由基本图形的知识是很容易解出第（1）问的. 即使是说理能力差点的学生，不写过程只写个结论（或者只列式没有计算出结果）也能得到分数. 所以，以第（1）问来说，也不至于抽样的平均分是1分.

当然，还必须认识到的一个事实是：第（1）问虽简单，其实是为了降低该题难度而预设的，是为了更好地经历过程，为后面的完整解决问题起一个铺垫的作用. 待学生求出t值后会发现第（1）问中t的值小于5，应该想到：Q点运动到点D后，还要继续移动，更进一步，学生应该认识到，本题中的Q点有三个相对位置：在点D的左侧、和点D重合、在点D的右侧. 这就为下面第（2）问和第（3）问分类讨论作了一个有力的提示，即让学生能不“漏解”（得满12分）. 当然，要做到这一思维，还要看学生的发散思维，或许这才是这题难的地方.

第（2）问：设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值.

分析求三角形面积，在此类题的教学中，一般的思维定式就是“底乘高除以2”，由图5，学生自然想到S=■，解决问题的关键就在于DQ的表示，从图上看，这对于大多数学生来讲应该不是难点DQ=8－t－■t，把表示QD，CD的代数式代入面积公式化简得S=－■t 2+■t，由a=－■<0，S有最大值. 至于二次函数最值的求法，老师们都不遗余力地训练过，学生自然能通过顶点坐标公式求出来：当t=■时，S有最大值■，这个计算需要学生心细些，不能怕繁，当然，在做到步步正确的情况下，二次函数的最值问题的验证也就水到渠成了.

如果学生能力有限，只能思考到这，也能得到一定的分数. 但我们知道上面的这个求解是点Q的移动时间在00，由二次函数的图象性质可知，当t>■时，即在对称轴的右侧，S随t的增大而增大，而此时■

在阅卷过程中，发现有学生也意识到了此问要分段讨论，求解的过程也对，但忽略了点Q的移动是一个连续的变化过程，还要比较两个（最大）面积值的大小，才能得出本问的结论，即在0

第（2）问之所以要分类计算，因为这题本质就是一个动点（变化）题，△QCD的面积S又是随着动点Q（这时可以把点D，C看做是不动的点来考虑）的位置不同而变化的. 当然我们看到，计算的切入点是容易找到的，虽计算量有些大，但还是能得到一定的分数，能否得满分，这需要学生平时养成良好的思维习惯和敏锐的洞察力，这或许才是本题“难”的地方.

第（3）问：若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t 的取值范围.

分析写完第（2）问后，虽有成功的喜悦，但是由于计算量大，学生的身心会感到疲劳，加之时间紧，还有最后一道压轴题没有看呢，这时学生在读第（3）问时，可能会简单地理解成线与圆的位置关系，因为阅卷过程中，我们看到有学生直接写：当t=■时，CQ与圆有一个交点. 而忽视了两个关键词“线段”（不是“直线”）和“取值范围”（不是“值”）. 当细心的学生发现了题目中的文字陷阱（线段）后，他自然会把点Q在头脑里重新移动一次或二次，然后把这个过程分成三个阶段：从开始到CQ与圆相切时（有一个交点）；从CQ与圆相交到Q移到D点（有两个交点）；Q点过D点到移动结束（有一个交点）. 这个“重新移动”的过程，也就是验证这个问题的解的过程. 有了这个思维过程后，首先能写出来的结论就是■

这时从图7中提取并结合图5标注得到基本图形8，利用这个基本图形中三个直角三角形彼此相似，由对应边成比例可求出相切时的t值为■，即本问的另一个解为0

写到这，本题就全部分析完了，写了很多，如果教师平时对此类题讲解、训练到位，学生的基本功扎实，就从题目基本图形出发进行思考，一路写下来用15分钟是能完成的，本题虽有难度但终不至于达到难度系数为0.083这个程度.

■ 结语

从基本图形入手解题是一种很简单而又快捷的方法，教学中教师要注重培养学生的图形识别能力，训练学生从复杂图形中提取基本图形. 学生要想娴熟地掌握这种方法，需要做到以下几点：（1）加强学生在数学知识和数学活动经验方面的积累. 问题解决是以已有的知识、经验为基础的，只有具备了坚实的知识基础和积累了丰富的数学活动经验，解决问题才会成为可能. （2）让学生养成画图习惯. 记得笔者作为学生的时候，每做一道几何题都要认真地依题意把每道题的图画一遍（不是照课本上的图抄一遍），作为老师，大家都知道这样做的好处是什么. 但现在呢？学生做作业甚至连题目都不想抄，又怎能看懂图呢？（3）培养学生的观察力，发展学生的识图能力. 教学活动中，要有意识、有组织地对学生进行观察训练，学生有了较强的观察力，才有利于他们全面地、深入地思考问题，才有利于形成洞察力，使他们从观察中捕捉到事物的本质特征. （4）培养学生的标图能力. 标图，作为一种技能，我们在例题教学时都会在板演时做得淋漓尽致，这是因为我们作为学生时得到了这方面的训练. 作为80前的老师，大家都对初中时做的相似和圆的证明题记忆深刻. 现在呢？对演绎推理要求低了，于是作为教师的我们对于证明的系统化培养的要求也就降低了，学生在审题、解题等方面的能力自然得不到良好的发展.

希望作为教师的我们能从源头上加以引导，让学生养成全面细致读题、准确深入审题的良好习惯，掌握科学的解题方法，全方位提高学生的数学思维品质和应用能力，提高教学效能.