学生的思路决定教师的教路

闫爱

学生的知识结构不仅决定学生学习新知的能力，而且还决定他们学习新知，同化新知的方式。学生的学习离不开自己已有的知识基础。学生利用自己已有的数学认知结构积极主动地与新的数学知识进行相互作用，或者将新的数学知识同化到已有的数学认知结构中，从而丰富了学生的数学认知结构，或者改变已有数学结构以顺应新的数学知识，从而推动数学认知结构的持续发展。

例如当学习《三角形的内角和》时，学生已掌握了三角形的元素：有三条边、三个内角。需要特别指出的是学生刚刚学完三角形三条边之间的关系，即三角形任意两边之和大于第三边。由于学生对这一知识犹声在耳，所以当教师提出三角形的三个内角有什么关系时，学生在事先对这一知识一无所知的原始情况下，会受“三角形任意两边之各大于第三边”知识负迁移的影响，学生马上会猜想到：三角形任意两角之和大于第三角”。

我们知道学生的学习过程，在很大程度是发现、修正自己认识结构的偏差、甚至是错误的过程；同样教师教学的过程在很大程度是引导学生发现、修正认识上的偏差、甚至是错误的过程。在学生发现、修正自己认识的偏差、甚至是错误的过程中。这样学生不仅获得了显性的知识，而且获得了比显性知识更为重要的隐性知识：数学思想与方法、基本的数学活动经验。所以教师的教学要敢于让学生暴露他们的思维的偏差、认识上的错误。

既然学生会基于“三角形任意两边之和大于第三边”的认识，提出“三角形任意两角之和大于第三角”的猜想。同时，由于学生在探索三角形三边的关系时，学生有了用两根小棒相加与第三根小棒比长度的活动经验；也有了在学习《角的大小》时，把两个角的顶点重合在一起比较大小的能力与经验。所以学生应该有能力在教师的引导下通过观察、或动手操作否定原先的猜想。并在否定猜想后，再提出新的猜想，再次验证新的猜想，最后得出结论。学生通过这一系列活动，在获得新知的同时，数学活动经验与能力也得到了进一步的加强。下面是笔者的引导过程。

一、引导学生否定初步猜想

师：我们知道三角形有三条边、三个内角。并且我们已探索出三角形的三条边的关系。这节课我们探索三角形三个内角之间的关系。 三角形三个内角有什么关系？（这个问题会让学生展示出他们的原始思维）

生1：三角形任意两角之和大于第三角。

师：人类最伟大之处就在于敢于猜想。不过，人类更智慧之处在有了猜想后能进行验证。你能对你的猜想进行验证吗？

（多媒体呈现不同的三角形：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。同时发给学生用硬纸卡做成的上述三类三角形。让学生先观察，再验证）

生1：这个猜想是错误的。因为通过我的观察，有的三角形（指着钝角三角形），两个较小的角和起来很明显比那个大角小。

师：是的，观察也是一种证明方法。通过观察，我们能很快地发现有的三角形（指着钝角三角形），两个较小的角和起来很明显比那个大角小，从而证明原来的猜想是错误的。

师：还有别的证明方法吗？

……

二、引导学生再次猜想

师：是的，仅在锐角三角形中有“三角形任意两角之和大于第三角”关系，我们不能把它推广到一般三角形中。那么一般三角形的三个内角倒底有什么关系呢？大家可以进行新的猜想。

师：猜想也不是凭空的乱猜，而是仔细观察这些三角形。也可以从部分猜起，然后扩展到所有的三角形。现在请同学们先观察，然后提出猜想。

……

师（当学生陆续提出猜想后）：你有什么猜想？为什么提出这样猜想？

生1：我想三角形三个内角和可能是180度。像三角板这样的三角形，两个较小角的和与直角相等，直角是90度。所以我猜想三角形三个内角的和是180度。

师：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的内角和都等于180度。三角形的状态在变，三个角的大小也在变，不变是什么？

生：三角形三个内角和等于180度不变。

……

对于这部分知识，我看过新课标下不同版本的教材，大多是在学习三角形三条边的关后，直接提出“三角形3个内角的和是多少度呢？”这个问题。

教材这样提出问题，很是突兀。老牛不喝水，不能强按头。学生面对别人强给的问题，自然不乐意研究。此时进行教学，学生的兴趣不高，创造力自然不强。这样教师为完成课时任务，容易形成填鸭式教学。

新课标指出，教材只是教师进行教学的蓝本，而不是圣旨。这就意味着，教师可以对教材进行适当的改造。本案例通过对教材课前引入的改造，就是想让学生经历提出猜想→否定猜想→再度猜想→再度验证的过程；同时让学生体会猜想不是无缘无故的乱想，可以根据部分特征提出猜想，然后再扩大验证（由特殊到一般的过程）。这样的教学设计，是学生自已研究自己的问题，自然兴趣高昂，有利于学习效率的提高。可以说，这样的引入，起到了一箭多雕的作用。

【作者单位：枣庄市薛城区北临城小学 山东省】