带区间时变时滞的BAM神经网络渐近稳定性

吴海霞

摘要：针对一类具有区间时滞和随机干扰的BAM神经网络的全局渐近稳定性问题，通过构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函，应用随机分析和自由权值矩阵方法，并考虑时滞区间范围，得到了新的稳定性充分条件。该条件能够保证时滞BAM神经网络在均方意义下是全局渐近稳定的，同时适用于快时滞和慢时滞，其适用范围更广。最后，通过一个仿真实例证明了定理的有效性。

关键词：双向联想记忆神经网络；全局渐近稳定性；区间时滞；线性矩阵不等式

中图分类号：TP183 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）19-4544-06

1 概述

双向联想记忆神经网络（Bidirectional Associative Memory， BAM）已经成功应用于诸多领域，如模式识别、图像处理、自动控制、模型辨识和优化问题等。所有这些成功的应用都必须依赖于神经网络的稳定性。众所周知，许多实际系统的数学模型中均含有时滞的现象，在BAM神经网络中也不例外。例如，在模拟神经网络电路实现中，由于运放器的开关速度限制会产生时滞，神经网络中的轴突信号传输延迟也会产生时滞。这些都会导致不良的动态网络特性，即系统失稳、产生振荡甚至混沌，造成系统性能指标的下降。目前，时滞BAM神经网络的稳定性分析问题已经取得了大量的研究成果[1-7]，其中时滞类型包括常时滞、变时滞与分布时滞等。

事实上，随机因素确实存在于很多的实际系统，比如物理电路、生物系统等。为了抵消这些不确定因素的影响，必须将系统描述为随机系统。一般而言，在生物神经系统中，突触递质的传递会受到随机噪声和其他一些概率事件的影响，这些随机扰动理所当然的会影响神经系统的稳定性。系统建模一个基本原则是尽可能模拟实际情况，因此，在BAM神经网络的建模中考虑随机扰动的也是不可避免的。截止目前，已有许多国内外学者致力于带有随机干扰的时滞BAM神经网络的稳定性有研究工作[8-9]。然而，对于某些系统，在时滞非零时是稳定的，时滞为零时却是不稳定的。因此，研究非零时滞系统的稳定性十分重要，非零时滞可以将时滞定义在一个区间内，应用范围更广。

本文将应用随机分析和自由权值矩阵方法，构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函并考虑时滞区间，研究新的稳定性判定准则，用以保证时滞BAM神经网络在均方意义下是全局渐近稳定的。

2 系统模型及引理

考虑以下带区间时滞的双向联想记忆神经网络模型：

[du1i（t）dt=-a1iu1i（t）+j=1mw1jif1j（u2j（t-τ2j（t）））+Ii， i=1，2，…，n，du2j（t）dt=-a2ju2j（t）+i=1nw2ijf2i（u1i（t-τ1i（t）））+Jj， j=1，2，…，m，] （1）

其中[u1i（t）]和[u2j（t）]分别是第[i]个神经元和第[j]个神经元的状态；[f1j（?）]，[f2i（?）]分别表示第[i]个神经元和第[j]个神经元的激活函数；[Ii，Jj]表示在[t]时刻的外部输入；[a1i，a2j]为正数，分别表示第[i]个神经元和第[j]个神经元的被动衰减率；[w1ji，w2ij]表示突触连接权值；[τ1i（t），τ2j（t）]为时变时滞。有关系统（1）的初始条件假设如下：

[u1i（s）=?u1i（s）， t∈-τ1，0， i=1，2，…，n，u2j（s）=?u2j（t）， t∈-τ2，0， j=1，2，…，m.]

假设1 在系统（1）神经元激活函数[f1j（?）]和[f2i（?）]有界，且存在正数[l（1）j>0]和[l（2）i>0]满足：

[f1j（ξ1）-f1j（ξ2）≤l（1）jξ1-ξ2， f2i（ξ1）-f2i（ξ2）≤l（2）iξ1-ξ2， ?ξ1，ξ2∈R， i=1，2，…，n， j=1，2，…，m.]

按照通常做法，假设[u1?=u?11，u?12，…，u?1nT， u2?=u?21，u?22，…，u?2mT]是系统（1）的平衡点。为了简化证明过程，通过变换[x1i（t）=u1i（t）-u?1i，][x2j（t）=u2j（t）-u?2j，] [f2i（x1i（t））=f2i（x1i（t）+u?1i）-f2i（u?1i），] [f1j（u2j（t））=f1j（u2j（t）+u?2j）-f1j（u?2j）， ]转移系统（1）的平衡点到新系统的原点，得到以下系统模型：

[x1i（t）=-a1ix1i（t）+j=1mw1jif1j（x2j（t-τ2j（t）））， i=1，2，…，n，x2j（t）=-a2jx2j（t）+i=1nw2ijf2i（x1i（t-τ1i（t）））， j=1，2，…，m. ] （2）

将式（2）改写为矩阵形式，则有：

[x1（t）=-A1x1（t）+W1f1（x2（t-τ2（t））），x2（t）=-A2x2（t）+W2f2（x1（t-τ1（t））），] （3）

其中[x1（t）=x11（t），x12（t），…，x1n（t）T， x2（t）=x21（t），x22（t），…，x2m（t）T， ] [A1=diaga11，a12，…，a1n， ][ A2=diaga21，a22，…，a2m]，

[W1=w1jim×nT， W2=w2ijn×mT， f1（x2）=f11（x2），f12（x2），…，f1m（x2）T，][f2（x1）=f21（x1），f22（x1），…，f2n（x1）T，]

[τ1（t）=τ11（t），x12（t），…，τ1n（t）T，] [τ2（t）=τ21（t），τ22（t），…，τ2m（t）T.]

显然，神经元激活函数具有如下性质：endprint

[fT1（x2（t））f1（x2（t））≤x2T（t）LT1L1x2（t），fT2（x1（t））f2（x1（t））≤x1T（t）LT2L2x1（t），] （4）

其中[L1=diagl（1）1，l（1）2，…，l（1）m]，[L2=diagl（2）1，l（2）2，…，l（2）n.]

接下来，将考虑如下具有区间时滞和随机干扰的BAM神经网络模型：

[dx1（t）=-A1x1（t）+W1f1（x2（t-τ2（t）））dt +C1x1（t）+D1x2（t-τ2（t））dω（t），dx2（t）=-A2x2（t）+W2f2（x1（t-τ1（t）））dt +C2x2（t）+D2x1（t-τ1（t））dω（t），] （5）

其中[ω（t）=ω1（t），ω2（t），…，ωl（t）T]是一个定义在完备概率空间[（Ω，?，?tt≥0，）]上的布朗运动（Brownian motion）。

假设2 时滞[τ1（t）]和[τ2（t）]满足：

[0≤τ_1≤τ1（t）≤τ1， 0≤τ_2≤τ2（t）≤τ2，] （6）

[τ1（t）≤μ1， τ2（t）≤μ2，] （7）

其中[0≤τ_1<τ1， 0≤τ_2<τ2， μ1]和[μ2]为正常量。

引理1 对于任意适当维数常数矩阵[D]和[N]，矩阵[F（t）]满足[FT（t）F（t）≤I]，有：

（i） 对任意常数[ε>0，][DF（t）N+NTFT（t）DT≤ε-1DDT+εNTN，]

（ii） 对任意常数[P>0]，[2aTb≤ aTP-1a+bTPb.]

引理2 [10] 随机微分方程的平凡解

[d（x（t），y（t），t）=G（x（t），y（t），t）dt+H（x（t），y（t），t）dω（t）] [t∈t0，T]

有：

[x（t）=?x（t） t∈-τ，0， y（t）=?y（t） t∈-ρ，0，] [G：R+×Rn×Rn→Rn] 和[H：R+×Rn×Rn→Rn×m]在概率上是全局渐近稳定的，假如存在函数[V（x（t），y（t），t）∈R+×Rn×Rn]在Lyapunov意义上是正定的并且满足

[?V（x（t），y（t），t）=?Vdt+gradVG+12traceHHTHess（V）<0.]

矩阵[Hess（V）]表示Hessian矩阵的二阶偏导数。

3 全局渐近稳定性

首先，定义

[g1（t）=-（A1+ΔA1）x1（t）+（W1+ΔW1）f1（x2（t-τ2（t））），g2（t）=-（A2+ΔA2）x2（t）+（W2+ΔW2）f2（x1（t-τ1（t））），]

[g3（t）=C1+ΔC1x1（t）+D1+ΔD1x2（t-τ2（t）），g4（t）=C2+ΔC2x2（t）+D2+ΔD2x1（t-τ1（t）），]

那么，系统（1） 被记为：

[dx1（t）=g1（t）dt+g3（t）dω（t），dx2（t）=g2（t）dt+g4（t）dω（t）.] （8）

定理1 对于给定的正常数[0≤τ_1<τ1， 0≤τ_2<τ2， μ1]和[μ2]，系统（5）在均方意义下是全局渐近稳定的，如果存在矩阵， [Pi>0， Qi≥0， Ri≥0， Ti≥0， i=1，2， Zj>0， j=1，2，…，8，][N（i）j，M（i）j，][S（i）j， j=1，2， i=1，2，]和两个正常量[α1， α2，]使得以下LMI（9）成立：

[Ξ=Ξ0Ξ1Ξ2Ξ3Ξ4?-Ξ11000??-Ξ2200???-Ξ330????-Ξ44<0，] （9）

其中

[Ξ0=?1?T2U1?T3U2?T4U3?T5U4?-U1000??-U200???-U30????-U4， Ξi=τiN（i）1hiM（i）1hiS（i）1τiN（i）2hiM（i）2hiS（i）2000???000， Ξ2+i=N（i）1M（i）1S（i）1N（i）2M（i）2S（i）2000???000，]

[?1=Σ10Σ500P1W1M（1）1-S（1）100?Σ20Σ6P2W2000M（2）1-S（2）1??Σ3000M（1）2-S（1）200???Σ40000M（2）2-S（2）2????-α1I00000?????-α2I0000??????-Q1000???????-R100????????-Q20?????????-R2，]

[?2=-A10000W10000， ?3=0-A200W200000，]

[?4=C100D1000000， ?5=0C2D20000000，]

[U1=τ1Z1+h1Z3， U2=τ2Z2+h2Z4， U3=P1+τ1Z5+h1Z7，U4=P2+τ2Z6+h2Z8， Ξ11=diagτ1Z1， h1Z3， h1（Z1+Z3），Ξ22=diagτ2Z2， h2Z4， h2（Z2+Z4），]

[Ξ33=diagZ5， Z7， Z5+Z7， Ξ44=diagZ6， Z8， Z6+Z8，]

[Σi=-PiAi-AiTPi+Qi+Ri+Ti+N（i）1+N（i）1T，Σ2+i=-（1-μi）Ti+S（i）2+S（i）2T-N（i）2-N（i）2T -M（i）2-M（i）2T+αiLT3-iL3-i，]

[Σ4+i=S（i）1-N（i）1-M（i）1+N（i）2T， hi=τi-τ_i， i=1，2.]

证明. 构造如下Lyapunov-Krasovskii泛函：endprint

[V（x1（t），x2（t））=i=12V1（x1（t），x2（t））+V2（x1（t），x2（t））+V3（x1（t），x2（t）），V1（x1（t），x2（t））=xTi（t）Pixi（t），]

[V2（x1（t），x2（t））=t-τ_itxTi（s）Qixi（s）ds+t-τitxTi（s）Rixi（s）ds+t-τi（t）txTi（s）Tixi（s）ds，]

[V3（x1（t），x2（t））=-τi0t+θtgiT（s）Zigi（s）dsdθ+-τi-τ_it+θtgiT（s）Z2+igi（s）dsdθ +-τi0t+θtg2+iT（s）Z4+ig2+i（s）dsdθ+-τi-τ_it+θtg2+iT（s）Z6+ig2+i（s）dsdθ.] （10）

由牛顿-莱布尼茨（Leibniz-Newton）公式可知，对于任意具有适当维数的矩阵[N（i）j，M（i）j，S（i）j， i=1，2，][j=1，2，]，以下等式成立：

[0=2xTi（t）N（i）1+xTi（t-τi（t））N（i）2 ×xi（t）-xi（t-τi（t））-t-τi（t）tgi（s）ds-t-τi（t）tg2+i（s）dω（s），] （11）

[0=2xTi（t）M（i）1+xTi（t-τi（t））M（i）2 ×xi（t-τ_i）-xi（t-τi（t））-t-τi（t）t-τ_igi（s）ds-t-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s），] （12）

[0=2xTi（t）S（i）1+xTi（t-τi（t））S（i）2 ×xi（t-τi（t））-xi（t-τi）-t-τit-τi（t）gi（s）ds-t-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s）.] （13）

应用引理1（ii），对任意矩阵[Zj≥0， j=1，2，…，8，]，下列不等式成立：

[-2ξT（t）N（i）t-τi（t）tgi（s）ds≤τiξT（t）N（i）Z-1iN（i）Tξ（t）+t-τi（t）tgTi（s）Zigi（s）ds，] （14）

[-2ξT（t）M（i）t-τi（t）t-τ_igi（s）ds≤hiξT（t）M（i）Z-12+iM（i）Tξ（t）+t-τi（t）t-τ_igTi（s）Z2+igi（s）ds，] （15）

[-2ξT（t）S（i）t-τit-τi（t）gi（s）ds≤ hiξT（t）S（i）Zi+Z2+i-1S（i）Tξ（t）+t-τit-τi（t）gTi（s）（Zi+Z2+i）gi（s）ds，] （16）

[-2ξT（t）N（i）t-τi（t）tg2+i（s）dω（s）≤ξT（t）N（i）Z-14+iN（i）Tξ（t）+t-τi（t）tgT2+i（s）dω（s）Z4+it-τi（t）tg2+i（s）dω（s），] （17）

[-2ξT（t）M（i）t-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s）ds≤ξT（t）M（i）Z-16+iM（i）Tξ（t）+t-τi（t）t-τ_igT2+i（s）dω（s）Z6+it-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s），] （18）

[-2ξT（t）S（i）t-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s）≤ ξT（t）S（i）Z4+i+Z6+i-1S（i）Tξ（t） +t-τit-τi（t）gT2+i（s）dω（s）Z4+i+Z6+it-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s），] （19）

其中

[N（i）=N（i）1T N（i）2T 0 0 0 0 0 0 0 0T，M（i）=M（i）1T M（i）2T 0 0 0 0 0 0 0 0T，]

[S（i）=S（i）1T S（i）2T 0 0 0 0 0 0 0 0T.]

由式（4）有

[fTi（x3-i（t-τ3-i（t）））fi（x3-i（t-τ3-i（t）））≤x3-iT（t-τ3-i（t））×LTiLix3-i（t-τ3-i（t））， i=1，2.] （20）

沿着系统（5）解的轨迹，对[?V]求时间的导数：

[?V（x1（t），x2（t））=i=12?V1（x1（t），x2（t）） +?V2（x1（t），x2（t））+?V3（x1（t），x2（t）），]

[?V1（x1（t），x2（t））=2xTi（t）Pi-Aixi（t）+Wifi（x3-i（t-τ3-i（t））） +gT2+i（t）Pig2+i（t），] （21）

[?V2（x1（t），x2（t））≤xTi（t）（Qi+Ri）xi（t）-xTi（t-τ_i）Qixi（t-τ_i） -xTi（t-τi）Rixi（t-τi）+xTi（t）Tixi（t） -（1-μi）xTi（t-τi（t））Tixi（t-τi（t）） ，] （22）

[?V3（x1（t），x2（t））=gTi（t）τiZi+hiZ2+igi（t）-t-τitgTi（s）Zigi（s）ds -t-τit-τ_igTi（s）Z2+igi（s）ds+gT2+i（t）τiZ4+i+hiZ6+ig2+i（t） -t-τitgT2+i（s）Z4+ig2+i（s）ds-t-τit-τ_igT2+i（s）Z6+ig2+i（s）ds]

[ =gTi（t）τiZi+hiZ2+igi（t）+gT2+i（t）τiZ4+i+hiZ6+ig2+i（t） -t-τi（t）tgTi（s）Zigi（s）ds-t-τi（t）t-τ_igTi（s）Z2+igi（s）ds -t-τit-τi（t）gTi（s）（Zi+Z2+i）gi（s）ds-t-τi（t）tgT2+i（s）Z4+ig2+i（s）ds -t-τi（t）t-τ_igT2+i（s）Z6+ig2+i（s）ds-t-τit-τi（t）gT2+i（s）（Z4+i+Z6+i）g2+i（s）ds.] （23）endprint

联立式（11）-（23），可得：

[?V（x1（t），x2（t））≤ξT（t）?1+?T2U1?2+?T3U2?3+?T4U3?4+?T5U4?5 +i=12τiN（i）Z-1iN（i）T+hiM（i）Z-12+iM（i）T +hiS（i）Zi+Z2+i-1S（i）T+N（i）Z-14+iN（i）T +M（i）Z-16+iM（i）T+S（i）Z4+i+Z6+i-1S（i）Tξ（t） +t-τi（t）tgT2+i（s）dω（s）Z4+it-τi（t）tg2+i（s）dω（s） +t-τi（t）t-τ_igT2+i（s）dω（s）Z6+it-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s）]

[ +t-τit-τi（t）gT2+i（s）dω（s）Z4+i+Z6+it-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s） -t-τi（t）tgT2+i（s）Z4+ig2+i（s）ds-t-τi（t）t-τ_igT2+i（s）Z6+ig2+i（s）ds -t-τit-τi（t）gT2+i（s）（Z4+i+Z6+i）g2+i（s）ds，] （24）

其中

[ξ（t）=xT1（t） xT2（t） xT1（t-τ1（t）） xT2（t-τ2（t）） fT2（x1（t-τ1（t））） fT1（x2（t-τ2（t））） xT1（t-τ_1） xT1（t-τ1） xT2（t-τ_2） xT2（t-τ2）T.]

由于

[Εt-τi（t）tgT2+i（s）dω（s）Z4+it-τi（t）tg2+i（s）dω（s）=Εt-τi（t）tgT2+i（s）Z4+ig2+i（s）ds，]

[Εt-τi（t）t-τ_igT2+i（s）dω（s）Z6+it-τi（t）t-τ_ig2+i（s）dω（s）=Εt-τi（t）t-τ_igT2+i（s）Z6+ig2+i（s）ds，]

[Εt-τit-τi（t）gT2+i（s）dω（s）Z4+i+Z6+it-τit-τi（t）g2+i（s）dω（s）= Εt-τit-τi（t）gT2+i（s）（Z4+i+Z6+i）g2+i（s）ds，]

则有

[Ξ=?1+?T2U1?2+?T3U2?3+?T4U3?4+?T5U4?5 +i=12τiN（i）Z-1iN（i）T+hiM（i）Z-12+iM（i）T+hiS（i）Zi+Z2+i-1S（i）T +N（i）Z-14+iN（i）T+M（i）Z-16+iM（i）T+S（i）Z4+i+Z6+i-1S（i）T<0，]

对所有[x1（t），x2（t）]（[x1（t）=x2（t）=0]除外），有

[ΕdV（x1（t），x2（t））=Ε?V（x1（t），x2（t））dt<0]，

其中[Ε]为数学期望算子。由Schur补充条件，上式等价于[Ξ<0]。那么，由Lyapunov稳定性定理可知，系统（5）均方意义下是全局渐近稳定的。定理1证明完毕。

4 仿真算例

本文将用一个仿真算例说明所得结论的有效性。

例1 考虑具有区间时滞和随机干扰BAM神经网络模型系统（5），其参数为

激活函数为[fi（x）=12x+1-x-1，i=1，2，]

时滞为

那么，显然对任意i和j，有li-lj=1， 即L1=L2=I。同时

运用定理1，通过Matlab求解 （9）式，容易判定系统（5）在均方意义下是全局渐近稳定的。所得的部分可行解如下：

[P1=1.1886-0.0918-0.09182.2512， P2=2.9766-0.3644-0.36442.6715，α1=0.6267， α2=1.3079.]

5 结束语

本文得到了一个BAM神经网络的全局渐近稳定性的新结果，该神经网络是带有区间时滞和随机干扰的。与现有大部分文献相比，该文的稳定性判定准则去掉了导数上界的限制，既可以适用于快时滞的情况，也适用于慢时滞的情况。最后，一个仿真算例验证了结论的有效性。

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