等量电荷电场线的分布及电场强度、电势的特点分析

廖贵生

高二物理选修3-1教材中，在静电场中，“电场”这个概念很抽象，特别是对初学者来说，对等量电荷电场线分布及场强、电势特点模糊不清，以至在应用过程中经常出错。

1.等量电荷电场线分布

电场线的特点：①电场线从正电荷或无限远出发，终止无限远或负电荷；②电场线在电场中不相交，这是因为在电场任意一点的场强不可能有两个方向；③在同一幅图中，可以用电场线的疏密来表示场强的大小：即电场线 密的地方场强大，电场线疏的地方场强小。

2.等量电荷的场强

（1）等量正、负点电荷。等量正、负点的场强的大小用点的电荷的场强公式E=k—来计算。根据公式可知，离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成球面上的场强大小相等。方向：正点电荷的场强方沿着电场线的方向向外，负点电荷的场强方向沿着电场线向内。

（2）等量异种、同种电荷的场强。在实际应用中，主要考查等量异种、同种电荷两条特殊线的场强，下面就等量异种、同种电荷两条特殊线（两电荷的连线上和两电荷连线上的中垂线）的场强进行分析。

等量异种电荷：例一：两电荷连线上。如图1所示，在两电荷连线上任取一点G，设AG长度为x，则G点场强EG为两点电荷分别在该点的场强EA、EB的矢量和，方向从A指向B（由正电荷指向负电荷一侧），由点电荷场强公式知：

EG=EA+ EB=—+—

=—

∵x+（L-x）等于定值L，∴当x=（L-x），即x=—时，x与（L-x）乘积最大

∴这时EG有最小值，即在两电荷连线中点O处场强最小，将x=—带入上式，可求得EG最小值EGmin=——，

方面由A指向B。从O点向两侧逐渐增大，数值关于O点对称。

小结：等量异种电荷连线中点场强最小，靠近点电荷场强渐强，方向从正点荷指向负电荷。

例二：中垂线上。如图2所示，在中垂线上，任取一点H，设OH=x，根据对称性知：EH沿水平方向向右，即在中垂线上各点场强水平向右（垂直于中垂线指向负电荷一侧），沿中垂线移动电荷，电场力不做功，由电势差定义知：中垂线为一等势线，与无限远处等势，即各点电势为零。

H点的场强

EH=—·cosθ=—·

—=—

∴在O点，即x=0处，EH最大，x越大，即距O点越远EH越小，两侧电场强度数值关于O点对称。

小结：等量异种电荷的中垂线上电场强度由中点向上向下减小，方向与两点电荷的连线平行且由正电荷指向负电荷。

等量同种电荷：例一：电荷连线上。如图3所示，在两电荷连线上任取一点N，设AN长度为x，则N点场强EN为两点电荷在该点的场强EA、EB的矢量和，方向沿AB连线，O点左侧从A指向B，右侧从B指向A（沿两电荷连线指向较远一侧电荷，若两电荷为等量负电荷则反之），N点电场强度大小知：EN=—-—，

∴当x=—时，EN=0，即在两电荷连线中点O处场强最小，从O点向两侧逐渐增大，数值关于O点对称，方向相反。

小结：等量同种电荷连线上中点场强为零，向两侧逐渐增大。

例二：中垂线上。如图4所示， 根据对称性知：在O点两侧，电场强度方向均沿中垂线方向从O点指向无限远（若两电荷为等量负电荷则反之），由极限分析法易得：在O点处，E=0；在距O点无限远处，E=0。说明中间某位置有极大值，可见：合电场强度的大小随着距O点的距离增大，先从零增大到最大，然后逐渐减小。在中垂线上，任取一点P，设OP=x，AP=BP=r.由点电荷场强公式，（注意：场强是矢量，矢量求和时要考虑方向，在P点沿AB中垂线方向和垂直于中垂线方向分解EA和EB），故P点场强为：

EP=2EAcosθ=—=

—·—=—

运用数学方法，令y=—，

求导可得：

y'=

令y'=0，则[x2+（—）2] =3x2[x2+（—）2] ，

即x2+（—）2=3x2，∴当x=±—L时， EP有最大值EPmax=—。

∴从中点沿中垂线向两侧，电场强度的数值先增大后减小，两侧方向相反，关于O点对称的点数值相等。

小结：等量同种电荷连线的中垂线上，从中点向两侧电场强度先增大后减小，两侧方向相反，关于O点对称的点数值相等。若两电荷为等量正电荷，则电场强度方向均沿中垂线方向从中点指向无限远；若两电荷为等量负电荷，则电场强度方向均沿中垂线方向从无限远指向中点。

3.电势

无论哪种类型的电场中，沿着电场线方向电势逐渐降低。

（1）正、负点电荷。若取无穷远处的电势为零，则正（或负）点电荷电场中的电为正（或负）。与点电荷等距的各点组成的球面是等势面，离正（或负）点电荷越近，等势面越密。如图5甲、乙。

（2）等量异种电荷。① 电荷连线上：由于沿着电场线的方向电势降低，所以连线上从正点电荷到负点电荷电势降低。②两点电荷连线中垂线上：由于中垂线上场强方向与中垂线垂直，所以某检验荷在中垂线上移动时，电场力不做功，由 知，中垂线上任意两点的电势差为零，即中垂线上电势均为零。

（3）等量同种电荷：①可根据电势与电场线的关系（沿着电场线的方向电势降低）直接判断：连线上，中点电势最小，从中点往两边电势升高；中垂线上从中点往两边电势降低，无穷远处为零。电场线的分布如右图所示。②也可由电势差的定义UAB=—判断。先看两点电荷的连线上：设一正检验电荷由连线上某点A向中点O移动时，如图6所示。

根据W=FS cosθ知，F与S的方向相同，故F做正功，q又为正电荷，所以UAO=—>0即UAO=φA-φO>0故φA>φO可知连线上从O到点电荷电势升高，又由于两边对称，故连线上O点电势最低。同理可知中两点电荷的垂直线上中点O电势最高，往两边电势降低。

小结：等量同种电荷连线上，中点电势最低，从中点往两侧电势升高；中垂线上从中点往两边电势降低，无穷远处电势为零。

4.应用举例

（1）如图7所示，在等量异种点电荷电场中有A、B、C、D四点，其中承B、D在两点电荷连线的中垂线上（连线的中点为O）OA>OC，OB>OD（重力不计）则下列说法正确的是（ ）

A.EA< EC，EB< ED

B.EA> EC，EB < ED

C.将一点电荷从B处由静止释放，则它必沿直线运动

D.将一点电荷以一定的速度V0从B处没BD直线开始进入电场，则其运动轨迹必为曲线

答案：BD

解析：利用等量异种点电荷电场线分布特点，A处电场线较密，C处电场线较疏，EA>EB很直观。但B 、D两处并不直观，但根据电场线在该处呈对称性和两点电荷连线中垂线上距中垂线中点远处电场疏，可得EB

（2）如图所示，P、Q是两个电荷量相等的正的点电荷。它们连线的中点是O，A、B是中垂线上的两点，OA<

OB，用EA、EB、φA、φB分别表示A、B两点的场强和电势，则（ ）

A.EA一定大于EB，φA一定大于φB

B.EA不一定大于EB，φA一定大于 φB

C.EA一定大于EB，φA不一定大于φB

D.EA不一定大于EB，φA不一定大于φB

答案：B

解析：从O到无穷远处场强先增大后减小，方向沿中垂线指向无穷远，在中垂线上电势O点最高，沿电场线方向逐渐降低。故EA不一定大于EB，φA一定大于φB。

总结：通过学习等量电荷的电场分布、场强与电势特点，特别是等量异种电荷和等量同种电荷在两条特殊线上的场强、电势特点的分析，在遇到此类题目都可以运上述知识来求解，希望能对学生有所帮助！

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.物理选修3-1[M].北京： 人民教育出版社，2010.

[2]人民教育出版社物理室.高中物理（必修加选修）[M].北京：人民教育出版社，2002.

（作者单位：江西省分宜县第二中学）