数学归纳法的应用举例

刘兴

【摘要】数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有推理、研究两种基本意义。本文主要给出了数学归纳法在各种数学问题中的应用举例，旨在利用归纳法发现和提出数学猜想，发现问题的结论，找到解题途径。

【关键词】数学归纳法；完全归纳法；应用举例

1引言

归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，数学归纳法属于完全归纳法。数学归纳法是一种特殊的论证方法，是解决有关整数问题的一种工具，它使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断。虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果。

2数学归纳法的应用举例

2.1证明有关自然数的等式

例1：证明前n个自然数的立方和．

证明 1.．

2.假设，

则

命题证明完毕．

2.2证明有关自然数的不等式

例2：（贝奴利不等式）用数学归纳法证明：(1+∂)n>1+n∂，这里∂>-1且不等于0，n 是大于1的自然数.

证明 1.对于n=2，因∂2>0，故不等式正确．

2.假设不等式对于n=k成立，k∈N，即(1+∂)k>1+k∂.

当n=k+1时，(1+∂)>0，从而有(1+∂)k+1>(1+k∂)(1+∂)，则(1+∂)k+1>1+(k+1)∂+k∂2，將不等式右边舍去正项k∂2，可知所求证不等式成立．

2.3在函数迭代中的应用

一些比较简单的函数，它的n次迭代表达式，可以根据定义直接代入计算，归纳出一般规律后，再用数学归纳法予以证明。所以，直接求法的本质，就是数学归纳法。其中，关键是通过不完全归纳法，找出f[n](x)的一般表达式。

例3：f(x)=x2，求f[n](x)．

解 由定义，f(x)=x2，

f[2](x)=f[f(x)]=f(x2)=(x2)2=，

一般地，可猜得，．假定上式成立，则有．

由数学归纳法知，对所有自然数n都成立．

2.4在几何中的应用

例4：空间被n个平面（这些平面每三个相交于一点，但每四个没有交点，即各斜交平面）划分成多少个部分？

解 1.一个平面将空间分成两个部分．

2.假设空间被n个斜交平面划分成F3(n)个部分，然后考虑n+1个斜交平面的情形．

原先的n个平面将空间划分为F3(n)个部分，这n个平面与第n+1个平面π相交于n条斜交线，因此将它划分为个部分．

因此.

用n-1,n-2,...,2,1代替n，

有：

…

，，

将这些等式相加，得：

．

命题证明完毕．

2.5在排列、组合中的应用

由于数学归纳法可以解决有关自然数的问题，而排列组合与自然数密切相关，所以，在排列组合的许多结论，都可以用数学归纳法来证明。比如排列数公式、组合数公式、自然数n的阶乘公式，二项式定理等重要公式，都能用数学归纳法加以证明。

例5：证明n个元素的全排列的种数可以按下列公式求得：

Pn=1·2·3·...·n=n! （n是自然数）.

证明 1.对于n=1，上式显然是正确的，P1=1=1!．

2.假设n=k时成立，即Pk=k!．

当n=k+1时，加入第k+1个元素，则第k+1个元素的放法有k+1种，由分步计数原理可得：k+1个元素的全排列数

．

从而，当n=k+1时上式也成立．命题证明完毕．

2.6在数列中的应用

数列是中学数学的一个重要内容，其中等差数列、等比数列尤为重要，它与高中数学中的很多知识都有联系，作为解决整数问题的数学归纳法，同样可以用来解决一些有关数列的知识。如等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式的证明都需要用数学归纳法。

例6：证明等差数列的前n项为 .

证明 1.当n=1时，公式成立，S1=a1．

2.假设当n=k时公式正确，即 ，

当n=k+1 时，

因此，对一切自然数n的值，前n项和公式都是成立的．

2.7有关整除的问题

例7：求证：对于整数n≥0下面的式子能被133整除：11n+2+122n+1 .

证明1.当n=0时，上式等于133，显然能被133整除．

2.假设当n=k时，11k+2+122k+1能被133整除．

当n=k+1时，

根据我们所作的假设，第一个加数能被133整除，第二个加数里面含有因数133，因此，他们的和，也就是原表达式在n=k+1的时候也能被133整除．

3结束语

数学归纳法是证明数学问题的一个重要方法，在数学中的应用十分广泛，本文只是简单地举了几个解决实际问题的应用例子。本文介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等。

参考文献：

[1]史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．[M]大连理工大学出版社，2008.

[2]华罗庚著．数学归纳法．[M]上海教育出版社，1964．

[3](苏联)索明斯基著．数学归纳法．[M]中国青年出版社，1954.

[4]吴之季，严镇军，杜锡录等著．归纳·递归·迭代.[M]人民教育出版社，1990.

[5](苏联)伊·亚·杰朴著.数学归纳法.[M]人民教育出版社，1958.