浅析直线和圆的方程中常见的错误

安桂林

【摘要】直线和圆是解析几何的重要内容之一，它是圆锥曲线的基础，也是连接平面与解析几何的桥梁，在解析几何中占有很重要的作用。在解题过程中，常有一些若暗若明、含而不露的条件，隐藏在题设或结论的背后，在我们没有觉察的情况下，将我们的解题思路引向歧途，如何躲开题中预设的“陷阱”，得到正确的解题结果，这就需要我们对常见的“陷阱”做到心中有数，笔者整理出了解析几何题中的各种“陷阱”，同学们如果在解答解析几何题的时候，对照这些可能忽略的条件，一定可以得出更全面正确的答案。

【关键词】直线；圆；曲线；错解；正解

一、因概念不清而导致错误

例1：求经过P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

错解：设直线方程为x-a+y-a=1，将P(2,3) 代入得a=5故x+y-5=0即为所求方程。

剖析：混淆了“截距”和“距离”的概念，忽略了直线过原点时截距为0的特殊情形，此时，直线方程为x+y-5=0。

正解：当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距均为０，即3x-2y=0，符合题意；当直线不经过原点时，解法同错解，故所求直线方程为x+y-5=0和3x-2y=0。

二、忽视斜率不存在

例2：直线l过点P(2,1)且与直线过 的夹角为30°，求直线l的方程。

错解:设直线l的斜率为k则直线l的方程为y-1=k(x-2),据题意得解得，故所求的直线方程为 。

剖析：在运用直线的点斜式和斜截式方程时，经常会发生此类错误，即没有考虑直线的斜率不存在的情况。事实上当所求直线斜率不存在时也满足条件，即所求直线还有一解为x=2。

正解：当斜率不存在时，所求直线方程为x=2,符合题意，当斜率k存在时，解法同错解，故所求直线的方程为x=2和。

评注：若将直线方程设为点斜式或斜截式时，则解题时需分斜率存在和不存在两种情况讨论，否则极易漏解。

三、夹角公式与到角公式混同

例3：求过点p(1,2)，且被两条平行线4x-3y-1=0与4x+3y+4=0截得的弦长为的直线方程。

错解：两条平行线间的距离为，故所求直线与两条平行线的夹角为45°，设所求直线方程为y-2=k(x-1)，则由题意有，解得，故所求直线方程为x+7y-15=0。

剖析：错解原因是误用到角公式代替两直线的夹角公式。

正解：两直线间的距离为，设所求直线方程为y-2=k(x-1)，则由题意，解得或k=7，故所求直线方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0。

评注:求两条直线相交所成的角，一定要分清夹角还是倒角。

四、忽视过两条相交直线交点的直线系方程中的限制条件

例4：求过两条直线x-2y+3=0与x+y-3=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程。

错解：设所求直线方程 X-2Y+3+λ(X+Y-3)=0即(1+λ)x+(λ-2)y+3-3λ=0，令X=0得，令Y=0得依题意得，解得λ=1，故所求直线方程为2x-y=0。

剖析：方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0

表示经过两条直线l1和l2交点的直线系方程，上述解法正是遗漏了的方程，即x+y-3=0也符合题意，故所求直线方程为2x-y=0和x+y-3=0。

评注：运用直线系方程解题时，一定要考虑l2是否符合题意，否则极易漏解。

五、忽视圆的一般方程的充要条件

例5：已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，过定点A(-1,-2)的圆的切线有两条，求a的取值范围。

错解：将圆的方程配方，得．

设圆心为C，则其坐标为，圆的半径，

过A(-1,-2)所作圆的切线有两条，点A在圆外．

|AC|>r，即

化简，得a2-a+1>0

∵△=1-4=-3<0∴a∈R

故a的取值范围是R

剖析：要求a的取值范围应同时满足两个条件：方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆的条件是a2+4-4a2>0；已知点A必须在圆外，即|AC|>r上述解答忽视了方程表示圆的条件而致误。

正解：方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆，a2+4-4a2>0即3a2-4<0

解得以下同错解部分，故a的取值范围是。

评注：对含参数的圆的一般方程，应注意该方程表示圆的条件，即D2+E2-4F>0。

六、直线夹角中的增漏解

两直线夹角定义可概括为“从一条直线到另一条的角中，把不大于直角的角叫做两条直线所成的角，简称角”。这个概念虽然简单，但在解题时，仍会不自觉地走进认识的误区，导致解题错误。

1.多求了一条直线

例：已知直线l1：x+y-2=0，l2：7x-y+4=0，求直线l1和l2夹角的平分线的方程。

错解：设直线l1和l2夹角的平分线的斜率为k，则由夹角公式得：，解得或k=-3又由，得两直线交点坐标为．直线l1和l2夹角的平分线方程为x-3y+7=0或6x+2y-3=0。

剖析：由于k1·k2≠-1，所以l1和l2互相不垂直，按两直线夹角的定义，l1和l2的夹角只能是锐角，它们夹角的平分线方程有且仅有一条，即6x+2y-3=0。而上述解答中，因为忽视了两直线夹角的概念，而多求了夹角的邻补角的平分线方程x-3y+7=0。

2.少求了一条直线

例：求过点p(2,3)且与直线l：2x+3y-6=0的夾角为的直线方程。

错解：设所求直线的斜率为k，因直线l的斜率为，故，解得所求直线的方程为，即5x-12y+26=0。

剖析：由平面几何知识可知本题由两解，而上面的解法仅解出一解，漏掉了一解，导致错误的原因是没有考虑斜率不存在的情况。

（1）若所求直线的斜率存在，由上法解得直线方程为5x-12y+26=0。

（2）若所求直线的斜率不存在，由直线过点p(2,3)，故直线方程为x=2，直线x=2与直线2x+3y-6=0的夹角为，满足要求，故所求直线方程为5x-12y+26=0或x=2。