函数学习错觉反思

安桂林

错觉是人对客观事物歪曲的知觉，在函数学习中,它又经常表现为在一定问题情境中对过去若干习得经验的错误加工。下面是比较典型的8个例子。

例1若A={1,2,3},B={1,2,4,7,9},则以“平方”为对应关系从A到B的函数个数为()。

（A）0 （B）1 （C）3 （D）4

错解在已知定义域与对应关系下,从A到B的函数为“f:1→1,2→4,3→9”,故只有一个,选B。解析我们先看一下教材关于函数的定义:“设A,B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function),记作y=f(x)，x∈A.”很明显，定义中强调的一个函数而并非是唯一的函数；强调的是“A、B与对应关系”这个整体而并非只有“定义域与对应关系”这两部分。按教材的定义,若记函数值的集合(值域)为C，则由“定义域与对应关系”确定的函数“f∶A→C”仅仅为函数“f:A→B”中特殊而又唯一的一个。在本题中，由于定义域、对应关系已经给出，故不同函数“f:A→B”的确定，其关键就在于确定集合B中的元素，它必含1，4，9，而元素2，7可分别含0个、1个或2个，故满足条件的函数“f:A→B”共有4个，D真。

反思:本错觉源自熟识了的自初中至高中的一般函数问题，当函数已知并无特别声明时,我们通常是指由定义域、对应关系确定的从定义域到值域的函数（下同），但这并非就是函数的完整定义！

例2 若定义在R上的奇函数f(x+1)满足f(x+3)=-f(x)，f(2)=1则f(6)-f(8)

错解：因为f(x+1)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，从而有f(6)-f(8)=-f(3)+f(5)=f(0)-f(2)=-1。

解析：按照定义,“y=f(x),x∈A”即是一句话“y是定义在A上关于x的函数”。故已知条件“定义在R上的奇函数”意即关于x的函数是奇函数，所以有f(1+x)=-f(1-x),即有f(x)=-f(2-x).而f(x+3)=-f(x),f(2)=1故f(6)-f(8)=f(0)-f(2)=-f(2)-f(2)=-2。

反思：此错觉因混淆诸如“已知f(x)，求f(x+1)”等类问题引起.应该明白,在函数f[g(x)]中,自变量仍然为“x”，它由f(x)中通过对g(x)的运算而得到，运算时是将“g(x)”作为自变量，但运算后“g(x)”已不是f[g(x)]的自变量了！由此，我们可有如下一些结论：

（1）若f[g(x)]是以T≠0为周期的周期函数，则对定义域内的任一x，恒有f[g(T+x)]=f[g(x)]；

（2）若f[g(x)]是奇函数，则对定义域内的任一X，恒有f[g(-x)]=-f[g(x)]；

（3）若f[g(x)]是偶函数，则对定义域内的任一x，恒有f[g(-x)]=f[g(x)]。

例3 已知，求。

错解:设,得，所以的反函数是,

x≠2。

解析:由例2的解析知是指由f-1(x) 对“”运算后的结果。于是,本题的真意是:先求的反函数f-1(x) ,后求。由,得。令,得,(x≠2),所以。

反思：本错解出自对f-1[g(x)]的理解，从表象看，既然f[g(x)]是关于x的函数，所以它的反函数当然是f-1[g(x)]。但根据函数的运算意义,只有确定了函数f-1(x) 后才可有f(x)对g(x)的运算f-1[g(x)],故应先求f-1(x) ,再求f-1[g(x)]。

例4 判定函数的奇偶性。

错解：因为f(x)=x2+x-1是非奇非偶函数,所以也是非奇非偶函数。

解析：函数是一个整体,其奇偶性是它的整体性质,故应从整体着手进行判断。解答如下：函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).又当x<0时, -x>0,f(-x) =-(-x)2+(-x)+1=-f(x).故f(x)是奇函数。

反思:本错觉因习得的判定非分段函数的奇偶性而致:若非分段函数f(x)对定义域内的某一组相反数x0,-x0,有f(-x0)≠±f(x0),则f(x)必为非奇非偶函数,可用它来判定分段函数的奇偶性便背离了函数奇偶性的定义!

例5 已知函数的定义域是R,求实数a的取值范围。

错解:由已知f(x)=ax2+ax-3≠0对任意实数x恒成立，抛物线与x轴无交点，故有△=a2+12a<0，解得-12

解析：错解中“f(x)=ax2+ax-3≠0对任意实数x恒成立”是正确的，但函数f(x)=ax2+ax-3并非一定是二次函数，因为“a=0”也符合条件，故本题应分为a=0和a≠0两种情况予以解答，答案为-12

反思：类似于本例中的错误在求解函数问题中经常见到，一方面二次函数的有关结论在我们头脑中留有较深印象,另一方面我们在平时学习中又没有很好注意“二次函数f(x)=ax2+bx+c”与“函数f(x)=ax2+bx+c”之间的微妙区别，诸如后者的不良思考习惯再加上类似于前者的解题经历,往往是产生此类错觉的直接原因。如在求解问题“已知关于x的不等式mx2-4mx+m+3>0的解集为非空集合，求实数m的取值范围”时，我们就易遗漏m=0这种情况！

例6函数y=f(x)定义在R上，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)两图像的对称情况是（）

A .关于直线y=0对称

B.关于直线x=0对称

C .关于直线y=1对称

D.关于直线x=1对称

错解：因为f(1-x)=f[-(x-1)]，所以两函数图象关于y轴对称，故选B。

解析：错解判定的对称性，即是满足条件f(x-1)=f(1-x)的函数y=f(x)的对称性，它是一个函数图像的对称，属自对称问题。研究互对称有两种解决方法，一种用图像变换考虑： y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像分别由y=f(x)与y=f(-x)的图像向右平移1个单位得到(因为f(1-x)=y=f[-(x-1)]),而y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称, 所以两函数图象关于直线x=1对称,选D。另一种用函数值相等或互为相反数时对应自变量之间的关系考虑：设两函数图像上两点关于直线x=x0对称，则有x1-1=1-x2，于是得，故D真。

反思：自对称与互对称是图像的两类基本对称,两者既有联系又有区别。从联系角度看,它们均可用坐标来考虑:函数图像的自对称问题从f(x1),f(x2)出发考虑相应的中点；函数互对称問题从f[g(x1)],f[g(x2)]出发,通过列式g(x1)=g(x2)。