中考数学圆知识的热点题型分析

吴金有

纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起读者的注意。下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下，以抛砖引玉。

一、圆的性质的考查

基礎知识链接：

例1：如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点， ∠BOC＝46°，则∠AED的度数为 。

【分析】由B、C分别是劣弧ＡＤ的三等分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD,又∠BOC＝46°，所以∠AOD=138°。

根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有∠AED＝69°。

【点评】本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。

二、直线与圆的位置关系的考查

基础知识链接：①直线与圆的位置关系有三种；②直线与圆的位置关系的判定；③圆的切线的性质与判定。

例2：如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD， 垂足为E，DA平分∠BDE。

（1）求证： AE是⊙O的切线；

（2）若∠DBC=30°,

DE=1cm，求BD的长．

【分析】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA.

∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.

∴∠OAD=∠EDA.∴OA∥CE.

∵AE⊥DE，

∴∠AED=90°,∠OAE=∠DEA=90°.

∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．

（2）∵BD是直径，

∴∠BCD=∠BAD

=90°.

∵∠DBC=30°,

∠BDC=60°，

∴∠BDE=120°．

∵DA平分∠BDE，

∴∠BDA=∠EDA=60°．

∴∠ABD=∠EAD=30°．

在Rt△AED中，∠AED=90°,

∠EAD=30°∴AD=2DE．

在Rt△ABD中，∠BAD=90°,

∠ABD=30°∴BD=2AD=4DE．

∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．

【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

三、圆与圆的位置关系的考查

基础知识链接：如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图（1）、（2）、（3）所示，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含，（3）中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆。

如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切,（5）又叫做内切。

如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图（6）所示。

四、圆与多边形的计算考查

基础知识链接：①圆与正多边形的关系的计算；②弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.

例3：小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是

【分析】设圆的半径为1，则圆的面积为π，易算得正方形的边长为，正方形面积为2，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是。

【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，根据古典概型，可转化为面积之比。

例4：两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，

则阴影部分面积为

【分析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8π，图中的阴影面积为圆环面积的一半4π。

【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想。

综合上述例子，我们不难看出，圆知识在中考里的考察面越来越广，这也为我们日常教学起到一定的导向作用。若能将圆知识与其它已学过的数学知识有机地结合起来，即知新，又温故，培养学生综合应用的能力，这对数学思维的训练是大有裨益的。《数学课程标准》指出：“数学学习内容应当的现实的、有意义、富有挑战性的”，放在圆知识学习上，就是找到一个引发学生学习兴趣的“跳一跳，够得着”的认知苹果，挖掘更多新题型、新考法、拓宽知识应用，提升分析问题、解决问题的能力，丰富练习素材，优化整个教与学的过程。