关于双曲线若干问题的探讨

刘学英

【摘要】双曲线是圆锥曲线的重要内容之一，也是高考的热点问题，知识综合程度较高，且易于发散，运算复杂．此中不乏双曲线的第二定义和焦点弦等问题，无疑，这类问题在启迪学生思维，拓宽解题思路等诸多方面都有十分重要的作用，因而它在中学数学教材及各种复习资料中始终占有一席之地，针对双曲线的第二定义、焦点弦等问题及其应用，有必要作进一步的探讨和研究。

【关键词】新课改；双曲线；焦点弦；第二定义

新的数学课程标准是在以学生发展为本的理念下，要求学生转变学习方式，教师积极探索，转变教与学观念，加深对课本内容的拓展理解和应用。所以，在数学教学中，教师应善于引领学生对课本的一些重要问题进行进一步的探索与研究，以提高学生的数学素质与应试能力。双曲线的定义和焦点弦是圆锥曲线中非常重要的几何概念，同时也是各类考试的重点和热点，角度常變，常考不衰。但在普通高中课程标准实验教科书中，仅仅介绍了双曲线的第一定义及其直接的、简单的应用，对于双曲线的焦点弦问题，几乎未作出任何探讨，教师在教学过程中，也往往局限于新课程标准的教学目标和要求，没有对这些知识做出进一步的拓展补充。因此，学生往往不能对该类知识点做到透彻理解，巧妙应用。为此，针对双曲线的两个定义及焦点弦问题，结合具体事例，做一些简单探讨。

1 双曲线的两个定义

定义1：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

定义2：平面上与一个定点（焦点F）的距离和一条定直线（准线l）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当01时是双曲线;当e=1时是抛物线。

例1 (2008湖南）若双曲线(a>0,b>0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）

A．(1，)；B．(，+∞)；

C．(1，)；D．(，+∞)

分析：本题是圆锥曲线中的计算问题，设双曲线的右支上一点为P(x1,y1)，x1≥a，则点P到左准线的距离为，到右准线的距离为，由双曲线的第二定义得点P到右焦点的距离为，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1

2 焦点弦问题

2.1 焦点弦的一个性质

设双曲线方程为，离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为α，则有

当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的同支上时，|cosα|<1-e （1）

当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的异支上时， |cosα|>1-e （2）

当直线l与双曲线只有一个交点时，|cosα|=1-e （3）

证明：由对称性，不妨设F为有焦点(c,0)

（1）由渐近线与弦AB斜率的关系知

⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2

⇒|cosα|>1-e 。

（2）首先A，B在双曲异支上时，由渐近线与弦AB斜率的关系知

，

，

⇒1+tan2α

（3）由于直线l与双曲线有且只有一个交点，依题意则直线l与该双曲线的渐近线平行，即 ，

，

。

2.2 弦长公式

设双曲线离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为θ，焦点F到相应准线的距离为d，则有

当双曲线方程为，弦AB的长。

当双曲线方程为，弦AB的长。

证明：当焦点在X轴上时，设双曲线方程为，焦点F(c,0)到相应准线的距离为，离心率为。

先推导弦AB所在直线的参数方程，首先AB所在直线的一般方程为y=tanθ(x-c)，此直线方程可看做是直线y=tanθ·x按向量(c,0)平移得到的，而对直线y=tanθ·x，设x=tcosθ，则y=tsinθ，即可得上述直线的参数方程为

x=tcosθ+c

{y=tsinθ（t为参数），

事实上，令

=|t1-t2|。

可发现参数t的几何意义为直线AB上的某段弦长。

将弦AB所在直线的参数方程与双曲线方程联立，并整理得

(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，

于是，由上述t的几何意义，

。

如果直线l斜率为k， 。

2.3 应用举例

例2已知双曲线的左焦点是F，过F且倾斜角为45°的直线与椭圆的两个焦点在y轴的不同侧，求椭圆离心率e的取值范围。

解：由题意及上述性质1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。

参考文献：

[1]数学课程标准解读（实验）[M].北京师范大学出版社，2002

[2]普通高中课程标准实验教科书（选修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004

[3]陈炆.圆锥曲线统一定义与统一方程中若干问题释疑[J].数学通讯，2010(12)

[4]王后雄.中国高考母题题源[数学理(B)版][M].人民教育出版社，2004