中考复习函数型应用问题题型分析

吴金有

初中阶段所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：

“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合。

类型之一、分段函数应用题

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

例1：2013年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销。为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农。

下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图。请结合图象回答以下问题：

（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？

（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？

（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平。

【分析】从函数图象容易看出前面一段是出台该项优惠政策前的情况，后面一段是出台该项优惠政策后的情况，前面一段所有的量已经知道，容易求出该果园共销售脐橙的重量，为后面一段的求值奠定了基础。

（1）政策出台前的脐橙售价为

；

（2）设剩余脐橙为x吨,则 103×（3×9+0.2）x=11.7×104

∴

该果园共销售了10 +30 = 40吨脐橙 ；

（3）①设这个一次函数的解析式为y=mx+n(10≤x≤40)，

代入两点（10，3）、（40，11.7）

得：

解得：函数关系式为y=0.29x+0.1(10≤x≤40)，

②令y≥10.25(万元)，则10.25≤0.29x+0.1

解得x≥35（吨）

答：（1）原售价是3元/千克；（2）果园共销售40吨脐橙；（3）①函数关系式为y=0.29x+0.1(10≤x≤40)；

②今年至少要销售35吨，总收入才達到去年水平。

类型之二、与二次函数有关的最优化问题

二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用。

例2：枇杷是浙江名果之一，李大伯果园有100棵枇杷树。每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？

注：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是

【分析】先建立函数关系式，把它转化为二次函数的一般形式，然后根据二次函数的顶点坐标公式进行求极值.

解：设增种x棵树，果园的总产量为y千克，依题意得：y=(100 + x)(40 – 0.25x ) =4000 – 25x + 40 x – 0,25x2 = - 0.25 x2 + 15x + 4000

因为a= - 0.25<0，

所以当，

y有最大值

y最大值

答：增种30棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多，最多总产量是4225千克。

类型之三、存在探索性函数问题

存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。