基于姆潘巴效应实验的理论分析

黄兴奎

(荆楚理工学院 数理学院，湖北 荆门 448000)

基于姆潘巴效应实验的理论分析

黄兴奎

(荆楚理工学院 数理学院，湖北 荆门 448000)

运用实验的方法研究了姆潘巴效应及其发生条件，通过建立理论模型找到一个受到“余弦”微扰的指数衰减函数，并与实验结果进行比较，在此基础上对姆潘巴效应进行了理论分析和解释。结果表明：水降温的总趋势为能量越高的水降到冰点所需要的时间就越长，但这一总趋势被另一种类似于周期运动的“微扰”调制，于是出现某些条件下高温水降到冰点所需时间比低温水更少的特殊情况，也就是出现了姆潘巴效应。姆潘巴效应的发生要同时满足温差条件和微扰条件，并非任何高温水都比低温水更快的结冰。

姆潘巴效应；微扰；指数衰减函数；温度谱；降温速率

0 引言

在同等容器、同等体积和同等冷却环境下，温度高的水比温度低的水先结冰的现象被称之为“姆潘巴效应”[1-5]。姆潘巴效应被称为世界物理难题，至今没有令人满意的解释。早在公元前300年，亚里士多德就发现了温度高的水结冰更快的现象，Giovanni Marliani、培根和笛卡尔也曾描述过这一现象。培根的描述是，“轻微加热后的水，比冷水更容易结冰”；笛卡尔的描述是，“经验显示，放在火上加热一段时间的水，比不加热的水结冰更快”。虽然“轻微加热”和“放在火上加热一段时间”这两个限定很模糊，但是表明两位学者已经意识到姆潘巴效应的出现是有条件的，不是绝对的。

国外对姆潘巴效应的研究比较全面，研究成果比较丰富；国内的研究多偏重于定性的分析或较简单的实验验证，缺乏定量研究及深入的理论分析。研究认为有四个因素对姆潘巴效应产生重要影响，包括水的蒸发[6-7]、水中的溶解气体[8]、温度梯度造成的对流和过冷[9-11]。也有研究根据水的化学结构来解释这一现象，还有研究专注于水中微生物的影响[8]，甚至还有文献否认这一现象的存在，认为是由外界条件不一致造成的偶然现象[12]。因此有必要通过实验验证姆潘巴效应，并找出效应发生时两种水应满足的温差条件，即找到姆潘巴效应的“温度谱”，并从理论上对姆潘巴效应进行探讨。

目前关于姆潘巴效应的研究还不深入，但有些领域已在运用姆潘巴效应，如冰淇淋行业和酿酒业，也有研究将其运用到食物的速冻方面，以减少速冻时的能量消耗[13]。因此研究姆潘巴效应有其实际意义。

1 姆潘巴效应的实验研究

实验研究的目的，一是为了验证姆潘巴效应确实存在，二是找出它发生的具体条件。为保证实验数据的准确性，实验过程中使用同一个容器和数字温度计。实验用水为普通自来水，制备热水采用水浴加热法。

1.1 实验概述

1.1.1 实验仪器

加热器、烧杯、不锈钢杯(直径7.8 cm，高7.4 cm)、数字温度计、冰柜、秒表。

1.1.2 实验方法

1)用烧杯量取50 mL的室温水(22.56 ℃),倒入杯口用铝片覆盖的不锈钢杯中；

2)将数字温度计从铝片中央的小孔插入不锈钢杯中；

3)待温度计显示稳定后，将杯子放入最低温度约为-18 ℃的冰柜中的一个固定位置，开始计时。每分钟记录一次水的实时温度，直到水的温度达到冰点后几分钟；

4)用烧杯量取50 mL的自来水，倒入不锈钢杯中，然后放入加热器中用水浴加热到稍高于所需温度；

5)取出不锈钢杯，放在实验台上冷却，达到所需温度附近时，立即放到冰柜内的同一位置，开始计时。每分钟记录一次水的实时温度，直到水的温度达到冰点后几分钟；

6)重复4～5步，实验中水的初始温度从室温到接近沸点的温度，温度间隔约为5 ℃。

1.2 实验结果及分析

如图1a至图1d，初温较高的水比初温低的水先降至冰点，证实姆潘巴效应确实存在。为叙述方便,称0～50 ℃区域为低温区,51～100 ℃区域为高温区；对比实验中初温较高的水为高温水，初温较低的水为低温水。

a 水的初温在低温区的姆潘巴效应b 水的初温在高温区的姆潘巴效应c 水的初始温差较小的姆潘巴效应d 水的初始温差较大的姆潘巴效应图1 50mL水在四种情形下出现姆潘巴效应的水温与冷却时间图

由图1可见，姆潘巴效应发生的过程包含两个阶段：1)高温水以比较快的速率降温，并达到低温水冷却后的实时温度；2)高温水保持比较大的降温速率。在图像上就表现为两条降温线有一次交叉。实验中出现姆潘巴效应的最大温差约为35 ℃，最小温差约为5 ℃，说明姆潘巴效应的出现有一定的温差限度，即姆潘巴效应的出现是有条件的，不是任何高温水都会比低温水结冰更快。具体的实验数据如表1所示。

表1 50mL不同初始温度的水降至冰点的时间

将降至冰点的时间t的倒数定义为降温速率,用y表示,y=1/t,t的单位为分钟(min)。作降温速率和初始温度图，如图2所示。

图2 50mL水的降温速率与初始温度图

图中没有画出5 ℃时的情况，因为这种情况下降温太快，时间倒数过大，会影响到整个图的视觉效果。图2类似于光谱图，可形象地称为“温度谱”图，运用它可以很方便的找出0～100 ℃范围内出现姆潘巴效应的温度条件。如高温水为64 ℃时，能够与43～47 ℃和53～64 ℃两个开区间内的低温水发生姆潘巴效应，而与0～43 ℃和47～53 ℃区间的低温水不能发生姆潘巴效应。当然，水量和冷却条件变化时，出现姆潘巴效应的温差范围以及曲线的形状也会相应的发生变化。

2 姆潘巴效应的理论探讨

2.1 模拟函数及其分析

仔细观察图2中的曲线，可以发现其变化趋势类似于一个受到某种微扰调制的指数衰减函数，通过软件模拟找到如下的模拟函数：

y=0.006+20e-0.04T+0.006cos(0.36T)

(1)

为建立理论模型，将其写成一般形式：

y=B+Ae-aT+Bcos(ωT+b)

(2)

公式(2)中的B可称作“周期性微扰”的振幅，等号右边第一个B的作用在于排除降温速率出现负值的情况；A是温度为0 ℃且忽略微扰时的降温速率；a是决定衰减快慢的参量，类似于衰减因子；T是水的初始温度；ω是表示微扰随初始温度周期性变化的参量；b是初始温度为0 ℃时的相位。将实验图与理论模拟图对照比较，如图3所示，可见两图中降温速率随水的初始温度变化的趋势基本相同，表明用模拟函数来描述实验结果是可行的。

图3 50mL水的降温速率与初始温度关系的实验图和理论模拟图

周期性微扰作用区间在0～100 ℃之间，并非针对某一特殊温度，但在某一特定降温过程中是确定的。正是这种周期性微扰使不同初始温度的水降到冰点的速率出现振荡，造成某些高温水可以比低温水降温更快。

根据公式(2)，高温水降温更快应满足的条件是：

y(T1)-B1≤y(T2)+B2

(3)

其中温度T1、T2分别表示低温水和高温水的初始温度，B1和B2分别是两种温度对应的微扰振幅，这两个量可能相等，也可能不相等，在彻底弄清微扰的本质前还无法具体确定。

要探讨姆潘巴效应的实质，需要找到某些高温水产生大的降温速率并保持这种速率的原因，即找出“微扰”的本质和确定高温水降温更快的具体限制条件。现在已经找到一个很接近实际情况的模拟函数，如果能明确函数中各组成部分的物理意义，解释姆潘巴效应就有了理论依据。

2.2 姆潘巴效应的理论解释

由图1，姆潘巴效应的发生过程分成两个阶段。第一阶段高温水的温度迅速降低，直至达到低温水冷却后的温度，在图中表现为两条降温线交叉点之前的曲线段；第二阶段在交叉点之后，原高温水的降温速率依然有所保持，这一阶段原低温水的实时温度要高于原高温水的实时温度，但其降温速率却不总是大于原高温水的降温速率。可以看出水的温差是姆潘巴效应发生的必要条件，但不是充分条件。

分析理论模拟函数中的组成部分，可以发现Bcos(ωT+b)这一部分对于降温速率y的大小产生周期性的影响，即指数衰减函数y=Ae-aT受到了周期性微扰Bcos(ωT+b)的调制。可以找到一组参量B、A、a、ω、b，使理论模拟图和实验图高度吻合。根据热学理论进行分析[14-16]，微扰主要与对流和蒸发的作用相关，即与水的初始温度有关，初始温度一确定，对流和蒸发的作用，即微扰的作用就内在的确定了。微扰也是姆潘巴效应发生的重要条件,因此发生姆潘巴效应需要满足两个条件：一是两种水的温差范围约在5～35 ℃之间，二是要满足适当的微扰条件(参见图2)，而不清楚微扰条件的客观存在可能就是有些研究否认姆潘巴效应的原因。

作为一个实例，解释一下冬天要用冷水而不用温水洗车这一常识。当水量越少时，结冰速度就越快，模拟函数指数部分的系数就越大，微扰振幅的相对增加量很大，导致更多的不同初始温度的高温水能够比低温水降温更快，而且要快很多。

如图4所示，当水的质量非常小时，微扰振幅变得很大，甚至成为影响降温速率的主要因素。洗车时表面只有很薄的一层水，单位面积内水的质量很小，其微扰振幅就足够大，如图4中的第三行图所示，理论模拟函数按类似正弦规律变化。冬天冷水的温度比较低，只有几摄氏度，而温水的温度约在30～40 ℃之间。由图可见，姆潘巴效应发生的条件得到满足，会出现温水比冷水结冰快的现象，所以冬天要用冷水而不能用温水洗车。

图4 三种不同体积的水的理论模拟函数图

3 结语

实验研究验证了姆潘巴效应，找出了姆潘巴效应发生的条件。实验中出现姆潘巴效应的最大温差约为35 ℃，最小温差约为5 ℃，而在5～35 ℃的温差范围内，也并非所有的初温较高的水就比初温较低的水先结冰，说明姆潘巴效应的出现有一定的温差限度，也受到微扰的制约。

通过对实验结果的分析，找到了一个受到微扰调制的按指数衰减的模拟函数来描述降温速率(即水温降到冰点的时间的倒数)和水的初始温度的关系，微扰是一个类似于三角函数的周期性函数，通过微扰调制的按指数衰减的模拟函数图与实验图吻合得比较好。

目前有关姆潘巴效应的研究还处于起步阶段，无论从理论方面还是从实验方面都有待于进一步研究。姆潘巴效应的影响因素很多，各个因素的影响途径及程度难以精确界定，今后的研究，应该将更多的因素纳入到模拟函数之中，研究各影响因素与模拟函数相关参量之间的定量关系，使之成为能在更大范围内适用的比较精确的理论模型，促使姆潘巴效应的研究逐步趋向深入和完善，也为姆潘巴效应的实际应用奠定理论和实验基础。

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[责任编辑：寸晓非]

2014-09-20

湖北省教育科学"十二五"规划课题：地方院校应用物理学专业人才培养模式研究(2013B198)

黄兴奎(1967-)，男(土家族)，湖北恩施人，荆楚理工学院数理学院副教授，硕士。

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1008-4657(2014)06-0082-05