浅谈“初中三角函数概念”的教学设计

文/贾跃华

在初中，函数的概念是指：在某个变化过程中，有两个变量x、y，如果对x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，其中x为自变量。但很多学生学完三角函数后，只知道在直角三角形中，某一锐角A的正弦sinA=■，余弦cosA=■，正切tanA=■，但如果问学生为什么称为三角函数，其自变量是哪个，因变量是哪个，可能说不清楚，因此，教学中有必要从函数的角度，从以下几方面加以引导，去认识三角函数的本质。

一、从实际生活出发，初步感受“角与比值”的关系

活动1：右图中哪个坡

更陡？它跟什么有关？

结论：跟倾斜角的大小

有关。

活动2：下列哪组坡更陡？它跟什么有关？

结论：跟比值■与■的大小有关。

初步感受：（1）比值越大，倾斜角就越大，坡就越陡。

（2）隐约感受到比值与角存在某种关系。

二、探究1：当角一定时，比值有无变化

问题1：如何确定右图的倾斜程度？

生1：可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。

生2：可通过测量B1C1与AC1的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。

问：你同意她们的看法吗？为什么？

（可以通过三角形相似，证明它们是等的）

（推广）

问题2：一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个顶点的直角三角形（如图），那么图中：

■=■=■=···成立吗？为什么？

结论：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

（说明：比值与直角三角形的大小无关）

三、探究2：当角变化时，比值有无变化

问题：如右下图，当角由∠CAB变为∠CAD时，比值有变化吗？

结论：比值随角变大而变大，比值随角变小而变小。

四、归纳发现

（1）比值随角的变化而变化；

（2）当角确定时，比值也随之确定。

问1：这点像什么？

（函数）

问2：哪个是自变量？哪个是因变量？

（角是自变量，比值是因变量）

五、引出：正切函数概念

在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA

即tanA=■=■

其中，∠A是自变量，比值是因变量，是∠A的函数。

类似：可得出正弦、余弦的概念。

编辑 马燕萍

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在初中，函数的概念是指：在某个变化过程中，有两个变量x、y，如果对x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，其中x为自变量。但很多学生学完三角函数后，只知道在直角三角形中，某一锐角A的正弦sinA=■，余弦cosA=■，正切tanA=■，但如果问学生为什么称为三角函数，其自变量是哪个，因变量是哪个，可能说不清楚，因此，教学中有必要从函数的角度，从以下几方面加以引导，去认识三角函数的本质。

一、从实际生活出发，初步感受“角与比值”的关系

活动1：右图中哪个坡

更陡？它跟什么有关？

结论：跟倾斜角的大小

有关。

活动2：下列哪组坡更陡？它跟什么有关？

结论：跟比值■与■的大小有关。

初步感受：（1）比值越大，倾斜角就越大，坡就越陡。

（2）隐约感受到比值与角存在某种关系。

二、探究1：当角一定时，比值有无变化

问题1：如何确定右图的倾斜程度？

生1：可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。

生2：可通过测量B1C1与AC1的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。

问：你同意她们的看法吗？为什么？

（可以通过三角形相似，证明它们是等的）

（推广）

问题2：一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个顶点的直角三角形（如图），那么图中：

■=■=■=···成立吗？为什么？

结论：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

（说明：比值与直角三角形的大小无关）

三、探究2：当角变化时，比值有无变化

问题：如右下图，当角由∠CAB变为∠CAD时，比值有变化吗？

结论：比值随角变大而变大，比值随角变小而变小。

四、归纳发现

（1）比值随角的变化而变化；

（2）当角确定时，比值也随之确定。

问1：这点像什么？

（函数）

问2：哪个是自变量？哪个是因变量？

（角是自变量，比值是因变量）

五、引出：正切函数概念

在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA

即tanA=■=■

其中，∠A是自变量，比值是因变量，是∠A的函数。

类似：可得出正弦、余弦的概念。

编辑 马燕萍

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在初中，函数的概念是指：在某个变化过程中，有两个变量x、y，如果对x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，其中x为自变量。但很多学生学完三角函数后，只知道在直角三角形中，某一锐角A的正弦sinA=■，余弦cosA=■，正切tanA=■，但如果问学生为什么称为三角函数，其自变量是哪个，因变量是哪个，可能说不清楚，因此，教学中有必要从函数的角度，从以下几方面加以引导，去认识三角函数的本质。

一、从实际生活出发，初步感受“角与比值”的关系

活动1：右图中哪个坡

更陡？它跟什么有关？

结论：跟倾斜角的大小

有关。

活动2：下列哪组坡更陡？它跟什么有关？

结论：跟比值■与■的大小有关。

初步感受：（1）比值越大，倾斜角就越大，坡就越陡。

（2）隐约感受到比值与角存在某种关系。

二、探究1：当角一定时，比值有无变化

问题1：如何确定右图的倾斜程度？

生1：可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。

生2：可通过测量B1C1与AC1的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。

问：你同意她们的看法吗？为什么？

（可以通过三角形相似，证明它们是等的）

（推广）

问题2：一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个顶点的直角三角形（如图），那么图中：

■=■=■=···成立吗？为什么？

结论：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

（说明：比值与直角三角形的大小无关）

三、探究2：当角变化时，比值有无变化

问题：如右下图，当角由∠CAB变为∠CAD时，比值有变化吗？

结论：比值随角变大而变大，比值随角变小而变小。

四、归纳发现

（1）比值随角的变化而变化；

（2）当角确定时，比值也随之确定。

问1：这点像什么？

（函数）

问2：哪个是自变量？哪个是因变量？

（角是自变量，比值是因变量）

五、引出：正切函数概念

在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA

即tanA=■=■

其中，∠A是自变量，比值是因变量，是∠A的函数。

类似：可得出正弦、余弦的概念。

编辑 马燕萍

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