解析几何中的对称问题面面观

文/李风

摘 要：解析几何是中学数学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点，而解析几何中的对称问题又是近几年高考考查的热点题型。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识。介绍解析几何中常见的三类对称问题：点关于点的对称问题、直线方程中的对称问题、曲线方程中的对称问题。

关键词：解析几何；对称问题；高考数学

一、点关于点的对称问题

点A（x1，y1）与点C（x3，y3）关于点B（x2，y2）对称，即点B为点A和点C的中点，且坐标满足x2=■，y2=■.

二、直线方程中的对称问题

1.求点关于直线对称的点的坐标

问题：求已知点A（xA，yA）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点的坐标为B（xB，yB）。

求已知点A（xA，yA）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点的坐标为B（xB，yB），其基本思想是根据直线l是直线AB的垂直平分线，求点B的坐标。

解法一：步骤一，根据AB⊥l，且点A在直线AB上，利用点斜式即可求出直线AB的方程；步骤二，求点A与点B的中点即直线l和直线AB的交点Q；步骤三，根据点A与点Q即可求出点B的坐标。

解法二：步骤一，设点A与点B的中点为Q（■，■），根据直线AQ⊥l，且点Q在直线l上，联立二元一次方程组即可求出点Q的坐标；步骤二，根据点A与点Q即可求出点B的坐标。

备注：上述两种方法是求点关于直线对称点的一般解法，方法一运用了直线的有关知识，方法二则突出了方程的思想。

2.直线关于点对称的直线方程

问题：已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，求关于点A（xA，yA）对称的直线方程为l2。

解法一：步骤一，设点P（x，y）为所求直线l2上的任意一点，点P关于点A对称的点P′在已知直线l1上，且点P′的坐标为（2xA-x，2yA-y）；步骤二，将P′（2xA-x，2yA-y）带入直线方程l1，即l1：A1（2xA-x）+B1（2yA-y）+C1=0，整理得

A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0

即所求直线方程为A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。

解法二：因为直线l1、l2关于点A对称，所以这两条直线平行，设所求直线为l2：A1x+B1y+C2=0。

在已知直线l1上取一点（0，-■），则点（0，-■）关于A（xA，yA）对称的点2（xA，2yA+■）在直线l2上，将点2（xA，2yA+■）代入 l2：A1x+B1y+C2=0可求得C2，从而求得l2的直线方程。

注：上述两种方法是解本题型的常用方法，方法一更具普遍性，此法也可解决其他图形关于点对称的问题；方法二为待定系数法，它利用了图形的几何性质，解答本题型较为简便。

3.直线关于直线对称的直线方程

问题：求直线l1：A1x+B1y+C1=0关于直线l2：A2x+B2y+C2=0对称的直线方程l3。

解法一：步骤一：联立l1、l2的直线方程，求得l1、l2的交点坐标点N；步骤二：在l1上取点M（0，-■），则可求得点M（0，-■）关于l2对称的点M′；步骤三：因为点N、M都在直线l3，所以由两点式方程即可求得l3的直线方程。

解法二：设点P（x，y）为所求直线l3上的任意一点，点P关于直线l2：A2x+B2y+C2=0对称的点为P0（x0，y0）在直线l1上，所以A1x0+B1y0+C1=0，kPP0=■，线段PP0的中点M（■，■）。因为点P与P0关于直线l2对称，所以■×（-■）=-1A2×■+B2×■+C2=0解得x0、y0分别关于x、y的表达式，代入直线方程l1中，即可求得l3的直线方程。

备注：解法一和解法二的思想都是将问题转化为求一个点P关于直线l对称点P0的问题。

三、曲线中的对称问题

1.圆关于直线对称的圆的方程

因为圆的方程由圆心和半径即可确定，两个圆关于直线对称，

大小相同，半径一定相等，所以求圆关于直线对称的圆，只需求已知圆的圆心坐标关于直线对称的点的坐标，就是所求圆的圆心，

从而求得所求圆的方程。

2.利用圆的对称性求圆的方程

若圆上任意一点关于已知直线的对称点都在圆上，则此直线一定是圆的直径，再根据其他条件即可确定圆的方程。

3.曲线关于点对称的曲线方程

问题：已知曲线C1:f（x，y）=0，求关于点A（xA，yA）对称的曲线方程为C2。

解题思路：步骤一，设点P（x，y）为所求曲线C2上的任意一点，点P关于点A对称的点P′在已知曲线C1上，且点P′的坐标为（2xA-x，2yA-y）；步骤二，将P′（2xA-x，2yA-y）带入曲线方程C1，即所求的曲线方程为f（2xA-x，2yA-y）=0。

4.曲线关于直线对称的曲线方程

问题：已知曲线C1：f（x，y）=0，求关于已知直线l对称的曲线方程为C2。

解题思路：步骤一：设点P（x，y）为所求曲线C2上的任意一点，则点P关于直线l对称点P′（x′，y′）在已知曲线C1上；步骤二，将P′（x′，y′）带入曲线方程C1，即所求的曲线方程为f（x′，y′）=0。

解析几何中的对称问题即分为点对称和直线对称（轴对称），

点对称问题用中点坐标公式即可解决，直线对称（轴对称）问题可以借助于中垂线，即根据中点坐标公式和斜率关系可解决。

参考文献：

［1］胡雄伟.高等职业院校对口招生考试考前辅导数学复习教材［M］.远方出版社，2011.

［2］任志鸿.十年高考分类解析与应试策略［M］.南方出版社，2012.

［3］吴伟.解析几何中关于对称问题的一点探讨［J］.数学学习 与研究，2008（08）.

［4］王粉霞.与解析几何中的对称相关的问题［J］.教育革新，2008（03）.

［5］张银歧.解析几何中“对称”问题的解法探析［J］.魅力中国，2011（03）.

编辑 郭晓云

endprint

摘 要：解析几何是中学数学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点，而解析几何中的对称问题又是近几年高考考查的热点题型。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识。介绍解析几何中常见的三类对称问题：点关于点的对称问题、直线方程中的对称问题、曲线方程中的对称问题。

关键词：解析几何；对称问题；高考数学

一、点关于点的对称问题

点A（x1，y1）与点C（x3，y3）关于点B（x2，y2）对称，即点B为点A和点C的中点，且坐标满足x2=■，y2=■.

二、直线方程中的对称问题

1.求点关于直线对称的点的坐标

问题：求已知点A（xA，yA）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点的坐标为B（xB，yB）。

求已知点A（xA，yA）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点的坐标为B（xB，yB），其基本思想是根据直线l是直线AB的垂直平分线，求点B的坐标。

解法一：步骤一，根据AB⊥l，且点A在直线AB上，利用点斜式即可求出直线AB的方程；步骤二，求点A与点B的中点即直线l和直线AB的交点Q；步骤三，根据点A与点Q即可求出点B的坐标。

解法二：步骤一，设点A与点B的中点为Q（■，■），根据直线AQ⊥l，且点Q在直线l上，联立二元一次方程组即可求出点Q的坐标；步骤二，根据点A与点Q即可求出点B的坐标。

备注：上述两种方法是求点关于直线对称点的一般解法，方法一运用了直线的有关知识，方法二则突出了方程的思想。

2.直线关于点对称的直线方程

问题：已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，求关于点A（xA，yA）对称的直线方程为l2。

解法一：步骤一，设点P（x，y）为所求直线l2上的任意一点，点P关于点A对称的点P′在已知直线l1上，且点P′的坐标为（2xA-x，2yA-y）；步骤二，将P′（2xA-x，2yA-y）带入直线方程l1，即l1：A1（2xA-x）+B1（2yA-y）+C1=0，整理得

A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0

即所求直线方程为A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。

解法二：因为直线l1、l2关于点A对称，所以这两条直线平行，设所求直线为l2：A1x+B1y+C2=0。

在已知直线l1上取一点（0，-■），则点（0，-■）关于A（xA，yA）对称的点2（xA，2yA+■）在直线l2上，将点2（xA，2yA+■）代入 l2：A1x+B1y+C2=0可求得C2，从而求得l2的直线方程。

注：上述两种方法是解本题型的常用方法，方法一更具普遍性，此法也可解决其他图形关于点对称的问题；方法二为待定系数法，它利用了图形的几何性质，解答本题型较为简便。

3.直线关于直线对称的直线方程

问题：求直线l1：A1x+B1y+C1=0关于直线l2：A2x+B2y+C2=0对称的直线方程l3。

解法一：步骤一：联立l1、l2的直线方程，求得l1、l2的交点坐标点N；步骤二：在l1上取点M（0，-■），则可求得点M（0，-■）关于l2对称的点M′；步骤三：因为点N、M都在直线l3，所以由两点式方程即可求得l3的直线方程。

解法二：设点P（x，y）为所求直线l3上的任意一点，点P关于直线l2：A2x+B2y+C2=0对称的点为P0（x0，y0）在直线l1上，所以A1x0+B1y0+C1=0，kPP0=■，线段PP0的中点M（■，■）。因为点P与P0关于直线l2对称，所以■×（-■）=-1A2×■+B2×■+C2=0解得x0、y0分别关于x、y的表达式，代入直线方程l1中，即可求得l3的直线方程。

备注：解法一和解法二的思想都是将问题转化为求一个点P关于直线l对称点P0的问题。

三、曲线中的对称问题

1.圆关于直线对称的圆的方程

因为圆的方程由圆心和半径即可确定，两个圆关于直线对称，

大小相同，半径一定相等，所以求圆关于直线对称的圆，只需求已知圆的圆心坐标关于直线对称的点的坐标，就是所求圆的圆心，

从而求得所求圆的方程。

2.利用圆的对称性求圆的方程

若圆上任意一点关于已知直线的对称点都在圆上，则此直线一定是圆的直径，再根据其他条件即可确定圆的方程。

3.曲线关于点对称的曲线方程

问题：已知曲线C1:f（x，y）=0，求关于点A（xA，yA）对称的曲线方程为C2。

解题思路：步骤一，设点P（x，y）为所求曲线C2上的任意一点，点P关于点A对称的点P′在已知曲线C1上，且点P′的坐标为（2xA-x，2yA-y）；步骤二，将P′（2xA-x，2yA-y）带入曲线方程C1，即所求的曲线方程为f（2xA-x，2yA-y）=0。

4.曲线关于直线对称的曲线方程

问题：已知曲线C1：f（x，y）=0，求关于已知直线l对称的曲线方程为C2。

解题思路：步骤一：设点P（x，y）为所求曲线C2上的任意一点，则点P关于直线l对称点P′（x′，y′）在已知曲线C1上；步骤二，将P′（x′，y′）带入曲线方程C1，即所求的曲线方程为f（x′，y′）=0。

解析几何中的对称问题即分为点对称和直线对称（轴对称），

点对称问题用中点坐标公式即可解决，直线对称（轴对称）问题可以借助于中垂线，即根据中点坐标公式和斜率关系可解决。

参考文献：

［1］胡雄伟.高等职业院校对口招生考试考前辅导数学复习教材［M］.远方出版社，2011.

［2］任志鸿.十年高考分类解析与应试策略［M］.南方出版社，2012.

［3］吴伟.解析几何中关于对称问题的一点探讨［J］.数学学习 与研究，2008（08）.

［4］王粉霞.与解析几何中的对称相关的问题［J］.教育革新，2008（03）.

［5］张银歧.解析几何中“对称”问题的解法探析［J］.魅力中国，2011（03）.

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摘 要：解析几何是中学数学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点，而解析几何中的对称问题又是近几年高考考查的热点题型。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识。介绍解析几何中常见的三类对称问题：点关于点的对称问题、直线方程中的对称问题、曲线方程中的对称问题。

关键词：解析几何；对称问题；高考数学

一、点关于点的对称问题

点A（x1，y1）与点C（x3，y3）关于点B（x2，y2）对称，即点B为点A和点C的中点，且坐标满足x2=■，y2=■.

二、直线方程中的对称问题

1.求点关于直线对称的点的坐标

问题：求已知点A（xA，yA）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点的坐标为B（xB，yB）。

求已知点A（xA，yA）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点的坐标为B（xB，yB），其基本思想是根据直线l是直线AB的垂直平分线，求点B的坐标。

解法一：步骤一，根据AB⊥l，且点A在直线AB上，利用点斜式即可求出直线AB的方程；步骤二，求点A与点B的中点即直线l和直线AB的交点Q；步骤三，根据点A与点Q即可求出点B的坐标。

解法二：步骤一，设点A与点B的中点为Q（■，■），根据直线AQ⊥l，且点Q在直线l上，联立二元一次方程组即可求出点Q的坐标；步骤二，根据点A与点Q即可求出点B的坐标。

备注：上述两种方法是求点关于直线对称点的一般解法，方法一运用了直线的有关知识，方法二则突出了方程的思想。

2.直线关于点对称的直线方程

问题：已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，求关于点A（xA，yA）对称的直线方程为l2。

解法一：步骤一，设点P（x，y）为所求直线l2上的任意一点，点P关于点A对称的点P′在已知直线l1上，且点P′的坐标为（2xA-x，2yA-y）；步骤二，将P′（2xA-x，2yA-y）带入直线方程l1，即l1：A1（2xA-x）+B1（2yA-y）+C1=0，整理得

A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0

即所求直线方程为A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。

解法二：因为直线l1、l2关于点A对称，所以这两条直线平行，设所求直线为l2：A1x+B1y+C2=0。

在已知直线l1上取一点（0，-■），则点（0，-■）关于A（xA，yA）对称的点2（xA，2yA+■）在直线l2上，将点2（xA，2yA+■）代入 l2：A1x+B1y+C2=0可求得C2，从而求得l2的直线方程。

注：上述两种方法是解本题型的常用方法，方法一更具普遍性，此法也可解决其他图形关于点对称的问题；方法二为待定系数法，它利用了图形的几何性质，解答本题型较为简便。

3.直线关于直线对称的直线方程

问题：求直线l1：A1x+B1y+C1=0关于直线l2：A2x+B2y+C2=0对称的直线方程l3。

解法一：步骤一：联立l1、l2的直线方程，求得l1、l2的交点坐标点N；步骤二：在l1上取点M（0，-■），则可求得点M（0，-■）关于l2对称的点M′；步骤三：因为点N、M都在直线l3，所以由两点式方程即可求得l3的直线方程。

解法二：设点P（x，y）为所求直线l3上的任意一点，点P关于直线l2：A2x+B2y+C2=0对称的点为P0（x0，y0）在直线l1上，所以A1x0+B1y0+C1=0，kPP0=■，线段PP0的中点M（■，■）。因为点P与P0关于直线l2对称，所以■×（-■）=-1A2×■+B2×■+C2=0解得x0、y0分别关于x、y的表达式，代入直线方程l1中，即可求得l3的直线方程。

备注：解法一和解法二的思想都是将问题转化为求一个点P关于直线l对称点P0的问题。

三、曲线中的对称问题

1.圆关于直线对称的圆的方程

因为圆的方程由圆心和半径即可确定，两个圆关于直线对称，

大小相同，半径一定相等，所以求圆关于直线对称的圆，只需求已知圆的圆心坐标关于直线对称的点的坐标，就是所求圆的圆心，

从而求得所求圆的方程。

2.利用圆的对称性求圆的方程

若圆上任意一点关于已知直线的对称点都在圆上，则此直线一定是圆的直径，再根据其他条件即可确定圆的方程。

3.曲线关于点对称的曲线方程

问题：已知曲线C1:f（x，y）=0，求关于点A（xA，yA）对称的曲线方程为C2。

解题思路：步骤一，设点P（x，y）为所求曲线C2上的任意一点，点P关于点A对称的点P′在已知曲线C1上，且点P′的坐标为（2xA-x，2yA-y）；步骤二，将P′（2xA-x，2yA-y）带入曲线方程C1，即所求的曲线方程为f（2xA-x，2yA-y）=0。

4.曲线关于直线对称的曲线方程

问题：已知曲线C1：f（x，y）=0，求关于已知直线l对称的曲线方程为C2。

解题思路：步骤一：设点P（x，y）为所求曲线C2上的任意一点，则点P关于直线l对称点P′（x′，y′）在已知曲线C1上；步骤二，将P′（x′，y′）带入曲线方程C1，即所求的曲线方程为f（x′，y′）=0。

解析几何中的对称问题即分为点对称和直线对称（轴对称），

点对称问题用中点坐标公式即可解决，直线对称（轴对称）问题可以借助于中垂线，即根据中点坐标公式和斜率关系可解决。

参考文献：

［1］胡雄伟.高等职业院校对口招生考试考前辅导数学复习教材［M］.远方出版社，2011.

［2］任志鸿.十年高考分类解析与应试策略［M］.南方出版社，2012.

［3］吴伟.解析几何中关于对称问题的一点探讨［J］.数学学习 与研究，2008（08）.

［4］王粉霞.与解析几何中的对称相关的问题［J］.教育革新，2008（03）.

［5］张银歧.解析几何中“对称”问题的解法探析［J］.魅力中国，2011（03）.

编辑 郭晓云

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