C*代数中方程a*xb+b*x*a=c的解

田学刚

(滨州学院 数学系， 山东 滨州 256603)

C*代数中方程a*xb+b*x*a=c的解

田学刚

(滨州学院 数学系， 山东 滨州 256603)

设a,b,c是C*代数中的3个元素，利用元素的分块矩阵表示技巧和Moore-Penrose 广义逆，研究方程a*xb+b*x*a=c的解，在一定条件下，得到了该方程有解的充要条件和解的一般形式.

C*代数；投影；正则元；Moore-Penrose 逆

0 引言

Hilbert空间H上的算子方程一直是泛函分析研究中的热门课题，在线性系统理论和控制理论中得到了广泛应用,吸引了众多国内外学者的关注.例如文献[1]和文献[2]研究了矩阵方程AX-XBT=C的解；Djordjevic在文献[3]中研究了无限维Hilbert空间H上的算子方程A*X+X*A=B，利用算子的广义逆和算子的矩阵分块得出了该方程有解的充要条件和解的一般形式.文献[4]研究了更一般的算子方程A*XB+B*X*A=C的解. 由于Hilbert空间H上有界线性算子的全体B(H)是一个特殊的有单位元的C*代数，文献[5]和文献[6]研究了C*代数中方程axa*=c的解，本文研究一般的C*代数上的方程a*xb+b*x*a=c,利用C*代数中元素的M-P广义逆和分块矩阵表示技巧，在一定条件下，给出了该方程有解的充要条件和解的一般形式. 下面首先给出在文中出现的概念、符号和定义等.

用A表示有单位元的1的C*代数，如果元素a∈Α满足a*=a，则称a是自伴元；如果a2=a，则称a是幂等元；如果a2=a=a*，则称a是一个投影. 若存在b∈A使得aba=a，则称a是正则元. 若存在b∈Α满足下列4个方程：①axa=a；②xax=x；③(ax)*=ax；④(xa)*=xa，则称x为a的Moore-Penrose(M-P)广义逆[7]，并记作a+. 若a的Moore-Penrose广义逆存在，则是唯一的,容易验证aa+,a+a都是C*代数Α中的投影. 关于广义逆有如下结论：a是正则元⟺a是闭的⟺a的Moore-Penrose广义逆存在.

若C*代数Α中的两个投影满足p1+p2=0且p1p2=p2p1=0 ，则称(p1,p2)为C*代数中的一个投影对.对于A中的每个元素x，根据投影对(p1,p2)可表示为矩阵形式

这里x11=p1xp1，x12=p1xp2，x21=p2xp1，x22=p2xp2. 映射φ:Α→Α2是一个代数*-同构，这里Α2中元素的乘积按矩阵乘积运算. 注意到x=x11+x12+x21+x22，因此若正交对(p1,p2)给出，则x可以记作

同样，如果给出两个正交对(p,1-p)，(q,1-q)，则元素x可以表示为

这里x11=pxq，x12=px(1-q)，x21=(1-p)xq，x22=(1-p)x(1-q).

1 主要结论

本文主要研究C*代数中方程

a*xb+b*x*a=c

(1)

在各种情况下的解.首先考虑当a,b∈Α可逆时，方程(1)解的存在性和解的表达式.

引理1 设a,b∈Α可逆，c∈Α，则方程(1)有解x∈Α的充分必要条件是c=c*,且当方程(1)有解时，通解为

(2)

这里z∈Α满足z*=-z.

另一方面，设x是方程(1)的任意一个解，则

因为a*,b是可逆元，所以

下面考虑当a,b是正则元(即a,b存在M-P广义逆)时，方程(1)的解.

定理1 设a,b,c是C*代数Α中的正则元，若b+ba+a=b+b，则下面条件是等价的:

1)方程(1)有解x∈Α；

2)c=c*，cc+a+a=cc+，a+ac(1-a+a)=0，且(a+a-b+b)c(a+a-b+b)=0.

当方程(1)有解时，解的一般形式为

aa+y(1-bb+)+(1-aa+)y，

(3)

其中z∈Α满足b(z*+z)b*=0，y∈Α为任意元素.

证明 1) ⟹ 2) 设方程(1)的解为x0，由引理1，显然c=c*. 因为b+ba+a=b+b，ba+a=b，所以

同理可计算

2) ⟹ 1) 设x是具有形式(3)的任一元素，则

a+aca+a+a+ac(1-a+a)=a+ac=c.

另一方面，当方程(1)有解时，设x是方程(1)的任一解，由于a,b存在广义逆，设p=aa+,q=a+a,r=bb+,把a,x,b分解为矩阵形式

由b+ba+a=b+b可得a+a=b+b+(a+a-b+b). 于是b11,y1,c11有如下矩阵分解

b1=(b11,0),b11=bb+b1b+b,y1=(y11,y12),y11=bb+y1b+b,y12=bb+y1(a+a-b+b),

于是

由引理1可知

所以方程(1)的任一解x为

其中x12,x21,x22都是任意元.

下面用a,b的M-P广义逆表示x，设

这里s=b+b，y11是任意的，b(z+z*)b*=0.因为

所以，x具有形式(3).

定理2 设a,b∈Α是正则元，c∈Α也是正则元.若a+ab+b=a+a，则下面条件是等价的：

1) 方程(1)有解x∈Α；

2)c=c*，cc+b+b=cc+，b+bc(1-b+b)=0，且(b+b-a+a)c(b+b-a+a)=0.

当方程有解时，解的一般形式为

aa+y(1-aa+)ybb++y(1-bb+)，

(4)

这里z∈A满足a(z*+z)a*=0，y∈Α为任意元素.

证明 方程(1)等价于

b*x*a+a*(x*)*b=c*,

其中x*是未知元素，由于a+ab+b=a+a，根据定理1可知条件1)和2)等价，且

这里z∈Α满足a(z*+z)a*=0，y∈Α为任意元素.

因此存在x满足(4)式.

[1]KIRRINNISP.FastalgorithmsfortheSylvesterequationAX-XBT=C[J].TheoretComputSci, 2001,259: 623-638.

[2]LINYQ.MinimalresidualmethodsaugmentedwitheigenvectorsforsolvingSylvesterequationsandgeneralizedSylvesterequations[J].AppliedMathematicsandComputation, 2006,181(1): 487-499.

[3]DJORDJEVICDS.ExplicitsolutionoftheoperatorequationA*X+X*A=B[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics, 2007,200(2):701-704.

[4]XUQINGXIANG,SHENGLIJUAN.Thesolutionstosomeoperatorequations[J].LinearAlgebraandItsApplications,2008,429: 1 997-2 024.

[5]CVETKOVIC-ILID,DAJIA,KOLIHAJJ.Positiveandreal-positivesolutionstotheequationaxa*=cinC*-algebras[J].LinearandMultilinearAlgebra, 2007,55(6):535-543.

[6]KOLIHAJJ.RangeprojectionsofidempotentsinC*-algebra[J].DemonstratioMathematica,2001,34(1):91-103.

[7]CONWAYJB.ACourseinfunctionalanalysis[M] .NewYork:Springer-Verlag, 1990.

Solutions of the Equationa*xb+b*x*a=cinC*Algebra

TIAN Xue-gang

(DepartmentofMathematics,BinzhouUniversity,Binzhou256603,China)

Leta,b,cbe three elements inC*algebra. By the technique of block matrix and the Moore-Penrose inverse of elements, the solutions of equationa*xb+b*x*a=cwere studied. The sufficient and necessary conditions for the existence of solutions, and representations of solutions were established, in some conditions.

C*-algebra; projection; regular element; Moore-Penrose inverse

2014-07-04

滨州学院科研基金项目(BZXYL1106)；滨州学院科研基金项目(BZXYL1308)

田学刚(1980—),男,山东滨州人,滨州学院数学系讲师.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.04.006

O177.1

A

1007-0834(2014)04-0023-04