深沟球轴承安全接触角的MATLAB数值分析

叶华聪，王晓宏，张沛峰

(1.贵州大学 机械工程学院，贵阳 550025；2.贵州虹山虹飞轴承有限责任公司，贵州 安顺 561000)

深沟球轴承主要承受径向载荷，还可以承受一定的轴向载荷。当其承受轴向载荷时，随着轴向载荷的增大，接触椭圆的面积将会增大，并向挡边移动。如果轴向载荷大于许用轴向载荷，接触角大于安全接触角，接触椭圆的边缘会超出挡边，此时会产生应力集中，致使轴承早期疲劳失效，大大缩短轴承的使用寿命[1]。因此，作为深沟球轴承设计的可靠理论依据，有必要对其安全接触角进行精确计算。

1 安全接触角的计算方法

1.1 临界状态分析

随着轴向载荷的增大，钢球与内、外圈间的接触椭圆会向挡边方向移动，轴承的接触角也会随之增大，当接触角增大到接触椭圆刚好处于爬越挡边的临界状态，即接触椭圆的长轴刚好达到挡边边缘，此时的接触角即为安全接触角α(图1)。如果轴向载荷过大，接触椭圆将被套圈挡边截去一部分，在钢球和挡边附近的接触处会产生应力集中，加速轴承的疲劳失效。因此，深沟球轴承轴向承载能力的限制条件为轴向载荷作用下钢球和沟道间的接触椭圆不可爬越挡边边缘[2]。

图1中，α为极限轴向载荷Fa作用下产生的安全接触角；φ为接触椭圆长半轴a相对于钢球中心形成的角度；θ为极限轴向载荷Fa作用下接触椭圆所在侧挡边边缘和钢球中心的连线与轴承径向的夹角；F，E分别为轴承内、外沟道直径；d2，D2分别为内、外圈挡边直径；Dpw为球组节圆直径；Dw为钢球直径。

图1 纯轴向载荷下深沟球轴承的几何关系示意图

1.2 相关计算公式

为了便于理论计算和分析，在不考虑轴承运转时离心力对接触角的影响下，给出安全接触角的计算参数及相关公式[1-2]。

1.2.1θ的计算

对于外圈

(1)

对于内圈

(2)

式中：fi，fe分别为内、外沟曲率系数。

1.2.2 安全接触角和极限轴向载荷

由上述约束条件得

θ-α≥φ，

(3)

当φ很小时，可以近似为

(4)

接触椭圆长半轴为

(5)

当轴承承受极限轴向载荷Fa时，有如下关系

(6)

式中：Z为钢球数。

由(3)～(6)式可得

(7)

又有

(8)

(8)式可变为

(9)

式中：α0为与径向游隙有关的原始接触角；c为接触变形系数；Gr为径向游隙。

由(7)和(9)式整理可得

(10)

由(10)式可以计算安全接触角α。

2 MATLAB算例分析

以深沟球轴承6206为例计算极限轴向载荷。设计参数如下：E=55.54 mm，F=36.46 mm，D2=51.84 mm，d2=40.1 mm，Dw=9.525 mm，fe=0.52，fi=0.515，Z=9，Gr=0.014 mm。

2.1 程序编写

2.1.1 定义参数

将设计参数通过赋值的方式进行定义，例如给E赋值的语句为

E=55.54;

其后的分号表示不在命令窗口中显示赋值结果，其余参数的赋值方法与此类似。这种方法还可以将已经赋值的变量通过多项式计算赋值给新的变量。例如求解极限轴向载荷的公式可以通过如下赋值语句实现

Fa=Z*Dw^2*sin(alpha)*(((2*fm-1)/c)*(cos(alpha_0)/cos(alpha)-1))^1.5

其中包含的特定标记都是已经赋予值的变量。

2.1.2 函数计算

利用MATLAB的底层程序，可以采用命令语句快速进行方程的数值计算。例如计算θe的命令语句为

theta_e=acos(1-(E-D2)/(2*fe*Dw))

语句末尾没有标点符号，其计算结果将显示在命令窗口中。其余函数计算方法与此类似，需要注意的是方程中用到的标记必须是已定义的。

2.1.3 拟合曲线

对于需查表的参数，可以利用拟合语句进行曲线拟合以及定点计算。首先需要截取表中的参数，并赋值给某一个参数；然后利用MATLAB的拟合命令进行求解。例如求eae的拟合命令语句为

A=[0.900,0.073 05;0.910,0.076 41;0.920,0.080 23;0.930,0.084 80;0.940,0.090 35;0.950,0.097 33;0.960,0.106 6;0.970,0.119 7;0.980,0.140 4;0.990,0.183 1];

x1=A(:,1);y1=A(:,2);

n1=10;

p1=polyfit_ye(x1,y1,n1);

ea_e=polyval(p1,F_rho_e)

程序中语句1是截取表中的参数，并赋值给某一个参数A；语句2是将矩阵A的第1列和第2列分别赋值给x1和y1；语句4中x1，y1为已知数据，n1为拟合多项式的阶次，p1为返回所得多项式的系数向量，通常多项式拟合中阶数越大，拟合的精度就越高；语句5为当x1取F(ρe)时，由系数向量p1=polyfit_ye(x1,y1,n1)代表的拟合多项式计算得到的函数值，也就是表中F(ρe)所对应的eae。其他查表值的计算与此类似。

2.1.4 子程序调用

根据(10)式得

安全接触角α可以通过此方程求解得到，而且适合的解必然处于(0,1)区间。例如求内圈安全接触角αi的主程序语句为

alpha_i=fzero(′sub_i′,1);

其中fzero为求方程零点的命令；sub_i为调用的子程序，1为求解初始值，所求解应为1附近的方程之根。

子程序应单独进行设计、保存，以备调用，如

function fx=sub_i(x)

fx=sin(theta_i-x)-2*ea_i*(((2*fm-1)/c)*(cos(alpha_0)./cos(x)-1)).^(1/2)/(Dw*sigma_rho_i)^(1/3);

使用时，须在语句1，2之间添加语句2中所用到的变量赋值语句。其他子程序调用语句与此类似。

2.2 程序运行结果

内、外圈安全接触角αi，αe的求解曲线分别如图2和图3所示。从MATLAB的命令窗口中会自动显示出相关数据的计算结果，内、外圈与钢球形成的安全接触角分别为26.763 9°，28.490 2°。设计应用时应以内、外圈安全接触角中的最小者作为深沟球轴承极限轴向载荷的计算参数。

图2 内圈安全接触角αi求解曲线

图3 外圈安全接触角αe求解曲线

3 结束语

通过MATLAB编写程序，可以实现深沟球轴承安全接触角的快速求解，而且求解精度较高。当轴承型号变更之后，只需在程序中修改相关的尺寸参数就可以快速求解出对应轴承的安全接触角。另外，可以利用程序对所设计的尺寸参数进行计算，并对计算结果进行对比与分析，从而对深沟球轴承的安全接触角进行优化设计。