高等数学中几个概念的引入

左占飞 黄怡民

（1.重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州 404100）

（2.重庆三峡学院化学与环境工程学院，重庆万州 404100）

1 前 言

高等数学是高等院校理工和经济类等专业的基础必修课，如何让学生尽快理解其相关的概念，并将其应用到自己的专业中，是提高高等数学教学质量的一个重要环节.现行的教材大多没有经过教学法的加工，仅从经典教程出发，经过改编，形成一个包含符号演算、逻辑推理、与现实乃至应用毫不相干的内容体系，如果在教学中不经任何加工，照本宣科，就容易导致学生在学习数学时感到枯燥，对数学知识的前因后果没有感性认识，更看不到数学的应用在哪里，从而使学生失去了对数学学习的兴趣.为更好地让理工和经济类的学生掌握这门课程，我们应该把握“数学为本，专业为用”的原则，尽可能地结合实例模型进行教学.本文通过高等数学中几个概念的引入过程，来探讨如何将抽象的数学概念形象化和实用化.

2 几个数学概念的引入

2.1 极限概念的引入

极限概念是高等数学课程中一个非常重要的概念，它是研究函数性质的重要方法，也是后面微分学和积分学的基本推理工具.因此，极限概念的学习应该是高等数学教学中的一个重点，也是学生在学习过程中的一个难点，因为教材中的极限概念，一般都是采用形式化的语言来叙述，非常抽象，初次接触的学生往往感觉非常吃力进而产生畏难情绪，长此以往，势必会影响整个数学课程的学习效果，乃至影响到整个大学阶段的学习质量.因此，在教学过程中，如何引入极限慨念，让抽象的概念生活化就显得尤为重要.在长期数学公共课程的教学实践中，我们发现对于理工和经济类专业开设的高等数学，运用极限实例模型来引入极限慨念，学生反映效果不错，下面就用几个实例模型来阐述极限慨念的引入.

当把两个学生的思路用板书展示后，全班学生都鼓掌表示证明方法很巧妙，课堂的气氛变得很热烈，大家都被数学中的运算魅力所折服，但还是有部分同学对上述的结果表示难以置信，虽然9在增多，但和1还是有差距，不会相等.当然主要的原因就是大家还没有学习极限的定义，此时需趁热打铁，从上述的例子引出数列极限的问题.首先上面两个问题的共同思路都是把循环小数的问题转化成了分数是大家熟知的结论，然后通过乘法的性质得到了相应的结论.但是我们也看出循环小数稍微复杂一些，再转化成分数就会变得很困难，这也是为什么大家不能很快得到的原因.而且循环小数有无数个，我们能不能想到更一般的思路，把所有的循环小数转化成分数呢？我们换一种方法重新考虑上述例题：

提示上面是一个等比数列的和，不过有无限项，可以先求前n项，学生容易求得前n项和再让n→∞，大部分学生都猜测到也可得到初看起来学生觉得这种方法不如上面的方法简单，但是通过布置例题，例如把转化为分数（还可以举一些更复杂的例子

学生很快就会发现上面方法的普遍性，并且也体会到了极限（上面的公比是0.01，所以0.01n→0）的妙用，从而为顺利引进极限奠定了基础.当然体现极限思想的实例还有很多[1]，如：庄子之锤、芝诺悖论、刘辉割圆术，大家可以根据自己的情况，通过软件的绘图功能和多媒体进行辅助教学，把抽象的概念通俗化、实用化，中间再讲一些有关数学家的趣闻轶事，往往会达到很好的效果[2][3][4].

引入数列极限概念后，对于非数学专业的学生，重点应该是如何计算常见函数的极限，其中两个重要极限（离散和连续的情形）的计算应该是一个重点.不过现行的高等数学教材，对于两个重要极限的处理，往往都是运用夹逼准则推导出极限，然后就直接开始用重要极限来做题，学生虽然能照着葫芦画瓢进行机械的计算，但总觉得这些例题只是一些技巧，并没有很大的实际用途，因此我们在引入这部分内容时，还是要用生活化的例子来阐述，才能让学生觉得我们的数学概念不是无源之水.

运用刘辉割圆术的思想，不妨假设上面圆的半径是R，三角形OAB是内接正n边形的一个三角形，所以因为用到的都是初等几何的知识，所以大部分同学运用三角形求积公式很快得到则正n边形的面积为要想得到圆的面积，必须让内接正n边形的边数逐渐增多，即n→∞，所以同学们很快就会发现要想求出面积，他们不得不面对一个新所以的极限而且这个极限属于待定式型，用前面学习的方法求不出来，但可猜测到(因为圆的面积是πR2)，这样让学生带着问题再来看类型的重要极限就会变得非常有趣和自然.

2.2 导数概念的引入

关于导数的引进方法，现行的教材一般采取了变速运动的瞬时速度问题和曲线切线的斜率的求法，这两个例子虽然在历史上和导数的产生关系非常密切，但是对于刚刚接触微积分的新生来看，理论背景显得很重要.为了容易理解概念，我们还是用实际的例子，利用学生的好奇心，激发他们的学习兴趣.例如，可以在网上找一些简短的视频，内容是跳水梦之队比赛的精彩瞬间，引发学生讨论，数学课上为什么会出现体育的场景？场景创设完毕后，就要在这个场景中找出数学的问题，提示如果不考虑空气的阻力，运动员的跳水运动符合高中物理中的哪个运动规律，大部分同学都会想到物体的自由落体运动，然后老师就马上让同学把这个运动的数学表达式写出来其中s，g，t分别表示位移，加速度和时间.然后老师又继续提问，那么运动员的速度随着时间又有什么变化呢？比如运动员在入水的一瞬间，速度是多少？有少数同学（物理基础不错的）会说v=gt，老师又继续追问这个公式是怎么推导出来的呢？能否用公式v=s/t来计算呢？（学生说不能）此时学生会发现平时的计算公式只是一个平均速度，但现实生活中还有很多瞬时速度的问题，还没有解决，老师再让学生多举一些例子，然后就把这些瞬时的变化率问题归结成我们今天要讲的导数.这样的一个讲解过程在理工专业学生中效果比较好，既通俗又实用.

但是上述方法对于经济类专业的学生可能效果就没这么明显，因为他们对一些物理学的知识并不是很擅长，所以应尽可能地结合经济实例进行教学，因此可以选取下面的例子来引入[7].给同学们设定角色，是某辆长途汽车的售票员，制定的票价为60元.现在车上已经有38位乘客，突然在开车之前赶来一名乘客，可能是由于仓促，这名乘客带的钱不够，他想以40元的价格上车，作为售票员的你答应吗？这里只是从盈利的角度来考虑问题，不涉及到其它情况.假设车辆单程所需的固定成本为1 000元，而且会给每位乘客食物和饮料，成本为每人10元.

解决这个问题，需要让学生充分发挥独立解决问题的能力，给出答案.学生的答案肯定会有所不同，有的认为60元票价他只给40元，会亏20元，所以不能让他上车；有的还会去计算到目前为止每位乘客的平均成本，然后来衡量40元是否够这个平均成本……梳理完学生的答案后，教师就要引导学生进入更为准确的思路：这次交易中增加最后一位乘客，使得营运的总成本只是增加10元，但却使得营运的总收益增加40元，因此增加的收益大于增加的成本，所以应该让这位乘客上车.许多同学会有一种顿悟的感觉，也再一次让学生认识到数学知识的应用其实就在我们身边，需要大家多去思考和观察.然后教师再趁热打铁，提出上述问题其实就是经济学中的边际分析过程，指经济函数自变量在某个值的基础上再改变一个单位时，因变量的变化率，从而引出导数的概念.

2.3 定积分概念的引入

定积分是高等数学的一个重要概念，也是绝大多数理工类和经济类学生觉得最难理解的概念之一.现行的教材，不管是高等数学还是经济数学在讲解定积分时，都采用了求曲边梯形的面积或物理学中变速直线运动物体在一段时间走过的距离两个例子，然后运用数学分析中经典的方法：分割、近似代替、做和、求极限四个步骤给出定积分的精确定义.这样的教学过程不仅给出了定积分直观的几何、物理模型，也从理论层面归纳出了定积分的精确定义，体现了从实践上升到理论的科学发展过程，对数学专业的学生是很好的引入方法.但这种方法对于非数学专业的同学来说，理论性太强，比较抽象.在公共基础课的教学中，我们应根据不同的授课对象，采取不同的引入方式.

对于理工类的学生，物理学的基础还是可以，所以完全可以采取物体的自由落体运动问题，不过要把问题反过来设计，首先知道了瞬时速度v=gt，怎么算出在一段时间内走过的距离，能否直接采用s=vt？如果不行，应该怎么计算？

对于经济类的学生，应结合经济实例进行数学教学，将定积分的知识、方法应用于经济问题中，而不是只进行一些抽象公式的推导.因此可选取一些经济学中常见的函数，比如设某种商品的价格函数为P=18-Q/6（问学生为什么是减函数），其中p为价格，Q为销售量，求销售量从16个单位增加到20个单位时的收益为多少？问学生能否用销售量直接乘以价格来算收益？如果不行，应该怎么办？

上面例题讲解的过程尽量采取开放式的教学[8]，通过不断地提出问题、分析问题、解决问题，使学生带着问题学习，在分析和解决问题的过程中学习新知识，从而激发学生的学习兴趣，顺利的引入我们的新概念.

3 结 语

通过实例模型来引入数学中的抽象概念[1]，既摘掉了数学概念抽象冰冷的面纱，又增加了学生学习的兴趣，让学生从实例中学到了新知识，认识到数学在日常生活中的应用，从而为非数学专业后续内容的教学实施提供了很好的借鉴.

[1]吴明海.极限实例模型与未定式极限[J].理科考试研究，2013（4）：6-7.

[2]左占飞.大学数学教学中应加强数学史的教育[J].三峡高教研究，2010（6）.

[3]左占飞.数学软件在高等数学教学应用中的一些体会[J].电脑知识与技术，2012（8）：7311-7313.

[4]左占飞.Mathematica软件在高等数学教学中的应用[J].考试周刊，2012（62）：75-76.

[5]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6]吴传生.经济数学—微积分[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]高婷婷，张明会.数学分析中几类基本概念及其否定概念的逻辑结构[J].重庆三峡学院学报，2013（3）：23-28.

[8]郑飞，李逢玲.开放教育中《经济数学基础》课程的教学探讨[J].教育教学论坛，2012（38）：111-112.