线天线矩量法分析中积分方程的选取*

刘建厂

(海司信息化部 北京 100841)

线天线矩量法分析中积分方程的选取*

刘建厂

(海司信息化部 北京 100841)

介绍了矩量法的基本思想,分析并详细推导了双位积分方程、波克林顿积分方程、海伦积分方程和反应积分方程具体形式。分别对四种积分方程应用矩量法的过程进行了分析,其中,波克林顿积分方程在应用矩量法时,使用了一种新的分段和匹配方法。重点对在应用矩量法过程中的一些重要参数进行了研究。

双位积分方程; 波克林顿积分方程; 海伦积分方程; 反应积分方程; 矩量法

Class Number TN820

1 引言

线天线是指辐射体由截面半径远小于波长的导线构成的天线,导线可以是电阻性类似导体结构,但一般是金属导线[1～2]。线天线作为天线的一大类,在舰艇上应用广泛,准确分析线天线的特性,对改善舰艇无线通信具有实际意义。任何天线的电特性取决于它的几何结构、周围媒质以及天线的激励[3],而线天线的电特性主要取决于天线上的电流分布,但严格求解天线的电流分布是困难的,经常采用数值方法,矩量法就是重要的一种数值方法。

矩量法是基于泛函理论,利用线性函数空间和线性算子概念,采用基函数和权函数将积分方程离散化为矩阵方程,通过矩阵求逆或解线性方程组,得到矩阵方程的解。应用于线天线领域的矩量法是处理频域积分方程的一种方法,常用的积分方程有多种,如双位积分方程、波克林顿(Pocklington)积分方程、海伦(Hallen)积分方程、反应积分方程[3～6]等,这些积分方程一般应用于细的线天线,即假设电流只沿天线轴线流动,忽略天线周向电流和端面径向电流。

偶极子天线是线天线的常用形式,以偶极子天线为例,分析了线天线的电特性,对基于各种积分方程的矩量法进行了比较,研究了在应用矩量法过程中的几个重要问题。

2 天线电磁理论

对于任意线天线,假设外加的场为Ei,在Ei的作用下,天线表面产生的感应面电流密度J在空间的散射场为Es,且满足导体表面的电场边界条件

(1)

散射场Es可以表示为

(2)

其中,磁矢量位A和电标量位φ为

A=μ∫SJG(r,r′)ds

(3)

(4)

(5)

3 确定电流分布的积分方程

线天线的电流分布确定后,天线的各种电特性也就随之确定了,严格求解线天线的电流分布一般有两种方法,一种是场的方法,即带入天线的导体边界条件,直接求解麦克斯韦(Maxwell)方程,这种方法计算复杂且仅适用于少数振子型天线;另一种是路的方法,即广义电路理论,首先建立起电流的积分方程,然后求出电流分布,过程中引入了广义电压、电流和阻抗概念。

为简化过程,以偶极子天线为例对几种积分方程的建立过程进行了推导。

图1 偶极子天线示意图

一般情况下,面电流密度J有一个局部平行于天线轴线的轴向分量和一个环绕天线的周向分量,天线很细时,周向分量很小。如图1所示沿z轴放置于原点的中馈偶极子天线,振子半径为a,一臂长为l,天线总长度L=2l,如果满足a≤λ,a≤L,即可看作细线天线,于是有以下假设:

1) 电流沿天线轴向流动;

2) 忽略天线上的周向电流和端面径向电流;

3) 天线上电流仅是长度变量的函数。

这样一来,天线表面电流仅有轴向分量Jz,且可以用轴线上的电流I(z′)=2πaJz代替天线的表面电流,I(z′)可以看作位于轴线上,也可以看作位于天线表面上。

基于上述假设,散射场Es在天线表面仅有轴向分量:

(6)

(7)

(8)

(9)

3.1 双位积分方程

将式(7)、(8)带入式(6),并结合式(1)可得偶极子天线的双位积分方程

(10)

3.2 波克林顿积分方程

将洛伦兹规范条件

(11)

带入式(6)可得

(12)

将式(7)带入式(12)可得波克林顿积分方程

(13)

对格林函数求导可得

(14)

3.3 海伦积分方程

(15)

(16)

结合式(7),得到海伦积分方程

(17)

3.4 反应积分方程

场源(Ji、Mi)照射到边界为S的导体散射体产生的场为(Es、Hs),根据等效原理,空间的场E、H等效于是由S面上的面源(Js、Ms)产生的,令Jc、Mc和Ec、Hc为检验源和场,由互易定理得

∫S(Js·Ec-Ms·Hc)ds=∫Vc(Jc·Es-Mc·Hs)dv

(18)

进一步可得

∫S(Js·Ec-Ms·Hc)ds=-∫Vc(Jc·Ei-Mc·Hi)dv

(19)

上式右面再应用互易定理,得到反应积分方程为

∫S(Js·Ec-Ms·Hc)ds=-∫Vi(Ji·Ec-Mi·Hc)dv

(20)

∫SJs·Ecds=∫ViMi·Hcdv

(21)

如果采用δ间隙电压源馈电,则Mi=0,这样式(20)化简为

∫SJs·Ecds=-∫ViJi·Ecdv

(22)

4 矩量法

矩量法是将积分方程离散化为矩阵方程或线性方程组的一种数值方法,矩量法的求解过程一般分为四个步骤:

1) 选择合适的积分方程;

2) 选择合适的基函数,将未知量展开为由基函数构成的级数;

3) 选择合适的权函数,利用内积形成矩阵方程;

4) 求解矩阵方程,得到未知量。

(23)

进一步写作形如ZI=U的矩阵方程,如果矩阵Z非奇异,则可以得出未知系数矩阵

I=Z-1U

(24)

其中,Z的元素Zmn=〈wm,h(fn)〉,各式中,h是线性算子,g为源或激励,f为场或响应,αn为待求系数,fn为基函数,wm为权函数。

矩量法应用线天线时,通常使用一维分段模型,后面的双位积分方程、波克林顿积分方程和海伦积分方程在应用过程中,选用的都是脉冲基函数,即

(25)

4.1 矩量法用于双位积分方程[3,8]

-ψ(m-,n+)+ψ(m-,n-)]

(26)

式中,

(27)

4.2 矩量法用于波克林顿积分方程[4,9]

采用了一种新的分段方式,即与双位积分方程的分段方式一样,权函数选用的也一样,这样得到广义阻抗矩阵元素

(28)

广义电压向量元素

(29)

如果采用1V磁流环馈电,则

(30)

4.3 矩量法用于海伦积分方程

采用文献[7]的方法,将偶极子分为N段,N为偶数,每段长Δl=L/N,天线两端各留半段,N-1个分段中点为zn=-L/2+nΔl,N个匹配点

(31)

离散后的N阶线性方程组为

(32)

4.4 矩量法用于反应积分方程[5～6]

应用伽辽金(Galerking)法,权函数与基函数相同。将偶极子天线分为N+1个子段,N为奇数,每个子段的长度Δl=L/(N+1),除天线端点外的N个子段节点坐标为zn=-L/2+nΔl。基函数选用分段正弦函数

(33)

广义电压向量元素

(35)

m=(N+1)/2时。

5 数值计算分析

数值计算使用如图1所示的半波偶极子天线。波克林顿积分方程使用磁流环馈电。

5.1 电流分布

1) 双位积分方程

在应用双位积分方程时,N值不能取任意大,N取值过大会使电流分布出现波动。a取值较大时,取N

2) 波克林顿积分方程与海伦积分方程

波克林顿积分方程与海伦积分方程都属于第一类弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程[2],进行点匹配时,只要求在一些离散点上满足天线表面电场边界条件,在匹配点以外的地方,边界条件并不满足,当分段数N增加时,相当于在天线表面有更多的点满足了边界条件,所以足够大的N值能够得到更精确的解[4]。

波克林顿积分方程比较特殊,在积分项中存在R-5项,在应用时要尤其注意。实际上,波克林顿积分方程受分段数N和半径a影响较大,随着N和a的变化,电流分布波动较大。

海伦积分方程的积分核比较简单,故海伦积分方程的解比较稳定,随N的变化不大,但N也不能取得过大,a取值较大时,应满足N

a=0.005λ的半波偶极子天线用两种方程所得电流分布与N的关系如图2所示。

3) 反应积分方程

反应积分方程是一类特殊的积分方程,表示的是检验源与“真源”之间的电磁反应,因为采用的是分段正弦基函数,故解的收敛性很好,受分段数N的影响不明显,但N也不能取任意大,半径越小受N的影响也越小。

不同半径的半波偶极子天线用合适的N值得到的电流分布如图3所示。

5.2 输入阻抗

偶极子天线的输入阻抗Zin=1/I(0),a=0.001λ的半波偶极子天线用四种积分方程得到输入阻抗在合适的N的范围内,随着N的增大,都呈现出收敛性,四种积分方程所得输入阻抗随N的变化如图4所示。

不同半径的半波偶极子天线取合适的N值用四种积分方程得到的输入阻抗典型值如表1所示。

表1 半波偶极子天线的输入阻抗(单位Ω)

6 结语

对于半径不是很大的线天线,在用矩量法分析时,在合适的N的范围内,四种积分方程都能得到较为准确的电流分布和输入阻抗,相对而言,由于采用了不同的基函数,反应积分方程的解更为准确,收敛性也要好一些。下一步的工作重点是进一步优化算法,研究复杂天线在应用矩量法时的阻抗矩阵填充技术。

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Different Integral Equations in Method-of-Moments Analysis of Wire Antenna

LIU Jianchang

(Information Department of Naval Headquarters, Beijing 100841)

In this paper, the basic ideas of the method-of-moments(MoM) are briefly presented. Two-potential integral equation, Pocklington integral equation, Hallen integral equation and reaction integral equqtion. Two are analyzed and deduced. Four different integral equations are used to analyze the wire antenna of MoM are particularly studied. A new segmentation and matching method is used in MoM based on Pocklington integral equation. The research focuses on some important parameters in the application of MoM.

two-potential equation, pocklington integral equation, Hallen integral equation, reaction equation, MoM

2014年6月1日,

2014年7月25日

刘建厂,男,硕士,工程师,研究方向:电磁场数值计算、天线与电波传播理论、天线仿真与设计。

TN820

10.3969/j.issn1672-9730.2014.12.017