基于小波变换的指纹全局方向场重建符阔

陈忠泽

摘 要：从大型指纹库识别不完整或局部指纹仍然是今天的一大挑战。在此文中，我们研究利用小波变换用于指纹方向场重建问题。特别的，我们提出了一种基于小波的多尺度方法从局部的指纹重建全局拓扑表达。然后提出基于结合参数模型和非参数模型来描述重建问题，我们提供了一般表达式可用于所有有效的反变换模型的解决方案。这种方案允许我们分割保护存在的方向场同时预测丢失的未知部分的结构。我们还开发了基于脊线拓扑特征的一些先验信息来估计丢失的方向结构的算法。我们的统计实验表明我们提出的基于模型的算法能有效的恢复指纹的方向场并应用于指纹匹配，这样重大的提高了局部指纹识别其他模块性能。

关键词：局部指纹；全局方向重建；小波模型

Wavelet transform for global fingerprint orientation field reconstruction

Kuo Fu Zhong Zhe Chen（College of Electrical Engineering，Nanhua University，Hengyang 421001，China）

Abstract：Identifying incomplete or partial fingerprints from a large fingerprint database remains a difficult challenge today. In this paper， we investigate the problem of inverse orientation model by exploiting wavelet translation. Specifically， we propose an wavelet based multiscale approach for reconstructing the global topology representation from a partial fingerprint. Then，we present an combine parametric model and non-parametric model for describing the reconstruction problem. we provide a general expression for all valid solutions to the inverse model. This allows us to preserve data fidelity in the existing segments while exploring missing structures in the unknown parts.We have further developed algorithms for estimating the missing orientation structures based on some a priori knowledge of ridge topology features. Our statistical experiments show that our proposed model-based approach can effectively reconstruct the orientation of fingerprint and used for pair-wised fingerprint matching， and thus significantly improve the other system module performance for partial fingerprint identification.

Key words：Partial fingerprint；global orientation reconstruction；wavelet model

在基于細节点指纹识别系统中，以前的认识中基于细节点匹配的指纹存储模板是安全且不属于侵犯个人隐私权，而从2007年的发表的由细节模板重建原始指纹[2，3]的论文打破了这一认识。指纹重建首先任务是由细节点模板重建方向场，把细节点模板类比于质量很差的指纹，指纹重建可以借鉴用来得到更准确更完整的方向场。另外低质量指纹图像的特征提取一直是自动指纹识别的一大难题，因为低质量的指纹图像难以计算其正确的纹路方向、纹路频率，从而难以正确地提取奇异点、增强纹路和提取细节点。所以重建准确的方向场才能很好的解决低质量指纹处理问题。Jain和Feng[5]对局部指纹匹配进行了详细的介绍和改进，文中强调增加特

征类型或数量，注重进行指纹一对一的匹配。由于没有分类检索机制，如果用于大型指纹数据库达不到实时识别认证的效果。

现在大多数流行的指纹分类算法都需要一个值得信赖的方向图，现有多种方法来估计指纹图像的方向图。文献综述[6]对大多数指纹方向场的方法进行了介绍，大体分为局部估计和全局模型两类。局部估计的方法包括梯度计算法[7]、基于滤波的方法、脊线投影法以及基于结构张量等。由这些方法得到的指纹方向图通常会有噪声，得到的方向图不够连续，需要对方向图进行平滑处理。早期的全局方向场模型包括零极点模型、非线性相位模型、多项式模型以及多模型结合等，这些模型都依赖于准确奇异点信息，但奇异点信息本就依赖于好的方向场。Wang和Hu[8]提出基于傅里叶级数模型来重建方向场，这种模型不但不需要奇异点信息，反而可以从模型中提取奇异点，而且模型系数被用来构成特征向量用于指纹分类检索。之后类似功能的模型相继提出，Ram[9]使用勒让德多项式模型，首先通过最小二乘法求得粗糙的模型参数，然后通过优化的目标函数得到精确参数。Liu[10]等使用基于复极矩（polar complex moments）基函数模型来重建方向场，且通过对齐参考点后的不变特征表达模型系数用于指纹检索。这些模型不需要指纹先验信息从而解决了低质量指纹不能使用全局模型的缺点，但是Cappelli[11]指出这些全局模型在指纹质量低到一定程度时预测全局方向场并不比梯度方法计算精确，甚至在奇异点附近存在更大误差。所以许多对这些模型改进或对比的论文也相继出现，文献[12]通过对傅里叶级数模型在变换时加入质量权值，这样对质量较差区域并不是完全舍去或是完全加入模型计算，对重建效果有一定的提高。文献[13]通过残余误差项分析，较大误差区域一般都位于奇异点，使误差较大区域使用更高阶的多项式来拟合，可以优化全局模型对于奇异点附近方向误差较大的问题。以上参数模型的方法大都离不开最小二乘法，用来找出一组模型系数使得模型拟合方向值后误差的平方最小。Wang[15]摆脱复杂的最小二乘法，使用少量指纹区域通过膨胀平滑拓展的方法重建全局方向场，对奇异点区域偏差有较大的改善。文献还使用了固定的外围拱形模型代替背景区域方向场，并统计了图像高质量区域的大小对重建全局方向场可靠性的影响。值得注意的是文献[14]提出非参数模型，其原理是变分方法，构想出的指纹平坦区域类比于动能而奇异点区域类比于势能处理方法，虽然在奇异点区域重建效果不理性，但是其重建的方向场平滑性好。

针对以上问题，本文提出了一种基于小波变换的指纹全局方向场重建方法。本文首先通过分析参数模型和非参数的优缺点，随后使用小波变换对初始方向场进行重建得到全局的方向场，并提出了一种结合参数模型和非参数模型的改进的重建方法。最后进行试验，结果表明本文算法对指纹方向场重建有较好的表现。

1 相关工作介绍与分析

1.1 基于多项式的指纹方向场模型

目前常用的指纹方向场计算方法是基于梯度的方法[7]。基于梯度的方法具有高效性和易于实现的特点，但是对噪声比较敏感，对于低质量指纹图像基于梯度的方法得到的方向场并不理想。因此，常用基于梯度的方法来粗略估计指纹的方向场，然后采用基于滤波的平滑算法或者基于数学模型的计算方法进一步消除噪声影响。基于数学模型的计算方法由于其采用全局的方向场信息，对噪声有较好的鲁棒性。文献[8，9，10]分别提出基于FOMFE、勒让德多项式、复极矩的方向场计算模型，这些模型不需要指纹奇异点等先验信息，算法运行速度比较快，并且能够有效去除噪声的影响。这些方法本质相同。首先采用梯度法计算指纹方向场θ（x，y），然后采用数学模型对指纹方向场进行重建，有效去除噪声的影响。由于方向角θ（x，y）的范围在0～π并且是不连续的，为了避免方向角θ（x，y）不连续性的影响，引入一个新的二维向量：

由于f的连续性，才可以通过其它模型来进行拟合，甚至是通过微分公式提取奇异点。对于任意f都可以写成一系列基函数的线性组合与一个余项之和。多项式拟合的过程就是通过某种优化算法得到一组系数，使得余项（误差）最小，如下式所示：

式中，f为由梯度法得到的方向场转换到sin和cos域的值，ε是噪声或误差，Ψ为以上提到的方向场模型。从上式求解系数β通常考虑最小二乘法的问题：

然而，当噪声在f中的比例很大时，噪声将被放大在解最小平方问题之后。为了抑制噪声和保护图像的特征，文献[12]利用指纹质量权值来解决这一问题，考虑权值l2范数：

式中 ；D为指纹质量权值，运算过程中通常将f转换为1维向量，所以D只在对角线上有值，所以对求逆运算无影响。解决问题（4）的方法考虑误差向量ε与方向场模型的基向量正交：

假设平方矩阵ΨTΨ可逆，式（5）变为：

指纹方向场零极点模型与混合模型的共同特点是都需要预先获得指纹的奇异点信息，而多项式反变换模型能够准确的拟合出指纹的方向场分布，同时，该模型不需要预先获得指纹的奇异点信息。然而，这么多存在的模型，都只是一种近似方法而不是真实的模型，因此指纹模式的自然变化在模型中没有体现。所以当有很大部分区域的为噪声时，模型的恢复能力受到限制。

1.2 非参数模型

基于变分方法的指纹方向场总体模型考虑在时域进行处理，主要考虑在时域的正则性，因此对正则项不同的定义可以得到不同的效果：

其中u为理想的方向场，右边第一项为正则项，保证得到的方向场平滑；第二项为保真项，保证得到的数据尽可能接近原始方向场。在文献[14]中p=2，把指纹的扩散类似动力学变分原理中，正则项类似动能对应指纹平滑区域，第二项类似势能对应指纹奇异点区域。采用梯度下降法，其欧拉格朗日方程：

上式为热扩散方程，扩散各方向同性。然而指纹方向场具有不可压缩流动流体的性质，各向同性扩散并不能很好的求解，因此在方向场降噪或修复的同时奇异点区域模糊。当我们考虑各项异性扩散时，令p=1；（7）式变为广泛使用的TV正则化模型：

在接下来的章节提出了综合参数模型和非参数模型指纹方向场重建算法。

2 小波重建指纹方向场

2.1 小波变换

由于指纹模型系数多种应用，如指纹检索，分类。所以在指纹方向场模型中都希望求得的模型系数尽可能的少，而小波变换得到的系数和原始方向场的数量相同，因此在指纹方向场模型中很少用到。其实只要保证得到的小波系数尽可能的稀疏，小波本来就是很好的压缩特性。而且相对于计算一系列基函数矩阵，小波变换计算更加方便简单。同时拥有多尺度分析的能力对于奇异点的方向场计算更加精确。小波变换类似于其它指纹方向场模型的表达式：

由正交小波多尺度分析的尺度子空间Vj的标准正交基为{φj，k}，小波子空间Wj的标准正交基为{ψj，k}，多尺度分析的空间关系为Vj-1=Vj⊕Wj。根据双尺度差分方程构造定理：

前后两个空间基之间的关系：

信号在前后两个空间基上投影系数之间的关系：

当考虑信号在Rn空间，这些线性算子有矩阵表达形式，简单的表示小波分解为W。由于指纹奇异点区域方向場属于高频，平坦区域属于低频。所以小波变换后指纹方向场不同区域会被分解到不同的层次。与其它模型相似之处在于使用尽可能少的系数来表示一个方向场，所以通过设阈值保留小波系数中的主要值，可以实现小波的方向场拟合。与其它模型的不同之处在于小波变换为时频分析，即每个小波系数与时域有对应关系，这也是方向场在不同的尺度对应指纹的不同区域。

2.2 基于小波指纹方向场重建

指纹方向场O（x，y）是关于指纹块（x，y）的函数，所以方向场恢复的目标就是找到未知区域的方向从观察到的初始方向场。指纹恢复是一个反变换问题，为了简化符号，我们把方向场表示成向量在Rn空间，n等于总共的方向值。目标是从观察到的方向场f∈Rl找到未知的正确方向场u∈Rn：

式中 在方向场重建中为投影算子，与指纹质量权值D有相同的性质。为了不失一般性，我们考虑局部指纹段Ω为指定的二维指纹图像前景区域，假设的指纹脊线流形具有连续性，我们希望延长流形趋势从局部Λ的边界平滑到未知区域（Ω＼Λ）。估计未知区域方向场必须包含信息从存在的片段Ω，这里提示了Λ结构信息将被渐进的传播到未知区域（Ω＼Λ）。当我们给定残缺指纹的有效区域Λ来恢复f在区域（Ω＼Λ），Ω为完整指纹，定义投影算子：

考慮一种指纹模型时，希望使用更少的参数来表示整个方向场，即信号的主要成分集中在稀疏的点集上。因此在最小二乘法问题中考虑加入l1正则项：

当小波基为haar小波时，小波变换与梯度算子类似，在文献[1]对上式与非参数模型（9）正则化效果相关。为了结合参数模型和非参数模型，令Wu=v，基于分解的方法（17）可以变换到基于合成的方法。

上式被称作基于合成的方法，WT为小波反变换，v为未知方向场的小波系数。它结合了基于参数模型和非参数模型的优点，同时对小波不同尺度的系数进行约束，使得方向场尽可能的平滑，甚至填充到指纹方向场未知区域。（18）式当D=I时，为线性反变换问题的l1正则化问题，解决办法为迭代收缩阈值算法，文献[4]对这一算法进行了详细的证明与改进。本文考虑其在指纹质量权值D的情况下对指纹方向场重建的应用。式（18）的解决方法为分别对fc和fs进行正则化：

上式中 为软阈值， ，λ在不同的小波分解层为不同的值本文定义为λj=2j*λ0。▽p（v）为

在上式计算过程中需对WTvc和WTvs进行归一化。

3 实验结果比较分析

为了验证和分析所提出的指纹方向场重建的准确性，主要从基于小波的方向场模型和其他模型进行对比。主要考虑文献[15]和基于小波模型分别在指纹拟合和指纹方向场修复问题中的对比。首先通过对指纹预处理得到一个可靠地指纹质量图并分为5层，提取最高指纹质量层的指纹区域并通过腐蚀操作来模拟残缺指纹，这样就可以使模拟的残缺指纹对应到原始全部指纹的任意位置。

当有指纹很大部分区域的为噪声时，模型的恢复能力受到限制，所以实验主要对比在指纹方向场大区域重建的准确性，如图1所示。指纹图像来自于FVC。图1a中图像质量明显较差，此图由梯度法得不到完整的方向场；图1b为指纹质量分数较高的部分；图1c为对应区域的局部方向场，区域由PΛ对应；图1d是文献[15]提出的平滑拓展方法对局部方向场重建的结果，重建采用FOMFE模型；图1e采用基于小波模型的本文方法。从图1可以看出本文提出的方法对于低质量指纹方向场重建更加平滑，符合指纹方向场类似流体的性质，其中参数λ0=0.02～0.06；t=1，采用DB4小波。另外一个指纹重建的难点在于奇异点区域的重建，奇异点区域重建的效果体现出模型算法的适应性。图2为在指纹奇异点区域的重建效果对比图。图2a为完整的指纹图形，随机选自FVC2000，DB1_B，256x320像素。图2b为去掉指纹的奇异点区域和一些相邻区域对应的指纹块；图2c为指纹局部方向场，模拟残缺的指纹方向场；图2d为文献[15]的重建效果图；图2e为本文的重建效果图。

4 结论

提出了一种基于小波的指纹方向场模型，一个重要的特点就是它能拟合方向场在不同的小波尺度，多尺度分析可解决指纹奇异点区域重建的难点。另外为了重建方向场，提出结合参数模型和非参数模型的特点，在基于模型的优化算法中加入正则项，使得重建的方向场既有基于模型的拟合精度，又有非参数模型的平滑效果。我们描述的重建方法在指纹大区域噪声的情形下，重建效果相对较好。我们的统计实验结果表明提出的方法能有效的提高指纹方向场重建的效果，在奇异点区域的重建效果也有明显提高。

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