四节点无线网络的分集复用折中

王锐　胡安国　丁杰　陈万培

摘 要： 讨论了一个四节点无线网络，并将该四节点无线网络划分MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative模型。讨论了四种不同模型的DMT上界。理论结果表明该模型可获得的最大分集值为4，最大复用值为2；协作可以有效地提高系统的分集值或者复用值，但是，协作并不能完全模拟MIMO系统。当复用增益较低时，协作模型与MIMO模型具有相同的DMT。当复用增益较高时，受复用增益的限制，分集增益为零。

关键词： MIMO； 多址接入信道； 广播信道； 协作信道； 分集复用折中

中图分类号： TN92?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）09?0030?04

0 引 言

在无线通信中，衰减降低了通信的可靠性。Multiple?input Multiple?out（MIMO）系统通过引入空间分集来抵抗衰减，有效的提高了无线通信的可靠性。同时，MIMO还可以利用空间散射环境来增加空间复用。然而，许多移动设备的体积限制了它只能使用单天线，限制了MIMO的应用。单天线设备在多用户场景中通过协作通信产生虚拟的MIMO 系统[1?2]。文献[3?4]表明多用户之间的协作可以增加无线通信的可靠性和传输速率。因此，使用协作是无线通信的一种有效选择。

MIMO系统比协作系统具有优势。在MIMO系统中，编码可以在发送端（接收端）天线中瞬时计算并应用，而在协作通信中，协作节点并不知道其他协作点的信息，协作节点之间需要通过无线终端相互交换信息。因此，MIMO模型与广播模型、多址接入模型、协作模型是否具有相同的Diversity?Multiplexing Tradeoff （DMT）引起了人们的兴趣。在文献[5]中，作者研究了[2×2]节点的MIMO Channel，MAC Channel，Broadcast Channel，Cooperative Channel的分集增益。在文献[6]中，作者研究了协作分集中的相关协议与中断表达。一个信源，两个中继，一个信宿的四节点协作网络的DM在文献[7]中得到研究。在文献[8]中，作者研究了双天线中继网络的DMT。两个信源协作，两个信宿协作的[2×2]协作网络的分集复用折中在文献[7，9]中得到研究。

本文研究一个四节点[2×2]的无线网络。MIMO模型通过去掉发送端两节点之间的联系后变为MAC模型；MIMO模型去掉接收端两节点之间的联系变为Broadcast模型；将一单节点的双天线变为两个节点的单天线协作则MIMO模型变为了协作模型。本文主要研究这四种模型的DMT（Diversity?Multiplexing Tradeoff），探讨四种模型是否具有相同的DMT。

1 准备知识和模型

首先介绍分集增益与复用增益的定义。分集增益[d（r）]和复用增益分别定义为：

[d（r）=-limSNR→∞logPeSNRlog SNR] （1）

[r=limSNR→∞R（T）SNRlogSNR] （2）

分集增益描述了错误概率的可能性随着信噪比的增加而降低的速度。复用增益描述了系统的传输速率随着信噪比的增加而增加的速度。文献[10]证明了错误概率受中断概率控制，因此，在本文的后面主要考虑中断概率。

文献[10]提出，MIMO系统能同时提供分集增益和复用增益，并且这两种增益之间存在着定量的折中关系。要获得较高的复用增益，必然要以牺牲分集增益作为代价，反之亦然。

其次，介绍两个重要的引理。引理1来自文献[9]，引理2来自文献[10]。

[引理1：]假设网络中有[m]个节点，对每一个[{1，2，…，m}，]定义割集[dCi（r（Ci））]的最大分集值为：

[dCi（r（Ci））=-limSNR→∞log minp（x1，x2，…，xm）P（ICi

则，最大网络分集[d（r-）]上限是：

[d（r-）≤mini{dCi（r（Ci））}] （4）

[引理2：]假设[l≥m+n+1]，最佳折中曲线[d*（r）]是连接点[（r，d*（r））（r=0，1，…，min（m，n））]的分段线性函数，其中：

[d*（r）=（m-r）（n-r）]

特别地：

[d*max=mn， r*max=min{m，n}]

其中，[m]为发送天线数，[n]为接收天线数，[l]为任意编码方案的块长。

本文以下部分对于一个[m×n]的MIMO系统，使用：

[dmn（r）=（m-r）（n-r）]

最后介绍本文研究的模型。一个四节点[2×2]无线网络如图1所示。发射端（接收端）的两个节点可以是一个双天线节点；也可以是两个独立不相关的单天线节点；或者是存在协作的两个独立单天线节点。

本文后面的理论分析基于如下假设：

（1） 假设信道为无记忆的，即任意时刻的输出仅依赖于当时的输入，而与以往的输入条件独立。

（2） 假设中继采用全双工方式。

（3） 假设信源不知道信道状态信息，中继知道部分信道状态信息，信宿知道全部信道状态信息。

图1 四节点无线网络

2 四节点不同模型

本节主要证明MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative四种模型的DMT。讨论四种模型是否具有相同的DMT。

2.1 MIMO

首先，将发射端（接收端）两节点看作是一双天线单信源（信宿）。则，图1中MIMO Channel变为如图2所示。假设发送端发送的信号为[X=[X1，X2]T，]接收端接收的信号为[Y，]信道增益矩阵为[HSD。]

图2 四节点MIMO

则：

[Y=HSD?X+Z] （5）

其中[Z]为独立的复高斯随机变量，且[Z～N（0，1）]。假设[E[XH1?X1]≤P1，E[XH2?X2]≤P2。]

定理1：四节点无线网络为MIMO模型时，如图1所示，可获得最佳DMT为：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）] （6）

在文献[11]中，作者证明了DMT的上限为割集的上限。因此，讨论割集[T。]

[ICT=I（X；Y）] （7）

由文献[9]知：

[ICT≤I′CT=logI2+HSD?HHSD（P1+P2）] （8）

公式（3）变形得到：

[P（I′CT

根据引理1知：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）] （10）

2.2 MAC

将发射端两节点之间的联系断开，使发射端两节点成为两个独立单天线节点，且不相关。则四节点无线网络变为MAC模型，如图3所示。假设节点1为用户[S1，]发送信号[X1；]节点2为用户[S2，]发送信号[X2。]接收端（信宿[D]）两个节点组成一个双天线单节点，接收信号为[Y。][HS1D，HS2D]用户[S1]与信宿、用户[S2]与信宿之间的信道增益矩阵。则：

[Y=HS1D?X1+HS2D?X2+Z] （11）

其中，[Z]为独立的复高斯随机变量，且[Z～N（0，1）]。假设[E[XH1?X1]≤P1，E[XH2?X2]≤P2。]

图3 四节点MAC

定理2：四节点无线网络为MAC模型时，如图3所示，可获得最佳DMT为：

[d（r）=d12（r）=（1-r）（2-r）] （12）

根据文献[11]，讨论的割集有[T1，T2，T3。]

[ICT1=I（X1；YX2）] （13）

[ICT2=I（X2；YX1）] （14）

[ICT3=I（X1，X2；Y）] （15）

由文献[9]知：

[ICT1≤I′CT1=logI2+HS1D?HHS1DP1] （16）

[ICT2≤I′CT2=logI2+HS2D?HHS2DP2] （17）

[ICT3≤I′CT3=logI2+HS1S2，D?HHS1S2，D（P1+P2）] （18）

其中[HS1S2，D=[HS1DHS2D]。]

公式（3）的变形得到：

[P（I′Ci

[d′CT1=d12（r）] （20）

[d′CT2=d12（r）] （21）

[d′CT3=d22（r）] （22）

根据引理[1]知：

[d（r）=d12（r）=（1-r）（2-r）] （23）

2.3 Broadcast

将接收端两节点之间的联系断开，使接收端两节点成为两个独立的单天线节点，且相互之间无关联。则，四节点无线网络模型变为Broadcast模型，如图4所示。假设发送端（记为[S]）的发送信号为[X=[X1，X2]T，]接收端（信宿）的接收信号为[Y1][（D1]节点），[Y2][（D2]节点），[S]到[D1，][S]到[D2]的信道增益矩阵分别为[HSD1，HSD2。]

图4 四节点Broadcast

则：

[Y1=HSD1?X+Z1] （24）

[Y2=HSD2?X+Z2] （25）

其中，[Z1，Z2]为独立的复高斯随机变量，且[Z1（Z2）～N（0，1）]。假设[E[XH1?X1]≤P1，E[XH2?X2]≤P2。]

定理3：四节点无线网络为Broadcast模型时，如图4所示，可获得最佳DMT为：

[d（r）=d12（r）=（1-r）（2-r）] （26）

根据文献[11]，讨论的割集有[T1，T2，T3。]

[ICT1=I（X；Y1Y2）] （27）

[ICT2=I（X；Y1）] （28）

[ICT3=I（X；Y2）] （29）

由文献[9]知：

[ICT1≤I′CT1=logI2+HS，D1D2?HHS，D1D2（P1+P2）] （30）

[ICT2≤I′CT2=logI+HSD1?HHSD1（P1+P2）] （31）

[ICT3≤I′CT3=logI+HSD2?HHSD2（P1+P2）] （32）

其中，[HS，D1D2=[HSD1HSD2]T。]

公式（3）的变形得到：[P（I′Ci

[d′CT1=d22（r）] （34）

[d′CT2=d12（r）] （35）

[d′CT3=d12（r）] （36）

根据引理1知：

[d（r）=d12（r）=（1-r）（2-r）] （37）

2.4 Cooperative and DMT

首先引用一个四节点协作网络的引理3，然后给出MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative 模型的DMT。

将两个发送节点看作是两个独立的单天线协作信源，两个接收节点看作是独立的单天线协作信宿，如图5所示。

图5 四节点协作

引理3：四节点无线网络为Cooperative模型时，如图5所示，如果系统非成簇，可获得最佳DMT为：

[d（r）=d13（r）=（1-r）（3-r）] （38）

如果系统成簇，可获得最佳DMT为：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）， 0≤r≤1] （39）

图6 DMT

上述结论的分集复用折中图，如图6所示。从图中可以看出，四节点无线网络可获得的最大分集值为4；MAC，Broadcast模型可获的的最大分集值为2；Cooperative模型在非成簇（nonclustered）时可获得的最大分集值为3；虽然Cooperative模型和MIMO模型可获得的最大分集值都是4，但是，Cooperative模型可获得的最大复用值只能是1。

3 结 论

本文研究了一个四节点无线网络模型，将这4个节点根据不同的组合分为MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative模型，并证明这四种模型可获得的最佳DMT。通过理论证明和折中图的对比，可以发现，协作模型可以在一定范围内与MIMO模型具有相同的DMT，但不能完全等同于MIMO模型。

参考文献

[1] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. Increasing uplink capacity via user cooperation diversity [C]// Proceedings of 1998 IEEE International Symposium on Information Theory. Cambridge， MA： IEEE， 1998： 156?160.

[2] NOSRATINIA A， HUNTER T E， HEDAYAT A. Cooperative communication in wireless networks [J]. IEEE Communications Magazine， 2004， 42（10）： 74?80.

[3] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part I： system description [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1927?1938.

[4] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part II： implementation aspects and performance analysis [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1939?1948.

[5] HOST?MADSEN A， NOSRATINIA A. The multiplexing gain of wireless networks [C] Proceedings of 2005 International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2005： 2065?2069.

[6] LANEMAN J N， TSE D N C， WORNELL G W. Cooperative diversity in wireless networks： efficient protocols and outage behavior [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 50（12）： 3062?3080.

[7] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in cooperative wireless systems [C]// Proceedings of 2006 40th Annual Conference on Information Sciences and Systems. [S.l.]： IEEE， 2006： 1062?1067.

[8] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in multiple?antenna relay systems [C]// Proceedings of 2006 IEEE International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2006： 1154?1158.

[9] YUKSEL M， ERKIP E. Multiple?antenna cooperative wireless systems： a diversity?multiplexing tradeoff perspective [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2007， 53（10）： 3371?3393.

[10] ZHENG L， TSE D N C. Diversity and multiplexing： a fundamental tradeoff in multiple?antenna channels [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2003， 49（5）： 1073?1096.

[11] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity gains and clustering in wireless relaying [C]// Proceedings of ISIT 2004 International Symposium on Information Theory. New York： IEEE， 2004： 400?410.

2.4 Cooperative and DMT

首先引用一个四节点协作网络的引理3，然后给出MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative 模型的DMT。

将两个发送节点看作是两个独立的单天线协作信源，两个接收节点看作是独立的单天线协作信宿，如图5所示。

图5 四节点协作

引理3：四节点无线网络为Cooperative模型时，如图5所示，如果系统非成簇，可获得最佳DMT为：

[d（r）=d13（r）=（1-r）（3-r）] （38）

如果系统成簇，可获得最佳DMT为：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）， 0≤r≤1] （39）

图6 DMT

上述结论的分集复用折中图，如图6所示。从图中可以看出，四节点无线网络可获得的最大分集值为4；MAC，Broadcast模型可获的的最大分集值为2；Cooperative模型在非成簇（nonclustered）时可获得的最大分集值为3；虽然Cooperative模型和MIMO模型可获得的最大分集值都是4，但是，Cooperative模型可获得的最大复用值只能是1。

3 结 论

本文研究了一个四节点无线网络模型，将这4个节点根据不同的组合分为MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative模型，并证明这四种模型可获得的最佳DMT。通过理论证明和折中图的对比，可以发现，协作模型可以在一定范围内与MIMO模型具有相同的DMT，但不能完全等同于MIMO模型。

参考文献

[1] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. Increasing uplink capacity via user cooperation diversity [C]// Proceedings of 1998 IEEE International Symposium on Information Theory. Cambridge， MA： IEEE， 1998： 156?160.

[2] NOSRATINIA A， HUNTER T E， HEDAYAT A. Cooperative communication in wireless networks [J]. IEEE Communications Magazine， 2004， 42（10）： 74?80.

[3] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part I： system description [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1927?1938.

[4] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part II： implementation aspects and performance analysis [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1939?1948.

[5] HOST?MADSEN A， NOSRATINIA A. The multiplexing gain of wireless networks [C] Proceedings of 2005 International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2005： 2065?2069.

[6] LANEMAN J N， TSE D N C， WORNELL G W. Cooperative diversity in wireless networks： efficient protocols and outage behavior [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 50（12）： 3062?3080.

[7] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in cooperative wireless systems [C]// Proceedings of 2006 40th Annual Conference on Information Sciences and Systems. [S.l.]： IEEE， 2006： 1062?1067.

[8] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in multiple?antenna relay systems [C]// Proceedings of 2006 IEEE International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2006： 1154?1158.

[9] YUKSEL M， ERKIP E. Multiple?antenna cooperative wireless systems： a diversity?multiplexing tradeoff perspective [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2007， 53（10）： 3371?3393.

[10] ZHENG L， TSE D N C. Diversity and multiplexing： a fundamental tradeoff in multiple?antenna channels [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2003， 49（5）： 1073?1096.

[11] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity gains and clustering in wireless relaying [C]// Proceedings of ISIT 2004 International Symposium on Information Theory. New York： IEEE， 2004： 400?410.

2.4 Cooperative and DMT

首先引用一个四节点协作网络的引理3，然后给出MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative 模型的DMT。

将两个发送节点看作是两个独立的单天线协作信源，两个接收节点看作是独立的单天线协作信宿，如图5所示。

图5 四节点协作

引理3：四节点无线网络为Cooperative模型时，如图5所示，如果系统非成簇，可获得最佳DMT为：

[d（r）=d13（r）=（1-r）（3-r）] （38）

如果系统成簇，可获得最佳DMT为：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）， 0≤r≤1] （39）

图6 DMT

上述结论的分集复用折中图，如图6所示。从图中可以看出，四节点无线网络可获得的最大分集值为4；MAC，Broadcast模型可获的的最大分集值为2；Cooperative模型在非成簇（nonclustered）时可获得的最大分集值为3；虽然Cooperative模型和MIMO模型可获得的最大分集值都是4，但是，Cooperative模型可获得的最大复用值只能是1。

3 结 论

本文研究了一个四节点无线网络模型，将这4个节点根据不同的组合分为MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative模型，并证明这四种模型可获得的最佳DMT。通过理论证明和折中图的对比，可以发现，协作模型可以在一定范围内与MIMO模型具有相同的DMT，但不能完全等同于MIMO模型。

参考文献

[1] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. Increasing uplink capacity via user cooperation diversity [C]// Proceedings of 1998 IEEE International Symposium on Information Theory. Cambridge， MA： IEEE， 1998： 156?160.

[2] NOSRATINIA A， HUNTER T E， HEDAYAT A. Cooperative communication in wireless networks [J]. IEEE Communications Magazine， 2004， 42（10）： 74?80.

[3] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part I： system description [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1927?1938.

[4] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part II： implementation aspects and performance analysis [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1939?1948.

[5] HOST?MADSEN A， NOSRATINIA A. The multiplexing gain of wireless networks [C] Proceedings of 2005 International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2005： 2065?2069.

[6] LANEMAN J N， TSE D N C， WORNELL G W. Cooperative diversity in wireless networks： efficient protocols and outage behavior [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 50（12）： 3062?3080.

[7] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in cooperative wireless systems [C]// Proceedings of 2006 40th Annual Conference on Information Sciences and Systems. [S.l.]： IEEE， 2006： 1062?1067.

[8] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in multiple?antenna relay systems [C]// Proceedings of 2006 IEEE International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2006： 1154?1158.

[9] YUKSEL M， ERKIP E. Multiple?antenna cooperative wireless systems： a diversity?multiplexing tradeoff perspective [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2007， 53（10）： 3371?3393.

[10] ZHENG L， TSE D N C. Diversity and multiplexing： a fundamental tradeoff in multiple?antenna channels [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2003， 49（5）： 1073?1096.

[11] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity gains and clustering in wireless relaying [C]// Proceedings of ISIT 2004 International Symposium on Information Theory. New York： IEEE， 2004： 400?410.