页岩气藏体积压裂数学模型研究

董浩，王立婷，王丽娜，王芳，樊文静，周亚楠

（1.西北大学地质学系，陕西 西安710069；2.西北大学信息科学与技术学院，陕西 西安710069；3.中国石油天然气管道局第四工程分公司，河北 廊坊065000）

对页岩气藏进行产能预测需要解决2 个问题：一是对复杂天然裂缝网络的描述。页岩储层具有一定密度和连通性的天然裂缝，是运用大规模水力压裂开发页岩气藏的前提条件，但复杂天然裂缝网络的描述非常困难。二是弄清页岩气的渗流机理。页岩气的渗流不同于常规低渗透油气藏，它不仅存在达西流动，还存在气体吸附解吸过程和扩散流动，渗流规律复杂。

1 单一介质模型

黑油模型适用于非挥发性原油的模型，它是目前最完善、最成熟的模型，也是应用最广泛的模型［1］。黑油模型可以考虑油、气、水三相的渗流问题，其中气相以自由气和溶解气的形式存在。

1.1 黑油模型

黑油模型的基本假设条件：

1）最多存在油气水三相，渗流规律遵循达西定律；

2）油气二相瞬间达到平衡状态，油水不互溶，且气不溶于水；

3）若存在溶解气，只考虑气组分溶解于油组分，不考虑油组分向气组分的挥发；

4）油藏中的渗流为等温渗流；

5）油藏和流体为微可压缩。

则油气水三相黑油模型可表示为

辅助方程如下：

式中：K 为地层渗透率，μm2；Kro，Krg，Krw分别为油、 气、水三相的相对渗透率；ρo，ρgd，ρg，ρw分别为油、 溶解气、气、水的密度，kg/m3；po，pg，pw分别为油、气、水三相的压力，MPa；γog，γo，γg，γw分别为含有溶解气的油、 油、气、水相的重度，kg·m-2·s-2，其中γog=γo+γgd，γo=ρog，γgd=ρgdg，γw=ρwg；D 为某一基准面算起的深度，m；φ 为地层孔隙度；So，Sg，Sw分别为油、气、水三相的饱和度；t 为时间，s；pcow为油水毛细管压力，MPa；pcog为油气毛细管压力，MPa。

式（1）—（6）为完整的油气水三相黑油模型。从这6 个方程中可以看出，方程组有po，pg，pw，So，Sg，Sw共6个未知数，因此方程组是封闭的。加上一些边界条件和初始条件，就可以对方程组进行求解。

1.2 吸附气处理方法

吸附气从基质中的解吸使气体产量相对稳定，因此吸附气量是影响页岩气开发后期产能的重要因素。如果页岩气从基质到裂缝中的解吸速度比在裂缝中的流动速度快得多，在模拟页岩气开采过程中解吸作用就相对不重要，因此可假定解吸过程是瞬间完成的。基于这一假设，页岩气的吸附作用可用气体在不流动油的溶解过程来模拟［2-3］。也就是说，在一个给定的压力下，页岩气吸附在基质中的气体量类似于相应压力下溶解于原油中的气体量，朗格缪尔曲线可用溶解气油比曲线来模拟。油相的引入，需要增加模型中储层的孔隙度，并对饱和度适当修改，同时还需要对气水相对渗透率曲线相应修改。

利用溶解气模拟吸附气时，要保证黑油模型中水和气的总量与页岩中水和气的总量相等, 在模型中Sgm+Swm+Som=1，则

式中：Som为模型中的含油饱和度；φm为模型孔隙度。

式（7）将页岩实际的孔隙度与黑油模型的孔隙度联系在一起。由于含油饱和度的值是随机选定的，所以油相的饱和度必须保持恒定。

对气水相对渗透率曲线进行调整： 对应于页岩储层实际Sg和Sw的相对渗透率值，应该被赋予模型中相应的Sgm和Swm，假设油是不流动的，可用相对渗透率为0 或设置超大黏度来表示。若取Som=0.45，则实际相渗曲线与修改后的相渗曲线如表1所示。

表1 实际相渗曲线与修改后的相渗曲线数据

由于吸附气量取决于页岩质量而不是体积，因此，另一种朗格缪尔方程更为适合表达页岩的吸附特征：

式中：V 为气体吸附量，m3/kg；Vm为朗格缪尔等温常数，m3/kg；b为朗格缪尔压力常数，MPa-1；p 为压力，MPa。

为了保证物质平衡，体积系数须为恒定值，即

式中：ρB为页岩的体积密度，kg/m3；Rs为溶解气油比，m3/m3；Bo为原油地层体积系数。

式（9）用于将页岩基质中的吸附气量转换为不流动原油中的溶解气量。通过以上方程式的转换，可以得到油气水三相黑油模型，从而对页岩气藏的产能进行评价。

页岩储层中的吸附气量与溶解气油比对比如表2所示。计算过程中，式（9）中其他参数分别取值：ρB=1 500 kg/m3，Vm=0.024 4 m3/kg，Bo=1.2，b=0.3 MPa-1，φm=0.36，Som=0.45。

表2 页岩储层中的吸附气量与溶解气油比

2 双重介质模型

在页岩气藏中，气体在基质内是不流动的。气体进入裂缝参与流动的条件是，基质与裂缝之间存在使吸附气体发生解吸作用的压力差。本文采用双孔单渗模型对页岩气的流动情况进行模拟。

2.1 页岩气的吸附解吸

吸附作用是指气体附着在固体表面上的现象，其发生的根本原因是，气体与固体接触时，彼此之间没有达到热力学平衡［4-5］。页岩基质的吸附作用在开始阶段比较快，随着吸附的进行，吸附速度越来越慢，直至达到吸附平衡［6-7］。

对于气体吸附现象的表述普遍采用的是朗格缪尔方程。随着压力的升高，吸附气量逐渐增加，直至达到最大吸附量，即朗格缪尔体积。

2.2 气体的扩散

2.2.1 孔隙系统

在孔隙系统中，气体大多处于吸附状态。在靠近裂缝面的基质孔隙中的气体解吸速度快，与自由气处于平衡状态，可用朗格缪尔方程模拟；在远离裂缝面的基质孔隙中的气体与自由气处于非平衡状态［8］。页岩气在基质孔隙中的运移规律遵循第一扩散定律，即Fick第一定律［9］，其关系式为：

式中:qs为页岩基质中扩散出来的页岩气量，m3/d；T为扩散系数，m2/d；σ 为页岩基质的形状因子，m-2；Vn为页岩基质体积，m3；为页岩基质中的平均气体体积分数，m3/m3；C（p）为页岩裂隙界面上的气体体积分数，m3/m3。

2.2.2 裂缝系统

裂缝系统中的气体流动遵循达西定律，只考虑气水二相。

气相的渗流方程为

水相的渗流方程，即式（3）：

辅助方程如下：

式中：pcgw为油水毛细管压力，MPa。

3 单一、双重介质模型对比

分别对单一介质模型和双重介质模型建立概念模型。其中单一介质中的吸附气用油相中的溶解气表示，双重介质的天然裂缝系统以串流系数表示［10-11］。2种模型均采用80×49×5 的网格划分模式，平面上每个网格均为正方形，边长为25 m，垂向上每个网格的高度为10 m。水平井长1 000 m，人工裂缝为6 条，缝长200 m，通过局部网格加密方法对人工裂缝和天然裂缝进行模拟。

模拟的地层深度为3 000 m，地层压力为30 MPa，地层的平均渗透率为0.001×10-3μm2，平均孔隙度为0.05，原油的地面密度为850 kg/m3，水的压缩系数为1.0×10-4MPa-1，水的黏度为0.2 mPa·s，岩石的压缩系数为1.0×10-5MPa-1。若取Som=0.40，Bo=1.2，得出双重介质中的吸附气量和对应的气水相对渗透率曲线，并根据以上参数分别对单一介质和双重介质进行了模拟计算，得到压力随时间的变化关系（见图1）。

图1 单一介质和双重介质的压力变化对比

由图1可以看出，2 种模型模拟得到的压力变化相差不多。对于单一介质，利用Fracman 生成的天然裂缝与人工裂缝实现正交，压力传播随人工裂缝和天然裂缝扩展，呈网状分布；而在双重介质中，由于天然裂缝通过裂缝系统与基质系统串流，压力传播只沿人工裂缝扩展，而天然裂缝中的压力扩展无法用图形显示出来。随着生产过程中水平井筒与人工裂缝的周围逐渐出现压力亏空，压力不断向外扩散，在人工裂缝周围均出现比较严重的压力降。

对于单一介质，假设油相不流动，随着压力的下降，气体不断从油相中释放出来。而对于双重介质，经历了前期自由气的开采，随着压力的下降，吸附气不断解吸出来，成为保证产量的主要因素。

从图1还可以发现，页岩气藏进行人工压裂之后，裂缝周围的泄油面积形状接近于长方形（图中蓝色区域）。这是因为页岩气藏的渗透率低，渗流条件差，压力扩展慢，当2 点的压差小于气体流动所需的阻力时，压力停止向前扩展。由于每条裂缝的泄油面积很小，因此多条裂缝的泄油面积叠加起来更为接近长方形。

通过2 种模型日产气量和累计产气量的对比发现（见图2），双重介质模拟的3 a 产气量稍高于单一介质，这主要跟2 种模型对天然裂缝的处理方式有关。对于单一介质，除了人工裂缝这个主要的渗流通道外，受计算机内存的限制，人为将天然裂缝分布在井筒周围；而双重介质中天然裂缝分布在整个模拟区域内，因此当压力扩展超出天然裂缝的范围时，单一介质中的气体几乎无法再流动，而双重介质则不受此因素的影响。但综合来看，2 种方法对于页岩气开采的模拟都是合理的。

4 结束语

本文提出了以黑油模型为基础模型、 以溶解气代替吸附气的方法对页岩气藏进行模拟，并与双孔单渗的双重介质模型进行了对比。虽然对于天然裂缝的处理方式不同，但2 种模型的模拟结果非常接近，由此验证了以溶解气代替吸附气的方法是可行的。

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