自同构群阶为16pq的有限群

陈克林，孟 伟，何宣丽

（1.云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明650031；2.广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004）

自同构群阶为16pq的有限群

陈克林1，孟 伟1，何宣丽2

（1.云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明650031；2.广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004）

设G是有限群，m是正整数，关于自同构方程｜Aut（G）｜＝m的求解是一个难题.此课题的系统研究始于上世纪70年代末.目前已经取得了一系列的结果.在过去研究的基础上讨论群方程｜Aut（G）｜＝16pq的求解问题，找出了所有满足条件的有限幂零群.

自同构群；循环群；幂零群；群阶

通过自同构群的阶来研究有限群的阶，一直是群论研究的热点，同时也是一个难点.1979年Iyer［1］提出关于自同构群方程的问题，即：给定一个有限群X，问是否存在有限群G使得Aut（G）＝X成立.并进一步证明解是存在的.Machale和Flannery［2-3］给出了自同构群的阶为p，pq，p2，p3及p4情形的有限群结构.Curan［4］证明了不存在有限群G使得Aut（G）的阶为pn（p是奇素数，n≥4），陈贵云［5］给出了自同构群的阶无平方因子情形的有限群结构.Flym［6］给出了自同构群阶为25的有限群结构.李世荣［7-11］给出了自同构群的阶为p2q2和p3q的有限群，并进一步研究了自同构群阶无立方因子情形的有限群.杜妮和李世荣［12］给出了4pq情形有限群的分类.国内其他学者给出了自同构群的阶为2pq2，4p2q，8pq，8p2q，8p2q2，16p等情形的有限幂零群的结构［13-17］.本文作为以上问题的继续，研究自同构群的阶为16pq.

本文考虑的皆为有限群，所用的术语和符号都是标准的.另外，文中用Zn表示n阶循环群，Dn表示n阶二面体群，Q8表示8阶四元数群，A×B表示群A与B的直积.

1 预备引理

2 主要结果

类似上面的计算可知Pi≅Z（4p＋1）或Z52（i＝1，2），进而可知G≅Z52（4p＋1），Z2·52（4p＋1）.

由7），8）知：P1≅Z（4p＋1）或Z，P2≅Z2p＋1或Z，P3≅Z3或Z4，所以有G≅Z3（4p＋1）（2p＋1），Z4（4p＋1）（2p＋1），.

由上面知Pi≅Z（2p＋1）或Z（i＝1，2），P3≅Z5或Z8，所以有.完成此定理的证明.

1）G≅Z2×Z2×Z3×Z13；

2）G≅Z2×Z2×Z32×Z5；

3）G≅Z2×Z2×Z7×Z5；

4）G≅D8×Z2p＋1；

5）G≅Q8×Z7；

6）G≅Z4×Z2×Z2p＋1.

证明 由于G是幂零群，则G可以表示为Sylow-p-子群的直积，即

进一步有：

假设G非循环，则必存在某个Pi非循环，不失一般性，可假设P1非循环.假设P1≅Zp1×Zp1.此种情况下，Aut（P1）≅GL（2，p1）.因此

1）如果P1≅D8，则｜Aut（P1）｜＝8.由引理1知｜Aut（P2）｜＝2p，由前面计算可知P2≅Z2p＋1.从而得到G≅D8×Z2p＋1.

2）如果P1≅Q8，则｜Aut（P1）｜＝24.由引理1知｜Aut（P2）｜＝6，所以P2≅Z7.从而有G≅Q8×Z7.

4）如果P1≅Z4×Z2，则｜Aut（P1）｜＝8.由引理1知｜Aut（P2）｜＝2p，由前面计算可知P2≅Z2p＋1.从而得到G≅Z4×Z2×Z2p＋1.

完成此定理的证明.

［1］IYER H K.On solving the equation Aut（X）＝G［J］.Roky Mountain JMath，1979，9（4）：653-670.

［2］FLANNERY D，MACHALE D.Some finite groupswhich are rarely automorphism Groups-I［J］.Proc Royal Irish Acad，1981，81A（2）：209-215.

［3］MACHALE D.Some finite groups which are rarely automorphism Groups-I［J］.Proc Roral Irish Acad，1983，83A（2）：189-196.

［4］CURRAN M J.Automorphisms of certain p-groups（p odd）［J］.Bulletin of the Australian Mathematical Society，1988，38（2）：299-305.

［5］陈贵云.自同构阶为p1p2…pn或pq2的有限群［J］.西南师范大学学报：自然科学版，1990，15（1）：21-28.

［6］FLYM J，MACHAIE D.Determining all finite groups whose automorphism group is p-group［J］.Proc Royal Irish Acad，1991.91A（2）：259-264.

［8］LISR.Finite groups with automorphism group of order 8p［J］.Proc Royal Irish Acad，1994，94A（2）：193-205.

［9］LISR.Finite groups with automorphism group of order p3q（p odd）［J］.Proc Royal Irish Acad，1994，94A（2）：207-218.

［10］LISR.Automorphism groups of some finite groups［J］.Science in China，Ser A，1994，37（3）：295-303.

［11］杜妮，李世荣.具有4pq阶自同构群的有限群［J］.数学学报，2004，46（1）：181-188.

［12］ZHONG Xiang-gui，LI Shi-rong.Finite groups with automorphism group of order 2pq2（p＞q＞2）［J］.Proc Royal Irish Acad，2006，106A（2）：179-190.

［13］孟伟，娄本功，卢家宽.具有4p2q阶自同构群的有限幂零群［J］.云南大学学报：自然科学版，2009，31（S2）：327-329.

［14］孟伟，李春琴.具有8pq阶自同构群的有限幂零群［J］.云南民族大学学报：自然科学版，2011，20（4）：272-274.

［15］MENG Wei，LU Jia-kuan，CHEN Ke-lin.Finite nilpotent groups with automorphism group of order8p2q2［J］.South Asian Journal of Mathematics，2011，1（1）：29-33.

［16］CHEN Ke-lin.Finite nilpotent groups with automorphism group of order 8p2q［J］.South Asian Journal of Mathematics，2011，1（2）：29-33.

［17］钟详贵，张福生，张红.具有16p阶自同构群的有限幂零群［J］.广西师范大学学报：自然科学版，2009，27（1）：21-24.

（责任编辑 梁志茂）

Finite groups with automorphism group of order 16pq

CHEN Ke-lin1，MENG Wei1，HE Xuan-li2
（1.School of Mathematics and Computer Science，Yunnan University of Nationalities，Kunming 650031，China；2.Department of Mathematics，Guangxi University，Nanning 530004，China）

Let G be a finite group，m a positive integer，and the solution to the equation｜Aut（G）｜＝m is a difficult task.The earliest research appeared in the late 1970s.Afterwards，there has been a series of solutions to it by mathematicians.This paper gives all solutions to the equation｜Aut（G）｜＝16pq as well as all finite nilpotent groups G.

automorphism group；cyclic group；nilpotent group；order

O152.1

：A

：1672-8513（2014）01-0044-04

2013-07-19.

国家自然科学基金（11361075，11226045）.

陈克林（1957-），男（白族），学士，教授.主要研究方向：基础数学.

孟伟（1981-），男，硕士，副教授.主要研究方向：有限群.