浅析中考试题中抛物线与相似（全等）三角形的问题

常胜彪

摘要：二次函数的图像抛物线与三角形的结合是代数与平面几何生成的综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探索是否存在一些点，使其构成的某些特殊图形，如常见的等腰三角形，等边三角形，直角三角形，相似三角形，全等三角形等这类问题在近几年的中考中占了很大的比例，常常作为中考的压轴试题。

关键词：中考试题 抛物线 相似（全等）三角形

纵观近几年尤其2013全国各地的中考试题，高频率地出现了抛物线与相似（全等）三角形的综合试题，成为近几年的热点试题，此类问题涉及的知识点多，解题技巧性强，全面考查学生分析问题、解决问题和创新思维能力。本文就采撷一例抛物线与相似（全等）三角形的中考试题，并加以浅析，以帮助学生找到这一种问题的解题思想和解题方法，以供参考。

例1：（2013温州）如图1，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m>0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）。连接CB，CP。

（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；

（2）当m>1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？

（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。

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分析：

（1）当m=3时，将其代入抛物线的解析式，并令y=0。解方程得到的非0解就是抛物线与x轴的另一交点A的横坐标。然后，根据抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴方程，进而即可得出BC的长；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图2）并连接AC。由于已知CA⊥CP，直线PM⊥x轴，可得∠ACP=∠BCH=90°。然后就可以根据已知条件证明△ACH∽△PCB，进而根據相似的性质得到：■=■。然后根据已知条件分别用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，并将这些含有m的代数式代入比例式，计算可得出m的值；

（3）存在。本题要分两种情况进行分别讨论，①当m>1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1；

②当0

解：（1）当m=3时，y=-x2+6x

令y=0得，-x2+6x=0

则x1=0，x2=6

所以A（6，0）

当x=1时，代入抛物线解析式得y=5

所以 B（1，5）

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图2）并连接AC。

因为∠ACP=∠BCH=90°，所以∠ACH=∠PCB

又因为∠AHC=∠PBC=90°，所以，△ACH∽△PCB，则■=■

∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m>1，

又∵B，C关于对称轴对称，∴BC=2（m-1）

∵点B（1，2m-1），点P（1，m），∴BP=m-1

又∵点A（2m，0），点C（2m-1，2m-1）

∴H（2m-1，0），∴AH=1，CH=2m-1，

∴■=■，∴m=■

（3）∵B，C不重合，∴m≠1

①当m>1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1

（i）若E点在x轴上（如图2）

∵∠CPE=90°，

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，

∴根据三角形全等证得△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，

∴代入得2（m-1）=m，

∴可求得m=2，此时点E的坐标是（2，0）；

（ii）若点E在y轴上（如图3），

过点P作PN⊥y轴于点N。

∵∠NPB=90°

∴∠NPE+∠EPB=∠CPB+∠BPE=90°，PC=EP

∴△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴m-1=1，

∴m=2，

此时点E的坐标是（0，4）；

②当0

（i）若点E在x轴上（如图4），

∵∠CPE=90°，

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，

∴根据三角形全等证得△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，

∴2（1-m）=m，

∴m=■，此时点E的坐标是（■，0）；

（ii）若点E在y轴上（如图5），

过点P作PN⊥y轴于点N，

∵∠NPB=90°

∴∠NPE+∠EPB=∠CPB+∠BPE=90°，PC=EP

∴△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴1-m=1，∴m=0（舍去），

综上所述，当m=2时，点E的坐标是（2，0）或（0，4），

当m=■时，点E的坐标是（■，0）。

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通过例题的分析与解答，我们对这种问题有了新的认识和了解，对解决抛物线与相似三角形包括全等三角形问题找到了有效的解题途径，为今后解决同类问题起到抛砖引玉的作用。

参考文献：

[1]2012 、2013年中考压轴题最后冲刺分类训练.

[2]2012 、2013年中考全国数学试题汇编.

（责编 赵建荣）