初中数学化归思想方法的教学策略研究

黄文艳

摘要：化归思想方法统领着众多数学思想方法，化归思想方法是数学中最基本的思想方法。本文阐述了化归思想的重要意义，分析其在数学教与学中的相互作用，通过具体的教学案例，将化归思想策略与教学实践相结合，分析了应用化归思想于中学数学课堂教学的效果。

关键词：化归思想方法 教学策略 案例

一、引言

数学思想方法作为一种思维工具既有利于数学的研究，又促进数学理论应用于实践。中学数学教学是为了让学生了解数学常识，培养学生基本逻辑、运算等能力，训练学生思考问题的方式方法。最重要的是思想和方法的建立，正所谓“授之以鱼，不如授之以渔”，而化归思想正是这一系列思想方法的根本。化归思想方法是数学中最基本的思想方法，它着眼于揭示联系，实现转化，在迁移转化中达到问题的规范化。其他各种思想方法大多渗透有化归思想，化归思想方法无处不在、无处不有，它既是各种思想方法的基础，又是各种思想方法的灵魂，所以化归思想方法常被称为解决问题的“常规方法”。

二、化归思想及其在中学数学教学中的作用

化归思想是指对问题做细致分析的基础上，通过对已学知识的回忆开启思维大门，借助旧知识、旧经验来处理新问题，即将未知问题化为已知问题、将较难问题化为容易问题、将繁琐问题化为简单问题以及化高维为低维、化数为形、化抽象为具体、化实际问题为数学问题的一种解题思想。

化归思想在中学数学教学中起着非常重要的作用。首先有利于教师教学层次的提高。教师自身的知识方法体系是否系统完善，决定了一个教师的教学层次，教学理论着眼点的高度，也直接影响着学生对数学的理解程度。对于数学思想的运用与研究，尤其是化归思想的运用与研究，对教师自身知识方法体系的梳理，对数学认知的提高，都起着非常重要的作用。事实上，解决任何一个数学问题的过程都是一个化归过程：复杂问题化归为简单问题，未知问题化归为已知问题，实际问题化归为常见的数学模型等等，几乎每节数学课都离不开化归思想。教师不应该单纯地灌输定理、定义、性质，就题论题，强迫学生接受自己现成的技巧、方法，应该以数学思想方法和学生已有的知识基础为出发点，揭示问题的本质与内在联系， 善于将知识中蕴含的化归思想及方法进行概括，教会学生思考问题的方法，培养学生解决问题的能力。

其次有利于促进教与学的和谐发展。要全面理解教育教学质量，不能只看中考成绩，更应该去考查学生通过中学阶段的数学学习都有哪些新思考、新变化。教学中运用化归思想方法，教会学生思考问题的方式、学习的方法，目的在于使学生走出校园后具备独立学习、持续学习的能力。

化归思想方法是解决问题最基本的方法和手段，不仅仅在数学教学和学习中有重要的意义，在学生的成长中也有十分重要的地位和价值，主要体现在以下三个方面：

1.化归思想方法有利于培养學生的创新意识。

2.化归思想方法有利于学生完善数学认知结构和提高迁移能力。

3.化归思想方法有利于发展学生的思维能力，对培养学生正确的世界观有重要作用。

三、教学策略及案例

在初中数学教学中应用化归思想方法必须讲究一定的策略。

（一）语义转化策略及案例

数学的一个显著特点就是形式化，学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言。同一个数学形式可以表示不同的语义，相同数学语义的内容也可以用不同的数学语言形式来表示。在中学数学中较为常见的语义转化有代数与几何，即“数”与“形”的语义相互转化，其实质是通过对同一数学对象进行代数释意和几何释意的互补，实现“数”与“形”的语义转换。

例1：计算■+■+■+■+……+■

此题对于初中学生来说直接用计算的方法来解，有很大困难，如果转化成找数字规律或图形规律的问题，学生计算起来既容易又快捷。

方法一：■+■=■，■+■=■，■+■=■，■+■……原式=■

方法二：如图1所示，将面积为1的长方形等分成两个面积为■的两个小长方形，再将其中一个面积为■的长方形等分成两个面积为■的小长方形……顺次等分下去，按图形提示的规律，发现所有长方形相加和为1，即■+■+■+■+……+■+■=1。

原式=■+■+■+■+……+■+■-■

=（■+■+■+■+……+■+■）-■

=1-■

■

图1

例2：小明为了求■+■+■+■+……+■的值，设计如图2所示的几何图形。请你再设计一个能求■+■+■+■+……+■的值的几何图形，画在图3中。

■

图2 图3

■

图4 图5

如果直接给出例2，学生解决起来会有难度，但是用例1做铺垫，学生已经有了“数”与“形”上的认识，例2就简单了许多。学生得到的可能的答案如图4、图5所示。

例3：计算■-■+■-■+■-■+■-■-■-■

此题一直困扰着许多初学绝对值的学生，根据|a-b|既表示a与b的差的绝对值，又表示数轴上点a到点b的距离，那么■-■就可以表示■到■的距离，所以■-■=■-■。在数学课堂教学中注意运用化归思想，通过语义转化可以使一个问题转化为一个较简单明了的问题，不仅可以提高教学效率，而且可以培养学生的数学思维能力，从而提高中学数学教与学的水平。

（二）分解策略及案例

分解就是将待解决的问题分解成几个承前启后、互相呼应的小问题或将图形分离成易于分析讨论的若干个互相契合的图形，通过对小问题或简单图形寻找化归途径，最后得到问题的解决。

例4：填空如图6所示

∵∠ADE=∠DEF

∴ ∥ （ ）

∵DE∥BC

∴ = （ ）

■

圖6

已知角的关系，证明平行，或已知平行，证明角的关系，困扰着许多学生。根据“三线八角”，从原图形中只摘出构成∠ADE和∠DEF的三条线，便可以迅速、准确地找出AC∥EF以及两个角的关系，从而得到“内错角相等，两直线平行”，如图7所示。根据“三线八角”，从原图形中只摘出三线，两条已知线段DE和BC，一条截线EF，便可以迅速、准确地找出∠DEF=∠BFE，从而得到“两直线平行，内错角相等”，如图8所示。或者根据“三线八角”，从原图形中只摘出三线，两条已知线段DE和BC，一条截线AB，便可以迅速、准确地找出∠AED=∠B，从而得到“两直线平行，同位角相等”，如图9所示。此方法对于初学者和学习能力差的学生效果显著。

口诀：证平行，摘三线。

■■

图9

例5：如图10，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别显D、E，BD=CD，根据“HL”可得 和 全等；根据“AAS”可得 和 全等。

根据已知条件，在复杂图形中证明三角形全等，对于普通学生来说，有一定的困难，根据已知条件和给定全等依据，在复杂图形中找三角形全等，对于多数学生则是难上加难。根据已知条件可以摘出两对三角形，如图11所示，可以准确的得到RT△BCE和RT△CBD全等，如图12所示，可以准确的得到△ADB和△AEC，效果显著。

口诀：证全等，摘图形，标已知，选判定。 ■

图10

■

图11

■

图12

例6：如图13所示，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽。（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）

■

许多学生看到图13不知所措，无从下手，如果能想到将复杂图形简单化，此题就迎刃而解了。

解：由题意转化为图14，设道路宽为x米。

根据题意，得（20-x）（32-x）=540

整理，得x2-52x+100=0

解，得x1=50（舍去），x2=2

答：道路宽为2米。

（三）特殊与一般化策略及案例

当待解决问题比较难，一时难以找到解决方法时，通常的做法是先解决它的特殊情况，然后再把这种过程推广到一般情况中，其化归过程为一般→特殊→一般，一般化是与特殊化相反的一个过程。

例7：a、b的位置如图15所示，下列各式中，计算结果为正的是（ ）

■

图15

A.b-a B.-b-（-a）

C.a-（-b） D.a-b

此题对于初一学生来说有一定难度，教学时，可以根据数轴，设a=-1，b=2分别代入四个选项，易得（A）答案是正确的。

例8：若有理数在数轴上对应的点的位置如图15所示，则化简|a+b|-a的结果是___.

根据数轴，设a=-1，b=2，代入|a+b|-a=|-1

+2|-（-1）=2=b，易得答案是B。

四、结束语

本文阐述了化归思想的重要意义，分析其在数学教与学中的相互作用，通过具体的教学案例，将化归思想策略与教学实践相结合，分析了应用化归思想于中学数学课堂教学的效果。化归思想是中学数学的基本思想之一，几乎贯穿于始终，统领着众多的数学方法，而且符合中学生的思维能力，因此，化归思想备受数学教师的青睐。在数学课堂教学中运用化归思想不仅能够提高教学效率，而且可以培养学生的数学思维能力，从而提高中学数学教与学的水平。中学数学课堂教学有意识地进行数学思想方法的教学，采取行之有效的化归思想方法的教学策略，可以推动数学教学研究，提高教师的素养，培养学生的数学创新能力，促进数学在其他领域的应用与研究。

参考文献：

[1]任爽.中学数学中化归思想的研究[D]. 天津：天津师范大学，2009.

[2]鲍怡.化归思想方法在中学数学教育中渗透的案例研究[D]. 苏州：苏州大学，2009.

[3]杨文华.化归思想方法在高中数学教学中的渗透[D].武汉：华中师范大学，2012.

（责编 赵建荣）