浅议数学归纳法中的第一步

刘春玲

数学归纳法是初等数学中重要的数学方法，它是一种证明与正整数的关的命题的一种重要方法，是一种完全归纳法。大家都知道它的证明过程有二步，总结起来就是“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”（n=k+1，及n∈N+时）。在证明过程中老师过多的强调第二步中利用归纳假设证明是关键，给学生造成一种错觉，认为第一步“证明n取n0，命题成立”容易完成。其实，第一步的证明除了起到递推基础的作用之外，还有完整数学归纳法及点化第二步证明的作用，下面从四个方面加以说明：

一、n取n0时，n0必须是正整数

例1：求证对于整数n≥0，An=11n+2+122n+1能被133整除。

证明：（1）当时n=0，A0=112+121能被133整除，当n=1时，A1=113+123能被133整除。

（2）假设当n=K（K≥1）时，Ak=11k+2+122k+1能被133整除，那么证明n=k+1时，Ak+1=11（k+1）+2+122（k+1）+1也能被133整除……

此题用数学归纳法证明时，一定要注意归纳基础是n0=1而不是n0=0。如果在（1）中不继续验证n=1命题成立，则在第二步递推时会不自觉地增加一个隐含条件n≥1，这样归纳基础与归纳递推就不是协同合作，违背数学归纳原则。

二、在证明不等式“≥”或“≤”命题中，必须考虑等号与不等号各自成立的n

例2：用数学归纳证明不等式2n+1≥n2+n+2（n∈N）

證明：（1）当n=1时，左边=22=4，右边=12+1+2=4，等号成立；当n=2时，左边=22+1=8，右边=22+2+2=8，等号成立；当n=3时，左边=23+1=16，右边=32+3+2=14，大于等号成立。

由此可知n=1或n=2时等号成立，猜想在n≥3时，2n+1﹥n2+n+2成立。则下面归纳假设n=k命题成立时，应有n=k（k≥3），即n0为n0=3而不是k≥1，n0=1。

=5/4，右边=2-1/2=3/2

而当错误地写为n=n0=2时左边=1，右边=2-1/2=3/2时，此时仍然有左<右，但这时n取n0命题成立已不是原命题成立的基础，则下面的证明其正确性就得不到保证。

四、四适当变换n0值会给第二步证明提供思路

例8：试对任意n个复数都有r1（co sθ1+i si nθ1） r2（cosθ2+isinθ2）……rn（cosθn+isinθn）=r1r2…rn[（cos（θ1+θ2+…θn）+isin（θ1+θ2+…θn））]

证明：（1）当n=1时，等式显然成立。

当n=2时有

r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）

=r1 r2 （cosθ1 cosθ2）-sinθ1sinθ2+isinθ1cosθ2+icosθ1sinθ2）

=r1r2[（cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]

（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时等号成立，

即：r1（ c o sθ1+ i s i nθ1） r2（ c o sθ2+ i s i nθ2）…rk（cosθk+isinθk）

=r1r2…rk[cos（θ1+θ2+…θk）+isin（θ1+θ2+…θk）]

则当n=k+1时，r1（cosθ1+isinθ1）r2（cosθ2+isinθ2）… rk（cosθk+isinθk）rk+1（cosθk+1+isinθk+1）

=r1r2…rk[cos（θ1+θ2+…θk）+isin（θ1+θ2+…θk）] rk+1（cosθk+1+isinθk+1）

=r1r2…rkrk+1[cos（θ1+θ2+…θk+θk+1）+isin（θ1+θ2+…θk+θk+1）]

即当n=k+1时，命题也成立，由（1）（2）可知对任意n∈N+命题都成立。

本题在证明了n=1后，又继续证明了n=2等式成立，这种起点后移简化了第二步的证明。

由以上四种情况我们可以看到对n初始值的证明，不仅仅是起递推基础的作用，它还完整数学归纳法和为第二步骤证明提供思路和方法的作用。故第一步骤的证明不但不能忽略，而更应重视第一步的证明。