例说数学概念教学与思维品质培养

乐高军

本文以《异面直线所成的角》为例，从关键环节人手，分析认知概念的心理特点，探讨科学地进行概念教学的方法和途径.

一、展示概念背景，培养思维的主动性

思维的主动性，表现为学生对数学充满热情，以学习数学为乐趣，在获得知识时有一种惬意的满足感.

导引阶段：教师与学生一起以熟悉的正方体为例，复习空间两条直线的位置关系后，请学生观察图中的几对异面直线.教师指出：从位置关系说，同为异面直线，但它们的相对位置，是否就没有区别？学生回答：有区别.教师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的.在生产实际与数学问题中，有时还需要进一步考虑它们的相对位置.这就给数学提出了一个新任务：怎样刻划异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一个什么数学量来刻划这种相对位置.

这样引入新课，揭示了异面直线所成的角出现的背景，将数学家的思维活动暴露给学生，使学生沉浸于对新知识的期盼、探求的情境之中，积极的思维活动得以触发.

二、创设求知情境，培养思维的敏捷性

思维的敏捷性表现在思考问题时，以敏锐地感知，迅速提取有效信息，进行“由此思彼”的联想，果断、简捷地解决问题.

情境设计阶段：我们知道平面几何中用数学量“距离”来刻划两平行直线间的相对位置，用数学量“角”来刻划两相交直线间的相对位置，（教师用棒针比划追问）那么用什么来刻划两异面直线的相对位置呢？揭示课题.

我们还知道两异面直线不相交，它们又确实存在角度关系，这就需要我们找到一个角以它的大小来度量异面直线所成的角的大小.为了解决这个问题，我们看一道题：

一张纸上画有两条能相交的直线a，b（但交点在纸外）.现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出a，b所成的角的大小？

通过旧知识的迁移探测问题，为新知识的形成开辟通道，进而使新旧知识得到完美的衔接.这对提高学生的数学素养，优化认知结构是非常有益的.

三、精确表述概念，培养思维的准确性

思维的准确性是指思维符合逻辑，判断准确，概念清晰启迪。

发现阶段：引导学生分析本课开始部分几对异面直线所成的角，分别可用哪两条相交直线的角（锐角或直角）来度量.至此，教师让学生自己来概括得出新概念异面直线所成角的定义，其间，对学生表述上的任何微小缺陷与不当之处，老师应诱导启发.在正式给出定义时要求语言简练、准确，符合逻辑性和科学性.

新概念的引进解决了导引中提出的问题.学生自己参与形成和表述概念的过程培养了抽象概括能力.因此，概念教学亦蕴含了丰富的培养能力、训练思维的素材，教学过程中应充分重视.

四、解剖新概念，培养思维的缜密性

思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识.

解剖概念阶段：教师提问，这角（或平行线）一定可以作出来吗？角的大小与作法有什么关系？这里提出的就是定义的合理性（即存在性和确定性问题）.

通过解决以上两个问题得到：两异面直线所成角的范围规定在（0，π12]内，那么它的大小，由异面直线本身决定，而与点O（一线的平行线与另一线的平行线的交点）的选取无关，点O可任选.一般总是将点O选在特殊位置.

这样引导学生“解剖”定义，使学生看到抽象的数学术语和符号与现实存在的具体事物和现象之间的联系，了解整个定义的结构，培养了学生思维的缜密性.

至此，两异面直线所成角的概念完全建立了，在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法.

五、运用新概念，培养思维的深刻性

思维的深刻性主要表现在理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系，准确地掌握概念的内涵及使用的条件和范围.在用概念判别命题的真伪时，能抓住问题的实质；在用概念解题时，能抓住问题的关键.

巩固深化阶段：在学生深刻理解数学概念之后，应立即引导学生运用所学概念解决“引入概念”时提出的问题（或其他问题），在运用中巩固概念.使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学的理论基础，又是进行再认识的工具.如此往复，使学生的学习过程，成为实践——认识——再实践——再认识的过程，达到培养思维深刻性的目的.

当然，应用的设计应由易到难，循序渐进，形成梯度，拾级而上，以促进学生思维的合理过渡.

例1求本课开始时的几对异面直线所成的角及距离.

启发学生寻求一题多解，不仅可以使所学知识融会贯通，还可使学生掌握多种解题方法，并学会从众多解法中，优选最佳方法.从而培养思维的灵活性和广阔性.

例2M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1，CC1的中点，求MN与AD所成的角.

思路1：过M点作MG∥BC交CC1于G，MG，MN所成的锐角（或直角）为所求.

思路2：连BC1，则BC与BC1所成的角（锐角或直角）为所求.

思路3：连BC1，AD1，则AD与AD1所成的角（锐角或直角）为所求.

这样设计至少有两个好处：其一，加深了学生对概念的理解；其二，再一次激起了学生思维的浪花.

六、分析错解成因，培养思维的批判性

思维的批判是指思维严谨而不疏漏，能准确地辨别和判断，善于觅错、纠错，以批判的眼光观察事物和审视思维的活动.

深化阶段：对数学概念的理解要防止片面性.除在运用概念时，用典型的例子从正面加深对概念的理解、巩固概念之外，还应针对某些概念的定义中有些关键性的字眼不易被学生所理解，容易被忽视；某些概念的条件比较多，学生常顾此失彼，不易全面掌握；某些概念与它的邻近概念相似，不易区别等等.采用举反例，从反面来加深学生对概念的内涵与外延的理解，培养思维的批判性.