基于稳定性的复合材料层合板铺层顺序优化

何旋等

摘 要：应用数学规划法对复合材料层合板的铺层顺序进行优化设计，以提高层合板结构的稳定性，并通过刚度等效的思想，结合铺层顺序代理模型实现优化目的。利用单层正交各向异性板的弹性模量、泊松比、剪切模量等属性模拟不同铺层顺序的层合板刚度，在此基础上，提出铺层顺序代理模型，并推导铺层顺序代理模型与刚度等效模型间的数学关系，将对离散的铺层顺序变量的优化转化为对连续变量的优化。算例中利用该优化方法求解层合板的具有最优抗失稳特性的铺层顺序，通过优化设计显著提高了层合板的稳定性。

关键词：复合材料 铺层顺序 稳定性 刚度等效 代理模型

中图分类号：TB33 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）01（c）-0075-02

复合材料因具有较高的比强度、比刚度和较强的可设计性，在航空领域得到广泛应用。复合材料层合板的铺层顺序对其失稳特性有较大影响，是复合材料结构设计的基础和关键技术。现代计算机技术的发展为数学规划法在优化设计中的的应用提供了高效、准确的计算工具，从而使数学规划法得以在优化设计中推广应用。层合板铺层顺序的设计是离散的优化问题，利用数学规划法对其进行求解具有一定的难度。理论上求解铺层顺序组合的优化方法是基于离散变量的组合优化方法，但是对于飞机结构中存在的上百层铺层的优化设计问题，组合优化设计的计算效率是一个难以克服的困难。本文考虑对层合板的刚度进行等效，利用各向异性板的弹性模量等参数模拟不同铺层顺序的层合板的刚度，再根据层合板的铺层规律，提出铺层顺序代理模型，在铺层顺序代理模型与层合板刚度等效模型二者之间建立数学关系，将离散的优化问题转化为连续的优化问题，进而采用数学规划法进行求解。

1 复合材料刚度计算模型

1.3 层合板刚度等效模型的提出

由于复合材料层合板的铺层顺序表达的非连续性，目前很难采用数学规划法对层合板结构的铺层顺序直接进行优化设计。本文将复合材料层合板的刚度等效成单层正交各向异性材料，通过调整材料的弹性模量、剪切模量和泊松比，可以使刚度等效模型反映出不同铺层顺序的层合板结构的刚度，这样就把原来的离散变量问题转化为连续变量问题，进而可以采用传统的数学规划法对铺层顺序进行优化。

在Nastran单元模型中，层合板单元的刚度矩阵包含面内、弯曲以及拉弯耦合3方面的刚度系数。由于拉弯耦合刚度的存在，层合板会出现拉弯耦合变形，这种变形较难分析，本文对层合板稳定性优化的研究采用对称的层合板铺层，这种铺层可以基本避免层合板出现拉弯耦合现象，在等效模型中可以只对层合板的面内刚度和弯曲刚度进行等效。为了能模拟层合板结构这2方面的刚度矩阵，本文将加筋板结构等效成2种正交各向异性材料模型，一种等效面内刚度，另一种等效弯曲刚度。

2 层合板铺层顺序代理模型

2.1 基本假设

为简化优化问题，提高优化过程的收敛速度，提出以下假设：（1）弯扭耦合变形比较复杂，会对层合板的稳定性分析带来一定的困难。本文为避免层合板产生弯扭耦合变形，采用对称铺层进行研究，使=0。（2）层合板的铺层设计中，应首选和比中其余项小的铺层形式，尽量避免弯扭耦合[3]，一般在层合板中采用+θ和-θ铺层集合在一起的铺层形式可以减少弯扭耦合。由于和不是影响层合板稳定性的主要因素，本文不考虑弯扭耦合对层合板稳定性的影响，认为==0。

2.2 刚度等效模型

对于复合材料的刚度等效，本文中分别构造反映面内刚度和弯曲刚度的2个等效模型，由此将得到两组等效模量。3 基于数学规划法的优化模型

3.1 设计变量

通过层合板刚度等效模型的建立，将层合板刚度等效为单层正交各向异性材料的材料属性，实现了离散变量向连续变量的转化，因此在本文的优化过程中以层合板弯曲刚度等效模型的、、、四项参数为设计变量。对于铺层顺序的反推，由于厚度和铺层比例确定的层合板具有几个极限铺层，可以首先计算几个极限铺层的铺层顺序代理模型参数，再利用优化结果计算铺层顺序代理模型参数，与极限铺层的铺层顺序代理模型参数对比来实现。

3.2 目标函数和约束条件

本文以层合板稳定性最高为目标函数。对于约束条件的创建，可以将式（9）和式（10）联立，得到关于、、、四个设计变量的一组不等式，做为优化设计中的约束条件，、、和分别表示为一个包含、、、的多项式。采用Nastran软件进行优化设计时，可以通过在.bdf文件中的DEQATN卡片栏下创建方程，并将方程与相应的响应关联来实现。

4 算例

取一长1000 mm，宽500 mm，厚度2 mm的层合板，单层材料采用T300碳纤维材料，采用0°、90°和±45°四个方向的铺层，铺层比例为0°占37.5%，90°占12.5%，±45°各占25%，铺层顺序为[45/02/-45/90/-45/0/45]s。边界条件为简支，在短边上加载的轴向压缩载荷。分析模型如图1所示。

利用Nastran软件对其进行分析，可得该层合板的平均应变为93，失稳特征值为0.48449。

根据式（7），可得正轴刚度不变量为：，，，，。根据经典层合板理论计算材料的刚度矩阵，可以得到层合板的刚度矩阵系数：，，，，，，，。将以上刚度系数代入式（4）和式（5）中，得到面内刚度和弯曲刚度等效模型中的各项参数：

利用以上参数，采用单层正交各向异性材料，分别对层合板的面内刚度和弯曲刚度进行等效，并利用Nastran软件对模型进行稳定性分析，得到等效模型的平均应变为91，失稳特征值为0.49451，其平均应变与失稳特征值与层合板的计算结果误差分别为2.2%和2.1%。可见，利用本文中的刚度等效模型对层合板的刚度进行模拟具有较高的计算精度。以、、和四个参数为设计变量，目标函数为稳定性最大，约束条件按照式（9）的方法计算，得到：

利用Nastran软件对模型进行优化，得到，，，，优化后等效模型的失稳特征值为0.5812。将优化得出的四个参数的值代入式（10）、式（12），可得=0.121，=.0.745，，。

假设不考虑复合材料铺层的工艺限制，在厚度与各铺层的比例不变的前提下，该层合板可以得到6种极限铺层方式，使得、、和四个参数分别取到最值，6种极限铺层方式如表1所示。

对照表1中的6种极限铺层，、、和的值与铺层方案2基本相符，因此得出该层合板具有最优稳定性的铺层顺序为：[（±45）2/03/90]s。将该铺层顺序回代入层合板模型，利用Nastran软件对其进行稳定性分析，得到对层合板铺层顺序优化后该层合板的失稳特征值为0.5762，与优化前相比，失稳特征值提高了9.1%。

5 结语

（1）通过调整单层正交各向异性材料的属性参数可以对等厚度的、不同铺层顺序的复合材料层合板进行刚度近似，将离散的铺层顺序变量转化为连续的材料属性变量，使数学规划法的应用更加方便。

（2）通过构建铺层顺序代理模型，可以准确的对刚度等效模型的优化结果进行铺层顺序反推。

（3）利用方法对层合板的铺层顺序进行优化设计可以有效提高层合板的稳定性。

参考文献

[1] 徐芝纶.弹性力学（上）[M].高等教育出版社，2011

[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill， Washington DC，1975.

[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures

[4] 琼斯.复合材料力学[M].上海科学技术出版社，1981：20-30.endprint

摘 要：应用数学规划法对复合材料层合板的铺层顺序进行优化设计，以提高层合板结构的稳定性，并通过刚度等效的思想，结合铺层顺序代理模型实现优化目的。利用单层正交各向异性板的弹性模量、泊松比、剪切模量等属性模拟不同铺层顺序的层合板刚度，在此基础上，提出铺层顺序代理模型，并推导铺层顺序代理模型与刚度等效模型间的数学关系，将对离散的铺层顺序变量的优化转化为对连续变量的优化。算例中利用该优化方法求解层合板的具有最优抗失稳特性的铺层顺序，通过优化设计显著提高了层合板的稳定性。

关键词：复合材料 铺层顺序 稳定性 刚度等效 代理模型

中图分类号：TB33 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）01（c）-0075-02

复合材料因具有较高的比强度、比刚度和较强的可设计性，在航空领域得到广泛应用。复合材料层合板的铺层顺序对其失稳特性有较大影响，是复合材料结构设计的基础和关键技术。现代计算机技术的发展为数学规划法在优化设计中的的应用提供了高效、准确的计算工具，从而使数学规划法得以在优化设计中推广应用。层合板铺层顺序的设计是离散的优化问题，利用数学规划法对其进行求解具有一定的难度。理论上求解铺层顺序组合的优化方法是基于离散变量的组合优化方法，但是对于飞机结构中存在的上百层铺层的优化设计问题，组合优化设计的计算效率是一个难以克服的困难。本文考虑对层合板的刚度进行等效，利用各向异性板的弹性模量等参数模拟不同铺层顺序的层合板的刚度，再根据层合板的铺层规律，提出铺层顺序代理模型，在铺层顺序代理模型与层合板刚度等效模型二者之间建立数学关系，将离散的优化问题转化为连续的优化问题，进而采用数学规划法进行求解。

1 复合材料刚度计算模型

1.3 层合板刚度等效模型的提出

由于复合材料层合板的铺层顺序表达的非连续性，目前很难采用数学规划法对层合板结构的铺层顺序直接进行优化设计。本文将复合材料层合板的刚度等效成单层正交各向异性材料，通过调整材料的弹性模量、剪切模量和泊松比，可以使刚度等效模型反映出不同铺层顺序的层合板结构的刚度，这样就把原来的离散变量问题转化为连续变量问题，进而可以采用传统的数学规划法对铺层顺序进行优化。

在Nastran单元模型中，层合板单元的刚度矩阵包含面内、弯曲以及拉弯耦合3方面的刚度系数。由于拉弯耦合刚度的存在，层合板会出现拉弯耦合变形，这种变形较难分析，本文对层合板稳定性优化的研究采用对称的层合板铺层，这种铺层可以基本避免层合板出现拉弯耦合现象，在等效模型中可以只对层合板的面内刚度和弯曲刚度进行等效。为了能模拟层合板结构这2方面的刚度矩阵，本文将加筋板结构等效成2种正交各向异性材料模型，一种等效面内刚度，另一种等效弯曲刚度。

2 层合板铺层顺序代理模型

2.1 基本假设

为简化优化问题，提高优化过程的收敛速度，提出以下假设：（1）弯扭耦合变形比较复杂，会对层合板的稳定性分析带来一定的困难。本文为避免层合板产生弯扭耦合变形，采用对称铺层进行研究，使=0。（2）层合板的铺层设计中，应首选和比中其余项小的铺层形式，尽量避免弯扭耦合[3]，一般在层合板中采用+θ和-θ铺层集合在一起的铺层形式可以减少弯扭耦合。由于和不是影响层合板稳定性的主要因素，本文不考虑弯扭耦合对层合板稳定性的影响，认为==0。

2.2 刚度等效模型

对于复合材料的刚度等效，本文中分别构造反映面内刚度和弯曲刚度的2个等效模型，由此将得到两组等效模量。3 基于数学规划法的优化模型

3.1 设计变量

通过层合板刚度等效模型的建立，将层合板刚度等效为单层正交各向异性材料的材料属性，实现了离散变量向连续变量的转化，因此在本文的优化过程中以层合板弯曲刚度等效模型的、、、四项参数为设计变量。对于铺层顺序的反推，由于厚度和铺层比例确定的层合板具有几个极限铺层，可以首先计算几个极限铺层的铺层顺序代理模型参数，再利用优化结果计算铺层顺序代理模型参数，与极限铺层的铺层顺序代理模型参数对比来实现。

3.2 目标函数和约束条件

本文以层合板稳定性最高为目标函数。对于约束条件的创建，可以将式（9）和式（10）联立，得到关于、、、四个设计变量的一组不等式，做为优化设计中的约束条件，、、和分别表示为一个包含、、、的多项式。采用Nastran软件进行优化设计时，可以通过在.bdf文件中的DEQATN卡片栏下创建方程，并将方程与相应的响应关联来实现。

4 算例

取一长1000 mm，宽500 mm，厚度2 mm的层合板，单层材料采用T300碳纤维材料，采用0°、90°和±45°四个方向的铺层，铺层比例为0°占37.5%，90°占12.5%，±45°各占25%，铺层顺序为[45/02/-45/90/-45/0/45]s。边界条件为简支，在短边上加载的轴向压缩载荷。分析模型如图1所示。

利用Nastran软件对其进行分析，可得该层合板的平均应变为93，失稳特征值为0.48449。

根据式（7），可得正轴刚度不变量为：，，，，。根据经典层合板理论计算材料的刚度矩阵，可以得到层合板的刚度矩阵系数：，，，，，，，。将以上刚度系数代入式（4）和式（5）中，得到面内刚度和弯曲刚度等效模型中的各项参数：

利用以上参数，采用单层正交各向异性材料，分别对层合板的面内刚度和弯曲刚度进行等效，并利用Nastran软件对模型进行稳定性分析，得到等效模型的平均应变为91，失稳特征值为0.49451，其平均应变与失稳特征值与层合板的计算结果误差分别为2.2%和2.1%。可见，利用本文中的刚度等效模型对层合板的刚度进行模拟具有较高的计算精度。以、、和四个参数为设计变量，目标函数为稳定性最大，约束条件按照式（9）的方法计算，得到：

利用Nastran软件对模型进行优化，得到，，，，优化后等效模型的失稳特征值为0.5812。将优化得出的四个参数的值代入式（10）、式（12），可得=0.121，=.0.745，，。

假设不考虑复合材料铺层的工艺限制，在厚度与各铺层的比例不变的前提下，该层合板可以得到6种极限铺层方式，使得、、和四个参数分别取到最值，6种极限铺层方式如表1所示。

对照表1中的6种极限铺层，、、和的值与铺层方案2基本相符，因此得出该层合板具有最优稳定性的铺层顺序为：[（±45）2/03/90]s。将该铺层顺序回代入层合板模型，利用Nastran软件对其进行稳定性分析，得到对层合板铺层顺序优化后该层合板的失稳特征值为0.5762，与优化前相比，失稳特征值提高了9.1%。

5 结语

（1）通过调整单层正交各向异性材料的属性参数可以对等厚度的、不同铺层顺序的复合材料层合板进行刚度近似，将离散的铺层顺序变量转化为连续的材料属性变量，使数学规划法的应用更加方便。

（2）通过构建铺层顺序代理模型，可以准确的对刚度等效模型的优化结果进行铺层顺序反推。

（3）利用方法对层合板的铺层顺序进行优化设计可以有效提高层合板的稳定性。

参考文献

[1] 徐芝纶.弹性力学（上）[M].高等教育出版社，2011

[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill， Washington DC，1975.

[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures

[4] 琼斯.复合材料力学[M].上海科学技术出版社，1981：20-30.endprint

摘 要：应用数学规划法对复合材料层合板的铺层顺序进行优化设计，以提高层合板结构的稳定性，并通过刚度等效的思想，结合铺层顺序代理模型实现优化目的。利用单层正交各向异性板的弹性模量、泊松比、剪切模量等属性模拟不同铺层顺序的层合板刚度，在此基础上，提出铺层顺序代理模型，并推导铺层顺序代理模型与刚度等效模型间的数学关系，将对离散的铺层顺序变量的优化转化为对连续变量的优化。算例中利用该优化方法求解层合板的具有最优抗失稳特性的铺层顺序，通过优化设计显著提高了层合板的稳定性。

关键词：复合材料 铺层顺序 稳定性 刚度等效 代理模型

中图分类号：TB33 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）01（c）-0075-02

复合材料因具有较高的比强度、比刚度和较强的可设计性，在航空领域得到广泛应用。复合材料层合板的铺层顺序对其失稳特性有较大影响，是复合材料结构设计的基础和关键技术。现代计算机技术的发展为数学规划法在优化设计中的的应用提供了高效、准确的计算工具，从而使数学规划法得以在优化设计中推广应用。层合板铺层顺序的设计是离散的优化问题，利用数学规划法对其进行求解具有一定的难度。理论上求解铺层顺序组合的优化方法是基于离散变量的组合优化方法，但是对于飞机结构中存在的上百层铺层的优化设计问题，组合优化设计的计算效率是一个难以克服的困难。本文考虑对层合板的刚度进行等效，利用各向异性板的弹性模量等参数模拟不同铺层顺序的层合板的刚度，再根据层合板的铺层规律，提出铺层顺序代理模型，在铺层顺序代理模型与层合板刚度等效模型二者之间建立数学关系，将离散的优化问题转化为连续的优化问题，进而采用数学规划法进行求解。

1 复合材料刚度计算模型

1.3 层合板刚度等效模型的提出

由于复合材料层合板的铺层顺序表达的非连续性，目前很难采用数学规划法对层合板结构的铺层顺序直接进行优化设计。本文将复合材料层合板的刚度等效成单层正交各向异性材料，通过调整材料的弹性模量、剪切模量和泊松比，可以使刚度等效模型反映出不同铺层顺序的层合板结构的刚度，这样就把原来的离散变量问题转化为连续变量问题，进而可以采用传统的数学规划法对铺层顺序进行优化。

在Nastran单元模型中，层合板单元的刚度矩阵包含面内、弯曲以及拉弯耦合3方面的刚度系数。由于拉弯耦合刚度的存在，层合板会出现拉弯耦合变形，这种变形较难分析，本文对层合板稳定性优化的研究采用对称的层合板铺层，这种铺层可以基本避免层合板出现拉弯耦合现象，在等效模型中可以只对层合板的面内刚度和弯曲刚度进行等效。为了能模拟层合板结构这2方面的刚度矩阵，本文将加筋板结构等效成2种正交各向异性材料模型，一种等效面内刚度，另一种等效弯曲刚度。

2 层合板铺层顺序代理模型

2.1 基本假设

为简化优化问题，提高优化过程的收敛速度，提出以下假设：（1）弯扭耦合变形比较复杂，会对层合板的稳定性分析带来一定的困难。本文为避免层合板产生弯扭耦合变形，采用对称铺层进行研究，使=0。（2）层合板的铺层设计中，应首选和比中其余项小的铺层形式，尽量避免弯扭耦合[3]，一般在层合板中采用+θ和-θ铺层集合在一起的铺层形式可以减少弯扭耦合。由于和不是影响层合板稳定性的主要因素，本文不考虑弯扭耦合对层合板稳定性的影响，认为==0。

2.2 刚度等效模型

对于复合材料的刚度等效，本文中分别构造反映面内刚度和弯曲刚度的2个等效模型，由此将得到两组等效模量。3 基于数学规划法的优化模型

3.1 设计变量

通过层合板刚度等效模型的建立，将层合板刚度等效为单层正交各向异性材料的材料属性，实现了离散变量向连续变量的转化，因此在本文的优化过程中以层合板弯曲刚度等效模型的、、、四项参数为设计变量。对于铺层顺序的反推，由于厚度和铺层比例确定的层合板具有几个极限铺层，可以首先计算几个极限铺层的铺层顺序代理模型参数，再利用优化结果计算铺层顺序代理模型参数，与极限铺层的铺层顺序代理模型参数对比来实现。

3.2 目标函数和约束条件

本文以层合板稳定性最高为目标函数。对于约束条件的创建，可以将式（9）和式（10）联立，得到关于、、、四个设计变量的一组不等式，做为优化设计中的约束条件，、、和分别表示为一个包含、、、的多项式。采用Nastran软件进行优化设计时，可以通过在.bdf文件中的DEQATN卡片栏下创建方程，并将方程与相应的响应关联来实现。

4 算例

取一长1000 mm，宽500 mm，厚度2 mm的层合板，单层材料采用T300碳纤维材料，采用0°、90°和±45°四个方向的铺层，铺层比例为0°占37.5%，90°占12.5%，±45°各占25%，铺层顺序为[45/02/-45/90/-45/0/45]s。边界条件为简支，在短边上加载的轴向压缩载荷。分析模型如图1所示。

利用Nastran软件对其进行分析，可得该层合板的平均应变为93，失稳特征值为0.48449。

根据式（7），可得正轴刚度不变量为：，，，，。根据经典层合板理论计算材料的刚度矩阵，可以得到层合板的刚度矩阵系数：，，，，，，，。将以上刚度系数代入式（4）和式（5）中，得到面内刚度和弯曲刚度等效模型中的各项参数：

利用以上参数，采用单层正交各向异性材料，分别对层合板的面内刚度和弯曲刚度进行等效，并利用Nastran软件对模型进行稳定性分析，得到等效模型的平均应变为91，失稳特征值为0.49451，其平均应变与失稳特征值与层合板的计算结果误差分别为2.2%和2.1%。可见，利用本文中的刚度等效模型对层合板的刚度进行模拟具有较高的计算精度。以、、和四个参数为设计变量，目标函数为稳定性最大，约束条件按照式（9）的方法计算，得到：

利用Nastran软件对模型进行优化，得到，，，，优化后等效模型的失稳特征值为0.5812。将优化得出的四个参数的值代入式（10）、式（12），可得=0.121，=.0.745，，。

假设不考虑复合材料铺层的工艺限制，在厚度与各铺层的比例不变的前提下，该层合板可以得到6种极限铺层方式，使得、、和四个参数分别取到最值，6种极限铺层方式如表1所示。

对照表1中的6种极限铺层，、、和的值与铺层方案2基本相符，因此得出该层合板具有最优稳定性的铺层顺序为：[（±45）2/03/90]s。将该铺层顺序回代入层合板模型，利用Nastran软件对其进行稳定性分析，得到对层合板铺层顺序优化后该层合板的失稳特征值为0.5762，与优化前相比，失稳特征值提高了9.1%。

5 结语

（1）通过调整单层正交各向异性材料的属性参数可以对等厚度的、不同铺层顺序的复合材料层合板进行刚度近似，将离散的铺层顺序变量转化为连续的材料属性变量，使数学规划法的应用更加方便。

（2）通过构建铺层顺序代理模型，可以准确的对刚度等效模型的优化结果进行铺层顺序反推。

（3）利用方法对层合板的铺层顺序进行优化设计可以有效提高层合板的稳定性。

参考文献

[1] 徐芝纶.弹性力学（上）[M].高等教育出版社，2011

[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill， Washington DC，1975.

[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures

[4] 琼斯.复合材料力学[M].上海科学技术出版社，1981：20-30.endprint