具时滞微分方程形式的蛛网模型

贾仁伟,邹庆云



具时滞微分方程形式的蛛网模型

贾仁伟*,邹庆云

(湖南文理学院 数学与计算科学学院, 湖南 常德, 415000)

在连续时间情形下蛛网模型的微分方程形式具有一定收敛性, 但实际生活中蛛网模型中的市场价格和商品数量随时间的变化是具有时间滞后的. 本文建立了商品数量函数和商品价格函数为具时滞的微分方程蛛网模型, 讨论了解的收敛性条件, 并运用该模型分析了房地产市场, 提出了稳定房地产市场的对策.

时滞; 蛛网模型; 稳定性; 微分方程

蛛网模型考察的是商品的市场价格和商品数量随时间波动的相关规律, 其能很好地解释某些生产周期较长的商品在数量和价格之间的相互关系. 商品价格上涨将导致供给增加, 而过剩的供给又将使得商品的价格下跌, 进而使得原来该商品的生产者放弃生产该商品, 一定时间内商品数量减少, 结果使得该商品价格逐渐上升, 如此波动反复不断, 最终形成蛛网模型长时间状态下的周期性结果. 将时间离散化, 从差分方程的角度对蛛网模型理论的研究可得到很多相关的结论[1—4], 本文先由连续时间条件下微分方程蛛网模型的稳定性, 进一步建立了具时滞微分方程的蛛网模型, 讨论了解的收敛性条件, 并对结果进行了经济解释, 对调控商品市场具有一定的应用价值.

1 模型建立

考虑时滞因素对市场经济中某商品的影响, 作如下假设:

①时间是连续变量, 商品价格、商品数量均随时间连续变化, 且具有时滞.

②商品存在非人为消耗下的自然损耗、变质等情况, 此类商品在一定生产周期内约定为损坏商品.

③市场上现存商品数量是由2部分组成, 一是上个时间周期内没消耗完剩下的商品, 二是新的时间周期内生产的商品.

④商品价格的变化主要与现有待售商品的数量相关, 这由生产者生产的商品、消费者消费商品及商品自身的损耗决定.

由假设, 系统(1)此时可解释为没有商品损坏时, 任意时刻商品数量的改变量与需求量的乘积和商品价格的改变量与供给量之积相等, 相平面上供给曲线和需求曲线在平衡点处有相等的斜率, 该情形为封闭型蛛网.

2 模型敛散性的定性分析

需求量指消费者在不同的价格下所希望能够购买的同种商品的数量, 影响它的因素有多种, 若仅考虑商品数量和价格的关系, 则表现为: 商品数量稀少价格就高, 商品数量越多价格就越低, 故可以假设其函数关系为:

将式(2)、(3)代入系统(1)得到:

3 模型的解释和应用

常德市房地产的发展程度反映了该地区的经济与人民生活水平, 近几年来, 除经济适用房价格涨幅不大外, 新房和二手房价格均有较大涨幅, 但长期来看, 在国家宏观调控政策下, 房价不会出现大幅上涨, 而是缓速平稳上涨, 在一定范围内波动. 从影响房价上涨的主要因素来看, 人们不断增加的购房需求和开发商投资获利、建筑成本的增加推动了房价的上涨, 要控制房价上涨也应从这些因素来调控. 土地资源严格控制和规范出让的制度逐步形成、开发商获取利润合理性的政策监督、人们对因住房而购房的刚性需求等都会在未来的某个时期使得房价维持在一个合理的范围内.

表1是常德市江北城区2005—2012年商品房价格和待售商品房数量的数据.

表1 常德市江北城区2005—2012年商品房价格和待售商品房数量

同理, 由数据(2 120, 1 125), (4 220, 1 242), …, (7 020, 2 783)计算的供给函数为:

将式(6)、(7)代入系统(1)得:

[1] 姜启源. 数学模型[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 1993.

[2] 李伯德. 蛛网模型及其数学机理分析[J]. 兰州商学院学报, 2001, 17(5): 75—77.

[3] 王亚平. 广州市房地产价格机制研究[J]. 科技资讯, 2006(6): 147—148.

[4] 苏化梅. 微分方程形式的蛛网模型[J]. 云南大学学报, 2007, 29: 20—23.

[5] Yi TaiShan. Asymptotic Behavior of Solutions to a Class of Systems of Delay Differential Equations [J]. Acta Mathematica Sinica, English series, 2007, 23: 1375—1384.

[6] Xu Min, Chen Wei, Yi Xuejun. New generalization of the two_dimensional Bernfeld-Haddock conjecture and its proof [J]. Nonlinear Analysis, 2010, 11: 3413—3420.

The cobweb model in a time-delay differential equation form

JIA RenWei, ZOU QingYun

(College of Mathematics and Computer Science, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

The differential equation of the cobweb model has a certain convergence in the case of continuous time, but the market prices and commodity change has time-delay in real life of cobweb model. This paper established a time-delay defferential equation of the cobweb model based on the quantity and commodity price function, and which was applied the model to analyze the real estate market. Some coutermeasures for the stability of the real estate market were put forward.

time-delay; cobweb model; stability; differential equation

10.3969/j.issn.1672-6146.2014.03.002

O 175

1672-6146(2014)03-0007-04

email: 283163306@qq.com.

2014-04-11

湖南文理学院2013年大学生研究性学习和创新性实验计划项目

(责任编校:刘晓霞)