采用DGCMG的空间站扰动辨识动量管理

王 磊，范高洁，魏传锋

（中国空间技术研究院载人航天总体部，北京100094）

采用DGCMG的空间站扰动辨识动量管理

王 磊，范高洁，魏传锋

（中国空间技术研究院载人航天总体部，北京100094）

研究长期在轨空间站的动量管理问题。针对动量管理过程中力矩平衡姿态的求解与稳定性进行分析，应用李亚普诺夫方法，给出一种考虑常值姿态干扰的动量管理控制方法，使用双框架控制力矩陀螺作为姿态控制执行机构，进行动量管理控制仿真。仿真结果表明该方法控制准确、收敛快速，可以作为空间站姿态控制的工程参考。

动量管理；力矩平衡姿态；李亚普诺夫；双框架控制力矩陀螺

1 引言

空间站平台长期在轨运行，测控通信、自主导航、热控以及出舱等任务的约束要求其保持稳定的姿态。同时，重力梯度力矩、大气阻力力矩以及光压力矩等干扰将迫使空间站平台的姿态发生扰动。如果在空间站全寿命过程要求其保持精确的对地定向或其它的固定姿态，意味着将消耗大量的能源、施加持续不断的姿态保持控制，以抵消所有的干扰力矩。实际上，基于空间站平台的几何构型以及质量特性，进行一定的姿态变化可以最大限度的减少干扰力矩的影响，同时空间站绝大多数任务并不要求精确的姿态保持［1］。因此，可以对空间站进行动量管理以满足上述要求。

大型空间站一般采用控制力矩陀螺（CMG）进行姿态控制，这种动量交换装置控制的实质就是利用CMG角动量的改变吸收外界力矩对空间站的干扰，从而实现平台动量的相对稳定。理想情况下，动量管理的目的是将平台控制在力矩平衡姿态（TEA）处。因此，TEA姿态的研究成为首要问题。早在1966年，Robenon［2］假设气动力矩为零得到24种可以唯一确定平衡姿态；而文献［1］在确定TEA的分析过程中考虑了气动力矩，但假设气动力矩不随时间变化。文献［3］介绍了考虑气动干扰的力矩平衡姿态和动量平衡姿态求解，文献［4］在模型线性化的基础上进行了TEA姿态的稳定性分析，但并未针对非线性模型进行相应结论的推导。本文将分析非线性模型下TEA姿态的稳定性。

目前常用的动量管理方法建立在小角度线性化［5，6］的基础上。其思路是把空间站的运动模型在期望的力矩平衡姿态附近进行线性化，然后针对得到的线性模型进行控制器的设计。这种方法的优点是控制器设计简单、方便，但是实际应用中该方法有一定的局限性。首先，这种方法只能用于在轨正常运行的空间站。这时假设平台姿态偏离TEA并不很大，线性化后的模型可认为具有足够精度，但如果出现较大异常姿态偏差，则上述控制器不再适用。其次，由于没有精确的干扰力矩信息，TEA姿态无法准确得知，给模型线性化带来相当困难。若采用非线性方法则可克服线性控制器的上述局限。首先，非线性控制器基于系统的非线性模型进行设计，没有小角度条件的限制。其次，无需知道干扰的精确信息，就可以保证系统渐近收敛于TEA［7，8］。

本文首先讨论力矩平衡姿态的求解和稳定性分析，接着针对非线性动量管理模型给出扰动辨识动量管理控制器设计，并采用双框架控制力矩陀螺（DGCMG）作为执行机构进行仿真计算，以验证动量管理控制器设计的有效性。

2 空间站的力矩平衡姿态

动量管理的目的是使空间站保持力矩平衡姿态。

力矩平衡姿态是指无控情况下，平台所受所有外力矩作用之和为零时的姿态。这些力矩一般包括系统的惯性力矩、重力梯度力矩和环境力矩等。由于环境力矩难以确定，真正的力矩平衡姿态并不存在［2］。为讨论方便，本节假设地球和空间站构成只受中心引力的保守系统，不存在外界扰动。这种忽略环境扰动的假设并不影响分析力矩平衡姿态的力学本质。

2.1 系统平衡位置

为便于论述，首先给出用四元数表示的完整空间站姿态动力学模型［9］：

其中，ω为空间站角速度向量；ωf为空间站轨道角速度，数值为n；I为空间站惯量（不包含动量交换装置部分）；空间站姿态控制系统的执行机构（CMG）相对空间站的动量矩在本体坐标系Fb中的投影记为h；C为轨道坐标系到本体坐标转换矩阵，可记为：C=［c1，c2，c3］，其中q=［q1，q2，q3］T。

坐标转换矩阵C用四元数表示为式（2）：

不考虑干扰力矩的作用，系统平衡点的充分条件是上述各式均为零，则可得到式（3）。

上述方程称为平衡点方程。对于该方程有两点需要说明：

1）由平衡方程所满足的条件，ω=ωf，可知力矩平衡姿态需要满足空间站本体系与轨道系相对静止。由此可见，动量管理的效果就是使得空间站尽可能处于平衡位置。

2）为避免动量交换装置出现饱和奇异，空间站处于平衡姿态时总角动量h应尽可能小。考虑理想无扰情况，假设总角动量达到极限值，即h=0，将该条件以及运动学关系（1）代入平衡点方程（3），进而空间站的平衡点表达式可表示为式（4）。

上式不显含姿态项，相关的姿态关系包含在列向量c2、c3中。

2.2 平衡姿态的求解

根据坐标转换矩阵C的性质，可以把c1、c2、c3看作三个相互正交的单位向量。将c1、c2、c3所表示的抽象空间用下图的欧氏三维空间形象表出。

图1 C阵空间Fig.1 Space of matrix C

根据向量几何可知，上式左边项3n2c3×Ic3，必存在关系3n2c3×Ic3⊥c3，即3n2c3×Ic3位于由c1、c2所组成的平面∏1中。同理可得n2c2×Ic2⊥c2，即n2c3×Ic2位于c1、c3所组成的平面∏2中。由于惯量矩阵I必为正定矩阵，故而有3n2c3×I c3=n2c2×I c2=0。又因为

上式说明在平衡点处，c2、c3为惯量I的特征向量。

由力学知识可知，惯量I的特征向量的物理意义为惯性主轴相对于体坐标系的方向余弦。而根据坐标转换矩阵的定义可知，c2、c3分别为轨道坐标系相对于体坐标系的方向余弦，因此，在力矩平衡条件下必有空间站轨道坐标系与惯性主轴坐标系的各轴相互平行。对于大型空间站而言，通常假设航天器本体坐标系的各轴与惯性主轴重合，因此无扰动条件下空间站的力矩平衡姿态可以简述为“空间站本体系与轨道系的坐标轴相互平行”。由于上述两坐标系各轴均有方向，故而组合之下共有24种力矩平衡姿态。

2.3 力矩平衡姿态的稳定性

实际工程通常将当地水平当地垂直姿态（LVLH）定义为稳定的平衡姿态，这将给控制器设计带来一定的方便。但所有的24个力矩平衡姿态稳定性有所差别。下面将利用李雅普诺夫稳定性理论来讨论力矩平衡姿态的稳定性问题，然后依据平衡姿态的稳定性设计相应的控制器。

系统的广义能量积分如式（5）所示。

其中V1为相对动能函数，其表达式如式（6）所示。

其中，ωα=ω-ωf。Φ为动力学势能函数，其表达式见式（7）所示。

由于c2、c3是单位向量，因此式（8）所示关系恒成立。

设o1、o2、o3分别为空间站轨道坐标系的三轴，b1、b2、b3为空间站本体系的三轴。当且仅当o2‖bmax、o3‖bmin时等号成立，其中bmax、bmin分别为惯量最大主轴和惯量最小主轴。从而由上面的分析知，广义能量积分满足H≥0当且仅当o2‖bmax、o3‖bmin时等号成立。又对于理想约束的的保守动力学系统而言，积分函数的导数为零，即H·=0。

综上，广义能量积分H满足李雅普诺夫稳定性条件，空间站系统的平衡位置o2‖bmax、o3‖bmin在李雅普诺夫意义下稳定。

需要注意的是，平衡位置o2‖bmax、o3‖bmin实质上对应四个力矩平衡姿态，它们分别是：

由上述分析可知，整个系统存在四个稳定的平衡点。显然每个平衡点均不是全域稳定的，即每个平衡点附近必然存在一个邻域εi，使得在该邻域内，此平衡点稳定。

3 扰动情况下的动量管理

针对受常值干扰力矩的空间站，设计动量管理的扰动辨识控制律，可保证系统达到力矩平衡姿态。

3.1 非线性系统控制分析

考虑一个如式（9）所示的简单的非线性系统。

其中x为状态变量，u为控制量，d为未知常值干扰。令xe为系统的平衡状态，即满足式（10）。

存在定理：假设在平衡点xe的某一邻域内，存在一个正定函数V（x）且其导数具有如式（11）所示形式。

其中向量a仅在平衡点xe处为0，b·可写成式（12）。

设计相应的控制律使得式（13）成立。

其中Ka、Kz均为正定矩阵，且有式（14）。

则该控制律可保证系统渐近稳定。

证明：构造李雅普诺夫函数如式（15）。

其中K为一个正定矩阵。那么对该函数求导可得式（16）。

上式可整理为如式（17）所示形式：

其中X定义满足式（18）。

显然，必存在正定矩阵K使得P正定，因此有

并且充要条件为X=0，即有式（19）。

由LaSalle不变集原理［10］可得，在该控制律下，系统状态将渐近收敛于式（20）所示不变集W。

进而证明系统渐近稳定。证毕。

3.2 常值扰动下控制律设计
由于针对不同的空间站质量分布情况，广义积分的符号特性有差别，所以广义积分函数不能直接作为李雅普诺夫函数。因此，根据空间站重力梯度稳定特性，分别设计相应的动量管理控制器。
对于重力梯度稳定的空间站，控制律如式（21）所示。

其中z满足式（22）。

于是上述控制律又可改写为式（23）。

李雅普诺夫函数如式（24）所示。

对于重力梯度不稳定的空间站，控制律如式（25）～（26）所示。

同时，根据式（20）、式（22）以及式（28）可知，控制收敛后，常值干扰力矩d可由d=-Kzz估算得出。需要指出的是，实际工程中控制结果收敛往往是在期望值附近的某个精度区域内，同理，利用上式进行扰动力矩估算也收敛于实际值的附近区间，而非精确环境力矩值。因此，该方法中的扰动辨识侧重在控制计算过程中对干扰力矩的量级以及范围进行估算，进而提高控制精度和稳定性。

4 DGCMG操纵律

系统控制力矩由五平行构型DGCMG提供。

4.1 相关知识

设初始时刻外框架轴、内框架轴和转子轴两两垂直。DGCMG采用平行构型。

陀螺坐标系定义为初始时刻外框架轴为X轴，内框架轴为Z轴，Y轴由右手定则确定。同时，αi表示第i个DGCMG的内框架角，βi表示第i个DGCMG的外框架角，i=1，2，…，n。五陀螺平行构型DGCMG系统的总角动量如式（29）所示。

其中：

Hi为第i个DGCMG角动量，i=1，2，3，4，5。Hi=IwxΩi。Iwx为转子轴向惯量，Ω为转子转速。

输出控制力矩uc满足公式（30）。

4.2 操纵率设计

篇幅所限，下面简要给出DGCMG操纵律的设计思想和计算公式，详细内容可参见文献［11］。

n个DGCMG构成的系统具有2n个自由度，输出指令力矩需要三个自由度，那么系统拥有2n-3个冗余自由度。利用这些冗余自由度可以在保证指令力矩输出的前提下对框架角分布进行设计，以期获得良好的框架角分布以躲避奇异。这也正是本操纵律的设计思想。

在平行构型中，所有陀螺外框架轴平行。由式（30）可看出，外框轴方向的力矩输出只与内框架角和内框架角速度有关，而与外框架轴相垂直平面内的力矩输出由外框架角及其速度和内框架角及其速度共同决定。因此，这个控制问题可分解为一个沿外框架轴的一维输出问题和一个与之正交的二维平面输出问题。其中，一维问题用以确定内框架指令角速率，而二维平面问题用以确定外框架指令角速率，并对理想分布时的力矩输出进行补偿。具体见公式（31）。

5 采用DGCMG的动量管理仿真算例

虽然针对不同空间站质量分布情况设计了两种控制器，但其设计原理一致，而且控制方法相同，因此，仅需对其中一种控制器进行仿真验证，即可证明控制方法的正确性。这里选择对设计相对复杂的重力梯度不稳定情况的控制律进行仿真计算。

1）空间站初始条件：

空间站处于圆轨道，轨道角速率为n= 0.00675°/s；

空间站初始姿态为

（q1，q2，q3，q0）=［0.0447，0.0447，0.0447，0.997］；

空间站初始角速度为ω0=（0.001，-0.0637，0.001）T°/s。

表1 空间站仿真条件Table 1 Simulation conditions of space station

2）非线性控制器参数

3）陀螺参数

陀螺转子旋转轴方向惯量估计值为Iwx= 0.006 kg·m2，转速为n=5000 r/s。考虑常值干扰。仿真结果如图2～9所示。

图2 四元数的时间历程Fig.2 History of eular parameters

图3 陀螺角动量的时间历程Fig.3 History of anglemomentum

图4 角速度的时间历程Fig.4 History of angle rate

图5 控制力矩的时间历程Fig.5 History of torque

图2 ～图5显示在动量管理控制器的作用下，四元素与姿态角速度都在5个轨道周期内收敛至期望值，同时作为控制执行机构的DGCMG的角动量与输出力矩也在5个轨道周期内收敛至0。仿真结果一方面说明控制有效，另一方面收敛速度的一致也说明了仿真计算的正确性。需要指出的是：为证明非线性控制器的优点，空间站初始姿态距TEA姿态偏差选取较大，因此初始控制力矩值偏大，但持续时间较短，造成控制曲线的变化不明显。

图6 双框陀螺内框架角曲线Fig.6 The curve of DGCMGs'inner gimble angle

图6 ～图9显示控制力矩陀螺的内、外框架角与框架角速度在5个轨道周期内收敛至期望值。说明陀螺操纵率的正确。同时，对比控制力矩与姿态曲线可以证明陀螺输出的仿真结果与控制输出结果一致。进一步证明了控制器的有效性。最终，5只陀螺的内框架角收敛于零，外框架角在［-π，π］之间均匀分布，既体现了操纵率内框架角一致，外框角均布以躲避奇异的设计思想，又与图3最终角动量收敛于0的结果一致。

图7 双框陀螺外框架角曲线Fig.7 The curve of DGCMGs'outter gimble angle

图8 双框陀螺内框架角速度曲线Fig.8 The curve of DGCMGs'inner gimble angle rate

图9 双框陀螺外框架角速度曲线Fig.9 The curve of DGCMGs'outter gimble angle rate

6 结论

本文研究了空间站力矩平衡姿态与动量管理的问题。首先针对考虑重力梯度力矩的空间站姿态动力学模型进行力矩平衡姿态的求解以及稳定性分析。接着利用李雅普诺夫方法设计了空间站非线性扰动辨识动量管理控制器，并介绍了双框架控制力矩陀螺的操纵率设计，最后数值仿真证明动量管理控制器的设计合理、有效。可以为我国空间站的精确动量管理提供技术支持和工程参考。建议增加一句本研究成果的意义。

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M omentum M anagement and Disturbance Identification of Space Station Using DGCMG

WANG Lei，FAN Gaojie，Wei Chuanfeng
（Institute ofManned Space System Engineering，China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China）

This investigation focuses on the momentum management of a long-term orbiting space station.Firstly，the solution and its stability of Torque Equilibrium Attitude duringmomentum managementwere analyzed.Then a momentum management controller considering a constant attitude disturbance was given using Lyapunov theory.Finally themomentum management control simulation was carried out to illuminate itwith the steering law of parallelmounted DGCMG.It is proved that the control result is correctand convergent.Themomentum management controller can be applied to the attitude control of space station.

momentum management；torque equilibrium attitude；Lyapunov；double-gimbaled controlmoment gyro

V448.2

A

1674-5825（2014）04-0312-07

2014-02-12；

2014-06-27

王磊（1983-），男，博士，工程师，研究方向为航天器总体设计。E-mail：tuobalei@126.com