载人登月轨道月面可达区域分析

贺波勇，彭祺擘，沈红新，李海阳

（1.国防科学技术大学航天科学与工程学院，长沙410073；2.中国航天员科研训练中心，北京100094）

载人登月轨道月面可达区域分析

贺波勇1，彭祺擘2，沈红新1，李海阳1

（1.国防科学技术大学航天科学与工程学院，长沙410073；2.中国航天员科研训练中心，北京100094）

全月面到达是21世纪以来载人登月研究的主要目标之一。影响月面可达区域的因素有很多，而阳光入射角约束和转移轨道约束是主要因素。首先分析了不同纬度区域阳光入射角规律，其次建立了一种适于月面可达区域分析的双二体圆锥曲线拼接算法，分析了自由返回轨道和混合轨道月面可达区域，并计算了变轨策略及其速度增量关系，为未来实现载人登月月面着陆区选择提供参考。

载人登月；月面可达区域；自由返回轨道；混合轨道

1 引言

月球是地球唯一的天然卫星，载人登月是人类登陆地外天体的第一步，具有重大意义［1］。全月面到达和月面任意时刻返回是NASA（National Aeronautics and Space Administration）2004年提出的“Constellation Program”的口号，是区别于“A-pollo”工程的主要目标［2］。虽然该计划于2010年被终止，但却带来了载人登月和全月面到达研究热潮［3］。

郑爱武和周建平［4］从任务总体设计角度对载人登月轨道设计方法及其约束条件做了综述；Xi等［5］研究了载人登月任务中止轨道问题；贺波勇等［6］研究了载人登月转移轨道偏差传播机理与稳健性设计问题；Peng等［7］研究了载人登月自由返回轨道优化设计方法及特性，涉及到自由返回轨道月面可达区域有限问题；Li等［8］研究了多段自由返回轨道问题，提出了一种改善自由返回轨道月心倾角限制的有效方法；然而NASA等工程单位出于安全性和工程实践性考虑，更倾向于采用三脉冲变轨模式实现地月转移轨道近月段月球捕获［9］，如图1所示。

本文研究自由返回轨道轨道和混合轨道月面可达区域，并给出了近月段变轨速度增量与月面可达区域关系，为载人登月任务月面着陆选址等战略决策提供参考。

2 载人登月月面可达区域问题

载人登月任务设计初期，战略决策层需要根据月面着陆区、着陆时长和航天员人数等决定任务规模，而前两者是与奔月轨道和月面光照条件密切相关的。月球是自转随公转同周期的星体，月昼和月夜各约14天，月面着陆窗口决定着陆区光照条件，一般选择月昼上午着陆。

2.1 月面光照条件分析

考虑测控约束等，“Apollo”工程6次成功载人登月都选择月球正面中低纬度地区。“嫦娥三号”月球巡视车“玉兔”选择虹湾（Sinus Iridum）作为着陆区，为我国2025～2030年载人登月计划做准备［10］。本文定义阳光入射角为太阳与月表当地水平面夹角，分别以中央湾（Sinus Medii）、虹湾和月理北极地区为例，采用DE405/LE405星历表求解阳光入射角在2025年～2026年变化规律，如图2所示。可见，低纬度区域每月有两次机会阳光入射角满足着陆要求（一般要求45°±10°），分别对应月昼清晨和黄昏，中纬度区域每月有一次机会阳光入射角满足着陆要求，而高纬度地区（如极区）每年可能有一次机会阳光入射角为正值，可以持续数月。

图2 月面中央湾、虹湾和北极区域2025～2026年阳光入射角Fig.2 Sunlight incidence angle from 2025 to 2026 of Sinus M edii，Sinus Iridum and Lunar north pole

2.2 载人登月转移轨道概述

月面着陆区域不仅受月面光照约束，也要受地月转移轨道约束。早在“Apollo”工程时期，Berry［11］就提出了满足载人登月约束的轨道有两类：自由返回轨道和混合轨道。黄文德等［12-13］基于双二体假设对这两种轨道参数特性进行了分析，并验证了双二体假设模型在求解参数特性的正确性和可行性。文献［7］在采用双二体圆锥曲线拼接模型时，采用DE405/LE405星历求解日地月空间几何关系，计算结果表明，该种动力学简化方式与高精度积分结果差异极小，能快速提高计算效率。

图3 载人登月自由返回轨道和混合轨道示意图Fig.3 Sketch of free-retu rn and hybrid trajectory for manned lunar landing m ission

载人登月自由返回轨道是指地心顺行月心逆行的地月自由返回轨道［14］，采用这种轨道即使地月转移过程中推力系统失效也能无动力安全返回地球（或姿控系统参与轨控），Apollo-8，10，11，12都采用自由返回轨道。混合轨道也称基于自由返回轨道的中途变轨策略，即地月转移过程即将结束，通过1-2次轨道机动改变近月捕获时刻和状态，以满足任务目标，Apollo-13，14，15，16，17都采用混合轨道。值得一提的是，Apollo-13飞船地月转移段发生故障后，直接加速进入一条自由返回轨道，成为载人航天传奇。自由返回轨道和混合轨道如图3所示。

2.3 双二体圆锥曲线拼接算法

载人登月轨道月面可达区域分析需要大量的计算数据，因此本文采用计算速度较快的双二体圆锥曲线拼接法进行分析，日地月空间几何关系通过DE405/LE405求解。圆锥曲线拼接模型的设计参数选取有很多种方法，不同的选取方法有不同的优缺点。本文选择以下参数作为设计变量，旨在突出工程设计的直观性和计算的快速性：地月转移轨道的近地距rE，地球停泊轨道倾角iE，地月转移入轨点时刻tE，入轨点到月球影响球入口点之间的飞行时间tEA和入口点瞬时月固系的经纬度作为独立变量。

2.3.1 地月转移段

首先计算月面着陆区光照窗口，逆向计算出入轨点时刻tE，将tEA、λLA和φLA作为设计变量，则入口点瞬时白道系位置表示为式（1）。

其中，rρ=66 200 km，为月球影响球半径，入口点瞬时白道系定义见文献［7］。入口点在地心J2000坐标系中位置如式（2）所示。

其中，MInstantWhite-J2000为入口点时刻瞬时白道系到月心J2000坐标系旋转矩阵，为tA时刻星历表中月球位置。入口点在地心J2000坐标系的赤经赤纬（L，δ）满足式（3）。

根据空间几何关系，地月转移轨道升段到达月球和降段到达的升交点赤经不同

其中，sinσ=tanδ/tan iE。

根据圆锥曲线焦点准线特性，地月转移段轨道半长轴aE、偏心率eE和真近点角差θEA的关系式如式（5）所示。

消去eE，可得aE和θEA的关系式

根据Lambert定理，地月转移轨道通过入轨点和入口点的飞行时间tEA仅与轨道的半长轴aE、两点与地心的距离和rE+rEA及弦长cEA有关。又由余弦定理知，给定rE和rEA，cEA仅与θEA有关。地月转移轨道归结为已知tEA求θEA的Lambert问题。求出tEA和θEA的显示导数关系，将tEA作为设计变量，可以Newton迭代出θEA，代入式（5）、（6），即可求出地月转移段轨道的半长轴aE和偏心率eE。入口点时刻飞船在地心J2000坐标系中速度矢量为地月转移轨道半通径。式（2）和式（7）即为地月转移段轨道月球影响球入口点时刻参数。

2.3.2 月心段

2.3.3 月地返回段

在设计载人登月自由返回轨道时，还需计算月地返回段参数，判断是否满足大气层再入条件等要求。由于圆锥曲线拼接法月心飞行轨道为双曲线轨道，由对称性易知出口点参数则地心J2000坐标系中月地返回轨道参数如式（9）所示。

混合轨道是在一条自由返回轨道中途实施变轨（一般入轨1天后［11］），以同样方式在月球影响球处拼接，且判断是否能绕月，而不需计算能否自由返回轨道地球。

2.4 共面下降和上升约束

载人登月轨道月面可达范围主要取决于环月圆轨道倾角iL和升交点赤经ΩL，特别是轨道倾角iL决定了月面星下点轨迹能达到的南北纬的极值。由于环月停泊圆轨道高度一般小于200 km，月面下降和上升时间较短，考虑着陆器共面下降和上升约束，着陆区域、月面停留时长和环月圆轨道倾角关系如图4所示。

图4 共面下降和上升约束关系Fig.4 Constraint of cop lanar descend and ascend

3 自由返回轨道月面可达区域分析

本文设定常量rE=6578.137 km、iE= 20°，tE为3 Jan 2025 05：40：00.000 UTCG，将tEA、λLA和φLA作为搜索变量。约束地月转移轨道偏心率eE＜1，地月转移轨道真近点角差θEA＜π，近月距100≤rH≤1000 km，月地返回轨道近地点高度rR≤122 km，大气层边界再入角-8°≤ΘR≤-5°，月地返回轨道倾角iR＜π/2即可。采用双二体假设圆锥曲线拼接法求解结果有升段到达和降段到达两种解，该算例恰巧降段无解。

3.1 近月点共面制动月面可达区域分析

设置tEA步长为0.1 h，λLA和φLA步长为0.01 rad，得到自由返回轨道月面可达区域参数整体特性如图5所示。

可见，自由返回轨道月心瞬时白道系倾角和升交点赤经呈带状分布，倾角在170°～180°之间，即绕月段为逆行轨道。进一步转化到月固系中，星下点轨迹纬度也只能在约±20°之间（这一值会随出发窗口和近月点高度约束不同而稍有变动，最大不超过±25°）。如果考虑共面下降和上升约束，月面停留时长要求等，月面可达区域纬度限制在更低范围，且经度范围也不是全部覆盖。可见，自由返回轨道在拥有安全性同时，月面可达区域有限，这与Apollo任务时期所得结论相同［11］。

图5 自由返回轨道月面可达区域Fig.5 Reachable region of free-retu rn orbit

3.2 近月段三脉冲变轨策略月面可达区域分析

如上节所述，自由返回轨道月面可达区域有限，如果采用图1所示三脉冲变轨模式实现地月转移轨道近月段月球捕获，可以改变月心段轨道倾角，实现月面可达区域扩展。不失一般性，从月心J2000坐标系倾角172°，269 km高的双曲线轨道近月点通过月球捕获、轨道面调整和轨道圆化三次脉冲Δv1、Δv2和Δv3进行轨道面扩展。三次脉冲绝对值和Δvtotal（Δvtotal=Δv1+Δv2+Δv3）与过渡大椭圆轨道周期关系如图6所示。

图6 自由返回轨道近月段三脉冲变轨速度增量分析Fig.6 Three im pulsem aneuver near perilune of freereturn orbit

可见，采用近月段三脉冲变轨策略实现月面可达区域扩展，速度增量与过渡轨道周期关系明显。从近月段双曲线轨道共面制动成圆轨道约需要920 m/s，通过24 h周期过渡轨道远月点变轨实现月心极地圆轨道约需要1.26 km/s。而在近月点直接制动成圆轨道后变轨至月心极地圆轨道需要约3.14 km/s的速度增量，这是载人登月任务难以承受的燃料消耗。

4 混合轨道月面可达区域分析

仍以tE为3 Jan 2025 05：40：00.000 UTCG出发的一条自由返回轨道为例，求解中途一次变轨混合轨道月面可达区域特性。出发自由返回轨道参数如表1所示。

4.1 混合轨道月面可达范围分析

如图7所示，中途一次变轨后，要求近月点高度100～1000 km，到达影响球边界时间不变。混合轨道月心瞬时白道系倾角和升交点赤经呈带状分布，倾角范围明显扩展至0°～180°，星下点轨迹几乎遍布月球表面。

表1 混合轨道入轨自由返回轨道参数Tab.1 Parameters of free-return orbit before hybrid orbitmaneuver

图7 入轨24 h变轨混合轨道月面可达区域Fig.7 Reachable region of a hybrid orbitwhich maneuver at 24 h after TLI

4.2 变轨时刻与速度增量分析

如图8所示，混合轨道变轨脉冲大小与变轨时刻有明显关系，越晚变轨，脉冲越大；变轨后月心倾角和变轨脉冲大小也有一定关系，但不敏感。

图8 混合轨道变轨时间、月心轨道倾角与变轨脉冲大小Fig.8 Relation of maneuver time，lunar orbit inclination and maneuver impu lse of hybrid orbit

5 结论

总结以上内容，得出以下基本结论：

1）混合轨道和采用近月段三脉冲变轨策略的自由返回轨道均可对环月轨道的月面可达区域有效改善，采用近月段三脉冲变轨策略的自由返回轨道方案虽然速度增量消耗大于混合轨道方案，但整个地月转移段没有破坏自由返回特性，安全性高；

2）采用近月段三脉冲变轨策略的自由返回轨道，过渡轨道周期越长，速度增量消耗越少，首次近月点捕获高度越低，速度增量消耗越少，轨道面调整越少，速度增量消耗越少；

3）混合轨道变轨时间越早，速度增量消耗越少，轨道安全性越低，而环月轨道面改变量并不敏感变轨速度增量；

4）相比较于混合轨道方案几乎不改变任务时间，采用近月段三脉冲变轨策略的自由返回轨道方案增加了任务总时长，一方面增加了航天员生命安全保障系统压力和任务操作步骤，另一方面增加了任务灵活性和各个阶段窗口宽度。

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Reachable Region Analysis of Orbits for M anned Lunar Landing M ission

HE Boyong1，PENG Qibo2，SHEN Hongxin1，LIHaiyang1
（1.College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China；2.China Astronaut Research and Training Center，Beijing 100094，China）

Lunar global access is one of themain goals ofmanned lunar landingmission in the21stcentury.The sunshine incidence angle and translunar orbits are themain factors influencing the lunar reachable region，although there are many others.First，the sunshine incidence angle of different latitude regionswas analyzed.Then a double two-body conicmodel suitable for analyzing the lunar capable region was established.The reachable region of the free-return orbitand hybrid orbit was analyzed and the relationship between the orbitalmaneuver strategy and speed increase was calculated.The results can serve as a reference for manned lunar landing region selection in the future.

manned lunar landing；reachable region of lunar surface；free-return orbit；hybrid orbit

V412

A

1674-5825（2014）04-0290-06

2013-08-02；

2014-06-12

国家自然科学基金（11372345）；国家重点基础研究发展计划（2013CB733100）资助.

贺波勇（1989-），男，博士研究生，研究方向为载人登月任务分析与轨道设计。E-mail：heboyong@yeah.net