“推理”破解生活谜题

《福尔摩斯探案集》、《名侦探柯南》、《神探夏洛克》……当我们看到这些作品的时候，脑海中浮现的是神探们破案时足智多谋，神机妙算的形象，羡慕他们有洞察先机，未卜先知的本领. 其实这些神探在破案的时候，很多都是运用了数学上的推理思想来进行的. 当我们掌握了推理的各种类型与方法时，我们也能成为一个个小神探去破解生活中的各种谜题！

推理的种类很多，数学中常用的推理有归纳推理、类比推理和演绎推理三种.

一、 归纳推理

归纳推理是由特殊到一般的推理.

例1 现在的网络游戏中，有一个“吉普赛人祖传的神奇读心术”. 据说它能测算出你的内心感应. 游戏是这样的：任意选择一个两位数（或者说，从10～99之间任意选择一个数），把这个数的十位与个位相加，再把这个两位数减去这个和.

例如：你选的数是23，然后2+3=5，然后23-5=18. 在游戏的图表中找出与最后得出的数相应的图形，并把这个图形牢记心中，然后点击网页上的水晶球. 你会发现，水晶球所显示出来的图形就是你刚刚心里记下的那个图形. 水晶球让你感到它能神奇地读你的心了！你玩过这个游戏吗？到底是什么原因呢？

【解析】这实际上是一个数学游戏. 当任何一个两位数减去它的各位数字之和的时候，我们注意到个位数字相互减去了， 所以实际上是十位数字的10倍减去它的一倍，必然是十位数字的9倍，也就是说所得的数肯定是9的倍数.

设一个两位数十位是x，个位是y，则此两位数为10x+y，十位数与个位数之和为x+y，那么（10x+y）-（x+y）=9x，故此数必是9的倍数. 所以游戏的图表中，只要将所有9的倍数的对应图片都放成同一张，那么水晶球只需要显示一个图案就可以了.

类似的数学游戏是很多的，往往使用的数学知识也不复杂. 只要遇到后多分析，多思考，你也会发现这些游戏的小秘密.

例2 纸牌魔术：魔术师从一副扑克牌中抽出21张，对一位观众说：“请你默记其中一张牌.”观众看了看，记住了其中一张. 魔术师把牌洗了一通，然后在桌面上分牌. 如图1，把第一张放在图上1的位置，第二张放在2的位置……最后一张放在21的位置上，牌面均向上，摆成三组，每组7张. 此时问观众，默记的牌在哪一组. 当观众说出在某组后，魔术师分别把三组牌收拢起来，收拢时保持牌在组内的先后顺序不变，再把收拢好的三组牌叠起来拿在手中，叠的时候暗中将观众确认有默记牌的那组放在中间一层. 魔术师不再洗牌，随即开始第二次分牌. 分法如前，把第一张放在图上1的位置上，第二张放在2的位置上……然后问观众，默记的那张牌现在在哪一组. 当观众说出所在组后魔术师如前再次收拢，叠起，然后进行第三次分牌. 分好后再次问观众默记的牌在哪一组. 当观众指出所在的组后， 魔术师此时毫不犹豫地从该组中抽出一张牌来，此牌恰是观众默记的那一张. 他的表演博得一片掌声. 你知道是什么原理吗？

【解析】第一次分牌后，观众所默记的那张牌，比如A牌，可能出现在任何一组的任何位置. 然而，第二次分完后，A牌所在的位置只能是图上的8～14号之一，这是因为8～14号上的那7张牌原先是一组被魔术师事先故意地放在中间一层的缘故. 现在A牌不论被分入哪一个新组，它只是新组内中间的三张牌之一，即这组内的第三、第四或第五张. 第三次分完后，A牌的位置只能是图上的10、11、12之一了. 道理是这三个位置上的三张牌即是收拢前的A所在那组的中间的三张. 现在，由于 10、11、12号位置分别是三个组的正中间，只要观众说出A在哪一组，魔术师把该组正中的牌抽出来就是观众选择的牌.

你也可以试试表演一下这个魔术，只是在表演的时候一定要记得每次叠放时把含A牌的一组放在中间而又不要引起观众注意哦！

二、 类比推理

类比推理是从特殊到特殊的推理.

例3 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星，115岁了，哈哈！”小红纳闷，爷爷到底是多少岁？

【解析】要解决上述问题，我们不妨先来解决一个我们熟悉的数学问题.

已知：如图2，有一根木棒AB重合在数轴上，若将木棒在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为20，当B点移动到A点时，A点所对应的数为5（单位：cm）.

由此可得到木棒长________cm.

对于上述这个关于数轴的题目，我们很容易由数轴观察得知三根木棒的长是20-5=15（cm），则此木棒长为5 cm.类似地，我们可以借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，爷爷在小红那么大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为-35. 小红到爷爷那么大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为115. 可知爷爷比小红大[115-（-35）]÷3=50（岁），爷爷的年龄为115-50=65（岁）.

类比推理是在已有知识的基础上进一步发展科学的一种有效的探索方法. 科学史上很多著名的发现是借助于类比推理而获得的.

例4 皇冠问题：公元前245年，为了庆祝盛大的月亮节，西拉克斯的国王给金匠一块金子让他做一顶纯金的皇冠. 完工后，国王怀疑工匠在金冠中掺了假，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重，到底工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑. 这就是著名的皇冠问题.

【解析】这件看来似乎是不能完成的任务后来是由阿基米德完成的. 最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要领. 一天，他到澡堂洗澡，当他的身体进入浴池时，他敏锐地察觉到水位上升，由此受到启发，产生联想，把在自己进入浴池中水位上升与求皇冠重量进行类比，他突然领悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重.

他把皇冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放皇冠的盆里溢出来的水比另一盆多. 这就说明皇冠的体积比相同重量的纯金的体积大，所以证明了皇冠里掺进了其他金属.

这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗事件，因为阿基米德从中发现了浮力定律. 一直到现代，人们还在利用这个原理计算物体比重和测定船舶载重量.

例6 在太平洋某处海底深40米的地方，有一个日本的水生动物研究所，专门研究海豚、鲸鱼的生活习性. 研究所里有主任高森和三个助手清江、岛根、江山. 那里的水压相当于5个大气压.

一天，吃过午饭，三个助手穿上潜水衣，分头到海洋中去工作. 下午1点50分左右，陆地上的武滕来到研究所拜访. 一进门，他惊恐地看到高森满身血迹地躺在地上，已经死去. 警察到现场调查，发现高森是被人枪杀的，作案时间在1点左右，据分析，凶手就是这三个助手之一. 可是三个助手都说自己在12点40分左右就离开了研究所. 清江说：“我离开后大约游了15分钟，来到一艘沉船附近，观察一群海豚. ”岛根说：“我同往常一样到离这里10分钟路程的海底火山那儿去了. 回来时在一点左右，看见清江在沉船旁边. ”江山说：“我离开研究所后，就游上陆地，到地面时大约12点55分. 当时増川小姐在陆地办公室里，我俩一直聊天. ”増川小姐证明江山一点钟左右确实在办公室里.

听了三个助手的话，警察说：“你们之中有一个说谎者，他隐瞒了枪杀高森的罪行. ”

你能推理出谁是说谎者和谁是枪杀高森的凶手吗？

【解析】江山是说谎者，他也是枪杀高森的凶手. 因为研究所在水下40米的地方，大约有5个大气压，要想从这样的深度游向地面，必须在中途休息好几次，使身体逐渐适应压力的改变. 如果只用15分钟游到地面，那么一定会患潜水病.

归纳、类比和演绎，是数学中常用的推理方法，在解决问题的过程中，它们并不是绝对分离而是相互连接、相互渗透、相互转化的. 当我们能很好地掌握各种推理方法并灵活地加以运用时，相信我们都能成为小神探去发现与破解生活中的种种谜题！

（作者单位：江苏省无锡市江南中学）