“不等式”中的思想方法

数学思想方法是数学发展的原动力，它不仅涉及数学本体的发展规律，也涉及思维过程的渗透和联系，了解相关的思想方法有助于我们将数学知识“学活”、“学懂”、“学深”. 本章中就蕴藏着一些数学思想方法，理解它们，你会透过一个全新的视角来看待你所学习的内容. 现通过以下几个例子来说明.

一、 类比思想

类比是学习数学常用的数学思想方法. 类比相关的旧知识学习新知识，会让新知识学得更易、更深、更透. 在本章的学习中多次运用类比的思想方法，如不等式的基本性质的学习类比了等式的基本性质；一元一次不等式的定义及解法类比了一元一次方程的定义及解法；列一元一次不等式解实际应用问题类比了列一元一次方程解实际应用问题等. 通过类比找出新、旧知识的共同点和不同点，在类比的过程中加以区别，这样学起来既简单又迅速，还能达到准确掌握新知识的目的.

二、 数形结合思想

求不等式的解集的过程是解数量不等关系的过程，用数轴表示不等式（组）的解集的过程是将数量不等关系图形化的过程，在此“数”与“形”要巧妙结合. 能理解“形”对于“数”的方便，你可以达到事半功倍的效果.

【点评】本题中不等式组的解集借助数轴这一“形”的工具来表示，非常方便和直观，数形结合能帮助我们准确和快速地写出不等式组的解集.

例3 解不等式：x+1≤2.

【分析】若能理解绝对值的几何意义：数轴上表示该数的点到原点的距离，那么便可将此不等式转化为-2≤x+1≤2，进而解决问题.

【点评】看似一个没有解决过的绝对值不等式，能利用数轴轻易地解决，可以看出数形结合的好处. 当然，本题也可以利用分类讨论解决.

三、 分类讨论的思想

某些特殊的不等式，看似超出了我们所学的范围，但稍加思考，就能发现可以采用分类讨论的方法解决.

【点评】本题并没有求x和y的值，而是用k表示了x+y的值，将x+y看做是一个整体解决了问题.

五、 模型思想

所有的实际问题离不开模型，不等式也是刻画现实世界的模型之一，遇到含有不等关系的实际问题时，建立不等式（组）模型，可以顺利地解决此类问题.

例7 毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母. 已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1 000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1 000份，则超过部分每份可得0.2元.

（1） 请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1 000份.

（2） 孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.

【点评】本题在解决实际问题时，把问题转化为不等式的问题来解决. 当实际问题中存在不等关系时，可根据不等关系建立不等式（组）模型，通过解不等式（组）来解决实际问题.

（作者单位：江苏省南京市二十九中教育集团初级中学）