把握核心 明晰概念

一、 定义与命题

1. 定义

对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义.

【明晰】①必须严密，通常定义中有“是”“叫”“称为”等判断词，不能使用“一些”“大概”“差不多”等含糊不清的词语；②一般不用否定判断.

如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”就属于下定义.

2. 命题

（1） 对某一件事情做出判断的句子叫做命题.

【明晰】判断是否是命题要注意两点：①是否是完整的句子；②是否做出肯定或否定的判断. 一般说来命题是带有肯定或否定语气的完整的陈述语句，疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题.

如：“连接A、B两点.”“对角线相等吗？”就不是命题. “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”就是命题.

（2） 在数学中命题一般由条件和结论两部分组成.

【明晰】①有些命题呈现出“如果……那么……”的形式，此时“如果”后面的语句就是条件，“那么”后面的语句就是结论.

如命题：“如果a-b>0，那么a>b. ”条件是a-b>0，结论是a>b.

②有些命题则需要改写成“如果……那么……”的形式后才能写出条件和结论.

如命题：“邻补角互补”. 先改写为“如果两个角是邻补角，那么这两个角互补”，然后可写出条件“两个角是邻补角”，结论为“这两个角互补”.

（3） 命题有真、假之分：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫真命题；如果条件成立，结论不一定成立，这样的命题叫做假命题.

【明晰】辨别一个命题真假的方法：①实际生活问题，实践是检验真理的唯一标准；②数学中判定一个命题是真命题，要经过推理；③要判断一个命题是假命题，只需要一个反例即可.

如：判断下列命题的真、假.

二、 证明

1. 事件的判断

观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验得到的结论常常是正确的，但是仅凭观察、操作、实验得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的.

【明晰】①观察是对客观事物所进行的一种查看体验活动，简单讲就是用眼睛采访；②操作是指人用手活动的一种行为，也是一种技能；③实验是科学研究的基本方法之一，根据科学研究的目的，尽可能地排除外界的影响，突出主要因素并利用一些专门的仪器设备，人为地变革、控制或模拟研究对象，使某一些事物（或过程）发生或再现，从而去认识自然现象、自然性质、自然规律. “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.” 检验数学结论的常用方法有如下三种：实验验证、举出反例、推理等.

如：图1中的四边形受同心圆的影响，容易把四边形的边看成是弯曲的，所以认为它不是正方形，但是可以借助于三角板等工具实际测量比较发现它是一个正方形.

再如：用一根比地球赤道长1 m的铁丝将赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙有多大？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？

【解析】设赤道周长为C，则铁丝与赤道之间的间隙为-=≈0.16（m）. 这样的间隙既能放进一颗红枣，也能放进一个拳头.

2. 证明与定理

（1） 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明.

【明晰】①证明是说明真命题的说理过程，证明过程必须做到言必有据. 证明过程通常包含几个推理过程，每个推理应包括因、果和由因得果的依据. 其中，“因”是已知事项；“果”是推得的结论；“由因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质等. ②证明过程的基本结构是：“∵……（ ），∴……（ ）. ”其中“∵”后面写推理的因，“∴”后面写推理的果，“（ ）”里面写出条件的由来或由因到果的依据理由. 由此可见，每一步推理应包括“因”“果”“理由”三部分，而且因果关系必须合理. 证明过程就是由这一步步“推理”构成的. ③推理的表述形式有三种：一因一果型；一因多果型；多因一果型. 特别是多因一果型，必须要多“因”齐全才能得出“果”. 证明就是找“果”“因”之间的“逻辑链”，一要言必有据，二要书写规范.

（2） 经过证明的真命题称为定理.

【明晰】定理一定是真命题，但真命题不一定都是定理. 定理是在研究中觉得比较重要和常用的结果，授予它定理的地位. 一般来说课本上以黑体字形式出现的文字表述都是定理.

3. 证明与图形有关的命题的一般步骤

（1） 根据题意，画出图形；

（2） 根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；

（3） 写出证明过程.

【明晰】①画出与命题有关的图形时，把求证的内容在图上标上符号. 还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表述. ②已知部分是已知事项，即把命题的题设转化为几何符号语言写在已知中；求证部分是论证的事项，即把命题的结论转化为符号语言写在求证中.

4. 定理的推论

由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论.

【明晰】定理的推论和定理一样可以作为进一步证明的依据.

如：三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

它为证明一角等于两角的和提供了重要依据.

5. 证明思路的分析方法

为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做逆向分析，可简单地概括为“执果索因”，即“拿着结果去寻找原因”.

若要证明命题：“若A成立，则D成立. ”用逆向分析思考时，其思路可如图3所示：（从下往上看）从结论开始，即从D开始往上寻求其成立的条件，假设C、C1、C2都能使D成立，再寻求有什么条件能使C、C1、C2成立，设B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C2成立，这一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪个是题设A的结果呢？检查之后，设发现B是，这样就由未知的D上溯到已知的A，因而就获得了证明的思路：D←C←B←A，即D可由C得出，C又可由B得出，B又可由已知的A得出，至此命题得证.

证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题（如定义、定理等），逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法叫做顺向综合，可简单地概括为：“由因导果”，即“由原因去推导结果”.

用顺向综合思考上述命题时，其思路可由图4所示：从已知条件开始，故从A开始推演，寻找可以到达D的思路，但由A所得的结果往往不止一个，可能有好多个. 设B、B1、B2都是A的结果，同样由B、B1、B2又可得好多结果，设由B可得C、C1，B1可得C2，B2可得C3、C4，在这些C中，只要有一个能得出D即可，思考至此便可得到：A→B→C→D这个证明思路了. 若C中还没有一个能得出D的，可如上一样，再往下寻求，直至能推理得出D为止.

两者的优缺点是：在思考上逆向分析优于顺向综合，在表达上逆向分析不如顺向综合；逆向分析利于思考，顺向综合宜于表述，在解决问题中，最好合并使用；对于一个新问题，一般先用逆向分析寻求解决，然后用顺向综合有条理地表述出来.

有道是：由因导果叫综合，执果索因是分析，综合分析齐出场，两头凑法最受益.

三、 互逆命题

1. 互逆命题

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题是另一个命题的逆命题.

【明晰】①互逆命题不是指一个命题，而是指两个命题之间的一种关系，它和互为倒数、互为相反数、互为余角、互为补角这些含义类似；②原命题与逆命题是相对的，互逆命题是指两个命题之间的某种关系，这种关系体现在条件与结论的相互交换上；③每个命题都可以将它的条件和结论互换得到它的逆命题，因而每个命题都有逆命题；④每个命题都有逆命题，但原命题正确，它的逆命题却不一定正确，原命题错误，逆命题不一定错误.

如：请写出“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题.

【解析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题. 命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“两腰上的高相等”. 将条件和结论互换时，需注意腰是等腰三角形特有的，应将“两腰上的高相等”换为“两边上的高相等”. 将条件和结论互换得逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形.

2. 举反例

举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题的例子叫做反例

【明晰】反例的列举必须符合条件，举反例时，可以用文字语言来表述，也可以用数据来说明，还可以用图形来表示.

如命题“任何角都小于其补角”的反例是“令∠A=130°，则∠A的补角∠B为50°，而∠A>∠B”.

3. 互逆命题的真假性

有些互逆命题均为真命题，如“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”；有些互逆命题一真一假，如“如果a>1，那么a2>1”和“如果a2>1，那么a>1”； 有些互逆命题均为假命题，如“锐角与钝角互为补角”.

（作者单位：江苏省无锡市江南中学）