一题“四思考” 结论真不少

在学完“三角形的特殊线段”后，关于三角形的中线，我积累了一个重要的结论：

结论1：三角形的一条中线等分此三角形的面积.

接着在练习课本第41页第11题时，我又有了好几个“思考”. 请先看第11题：

如图1，△ABC的中线AD，BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？

【分析】图中有两条中线，根据“结论1”，则有四个三角形的面积相等，即S△ABD= S△ACD=S△ABE=S△BCE=S△ABC. 那么选用哪对面积相等的三角形来解决问题呢？

思考一：选△ABD与△BCE来探究，因为△ABF在△ABD中，四边形CEFD在△BCE中，而且都含有△BDF，在计算中可以抵消.

解：∵AD，BE是△ABC的中线，

∴S△ABD=S△BCE=S△ABC.

又S△ABF=S△ABD-S△BDF，S四边形CEFD=S△BCE-

S△BDF，

∴S△ABF=S四边形CEFD.

由此，得到：

结论2：若AD、BE分别是△ABC的中线，那么S△ABF=S四边形CEFD.

思考二：继续探究，由于S△ABD=S△ACD=

S△ABE=S△BCE，那么其中每两个三角形的面积相等的组合方式就有6种，如果选用S△ABD=

S△ACD，再根据结论二，很容易发现S△BDF=

S△AEF. 有点意思！我又在想：如果不用结论二可证明“S△BDF=S△AEF”吗？

若选S△ABD=S△ABE，即S△ABF+S△BDF=S△ABF+

S△AEF. ∴S△BDF=S△AEF.

哦，我明白了，在本例中，又得到：

结论3：若AD、BE分别是△ABC的中线，那么，S△BDF=S△AEF.

思考三：如果连接CF，如图2.

根据结论1，有S△CDF=S△BDF，S△CEF=S△AEF.

根据结论3，有S△BDF=S△AEF，

∴S四边形CEFD=2S△BDF=2S△AEF.

由此可得：S△ABF=S四边形CEFD=2S△BDF=

2S△AEF.

思考四：既然S△ABF

=2S△BDF，那么，我反过来再探究，过点B作BM垂直直线AD的延长线于点M. 如图3.

则有S△ABF=AF·BM，S△BDF=DF·BM，

又S△ABF=2S△BDF.

∴AF·BM=DF·BM，

∴AF=2DF.

哇，又一个新结论出来了. 爽！就叫它结论4吧.

结论4：若△ABC的中线AD、BE交于点F，那么AF=2DF.

探究到此，我已心满意足了，一看时间，哇，夜深了，休息去，明天还要上学呢！哈哈哈……

徐老师点评：徐涵是一个十分爱动脑筋的好学生，他探究思维灵活，追问、迁移意识强，从本文即可略见一斑. 从他的这篇探究性文章看，首先，他从中线出发，发现“中线等分三角形面积”这个结论. 然后以此展开广泛而有见地的探究，得到一系列由中线推出的有效结论，为中线中涉及有关面积问题的解答提供了有力证据，很值得借鉴和推广. 希望该生继续保持探究的能力和追问意识，创作出更新、更好的作品.

（指导老师：徐金星）