感受奇异美：三角形“两角平分线”夹角的探究

练习讲评时，老师安排我讲解下面这道练习：

例1 如图1，在△ABC中，CP平分∠ACB， BP是△ABC的外角∠ABE的平分线，试分析∠P与∠A的大小关系.

我发现∠P=∠A，不过不少同学都感到很惊讶. 我感觉只叙述难说清楚，于是就在黑板上写出如下的过程：

由△BCP外角的性质得到，∠P=∠PBE-∠PCB，由△ABC外角的性质得到，∠A=∠ABE-∠ACB，结合角平分线的性质，∠PBE=∠ABE，∠PCB=∠ACB，

于是有∠P=∠A.

这样一说，大家都明白了. 老师也表示肯定，并要求我们把教材翻到第42页，课后继续研究第20题.

课后，我发现这个题目也是两角平分线夹角问题，经过分析，我发现它们也有如下规律：

例2 如图2，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，探究∠BOC与∠A的关系.

【探究】∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，而在△BOC中，∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+∠A.

例3 如图3，在△ABC中，BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的平分线，试求∠BPC与∠A的大小关系.

【探究】∠PBC+∠PCB=

（∠DBC+∠BCE）=（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=90°+∠A，于是在△BPC中，∠BPC=

90°-∠A.

原来三角形的“两角平分线”夹角与“第三个角”都存在一种规律！老师前面曾说三角形的三条内角平分线会交于一点，属于一种数学上的奇异美现象. 我想，上面三种“两角平分线”夹角的规律也是一种奇异美吧！

刘老师点评：小宇同学经历了上面的变式与探究，积累了三角形“两角平分线”夹角的规律问题，这其实是陕西师大罗增儒教授倡导的“模式识别”策略，上文的探究和小结其实就是发现和积累模式图形与性质（也有资料上称“基本图形及性质”），这样在此后的作业或考试中，面对这类模式图形就可以快速打开思路，实现问题的快速突破. 实际上，在平时的学习中，这样的变式探究及一般性规律的发现是十分重要的，只有多进行这样一题多变的训练和反思，才能走出题海，更本质地学习知识，提高数学解题能力！

（指导老师：刘东升）