谈“幂的运算”中的整体代入法

七年级下册苏科版数学教材第50页例2（2）：计算：（a3）3·（a4）3. 今天我们就从这道小计算题说起，一起探究幂的运算中整体代入求值法的使用.

一、 解题方法

解法一：（课本提供的解法）

【解析】教科书上的解法中首先运用了幂的乘方公式（am）n=amn，然后应用了同底数幂的乘法公式am·an=am+n.

解：（a3）3·（a4）3=a3×3·a4×3=a9·a12=a9+12=a21.

解法二：（学习完积的乘方后可以使用）

【解析】积的乘方公式为（ab）n=anbn，观察题干发现两部分都含有3次方，逆用公式anbn=（ab）n得：（a3）3·（a4）3=（a3·a4）3，再应用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式即可得到结果.

解：（a3）3·（a4）3=（a3·a4）3

=（a3+4）3=（a7）3=a21.

二、 整体代入法

对课本例题稍加变化有下面例题：

例1 若已知a3=2，求（a3）3·（a4）3的值.

【解析】以现有知识，已知a3=2，无法求出a的具体值，但式子化简的结果为a21，逆用幂的乘方公式（am）n=amn可得a21=a3×7=（a3）7，此时可以把a3看作一个整体，代入后即可得到结果.

解：（a3）3·（a4）3=a21=（a3）7=27=128.

除此之外本题还有其他的处理方式：

我们知道（am）n=amn，而（an）m=amn，所以（am）n=（an）m，因而（a4）3=（a3）4，原式可以变化成（a3）3·（a3）4，此时把a3看作一个整体进行同底数幂的运算可得：

（a3）3·（a3）4=（a3）3+4=（a3）7，此时再把a3=2代入即可得到答案.

解：（a3）3·（a4）3=（a3）3·（a3）4

=（a3）3+4=（a3）7=27=128.

无论用哪种方法处理例1，最终都是把a3看作一个整体进行代入求值. 像这种把一个式子看作一个整体代入求值的方法，我们称之为整体代入法.

三、 变式训练

通过第二部分的阅读，我们已经知道了什么是整体代入法，并对整体代入法有了初步的了解，下面通过变式训练来巩固对这种方法的应用.

例2 若ax=2，ay=3，求ax+y的值.

【解析】同底数幂的乘法公式为am·an=am+n，逆用公式可得：ax+y=ax·ay，把ax=2，ay=3整体代入即可得到答案6.

变式1：若ax=2，ay=3，求ax-y的值.

解：ax-y=ax÷ay=2÷3=.

变式2：若ax=2，ay=3，求a2x+3y的值.

【解析】逆用同底数幂的乘法公式可得：a2x+3y=a2x·a3y，如果求出a2x与a3y的值，问题就迎刃而解了. 逆用幂的乘方公式可得a2x=（ax）2=22=4，a3y=（ay）3=33=27，所以a2x+3y=4×27=108.

变式3：若ax=2，ay=3，求a2x-3y的值.

解：a2x-3y=a2x÷a3y=（ax）2÷（ay）3=22÷33=.

变式1与变式2是关于幂的运算的综合运用，其中不仅涉及整体代入法的处理，也考查大家对公式的熟练程度，特别是公式的逆用，要常记心头.

四、 拓展提高

例3 已知2x+3y=7，a=2，求a2x+3y的值.

【解析】有了前面的整体代入法的铺垫，同学们再解决这个问题就比较容易了，把2x+3y看作一个整体，a2x+3y=27=128.

拓展1：已知2x+3y-7=0，a=2，求a2x+3y的值.

拓展2：已知4x+6y-14=0，a=2，求a2x+3y的值.

【解析】对于拓展1，由2x+3y-7=0可以得出2x+3y=7，即转化成例3.

对于拓展2，在等式4x+6y-14=0的两边同时除以2得到2x+3y-7=0，可以得出2x+

3y=7.

如果直接呈现拓展2，题目的难度是比较大的，难题只不过是从最简单的题目变化而来，学会把复杂的题目转化为简单题目是解决问题的关键.

拓展3：已知m+n-1=0，x=5，求x2m+3n的值.

解：因为m+n-1=0，等式两边同时乘2得：2m+3n-2=0，所以2m+3n=2，所以x2m+3n=

52=25.

我们从课本上的例题出发，重点谈了整体代入法的使用，这只是幂的运算中的几个例题，在以后的学习中大家还会遇到很多的可以利用整体代入法解决的题目，同学们要注意积累经验，提高能力.

（作者单位：山东省青岛市崂山区第三中学）