浅析初中数学中的方程与不等式的应用

李志远

摘 要：初中数学方程与不等式是教学中的重要知识内容，两者都是能够有效地呈现现实生活的数学模型，是解决实际问题的重要数学工具，又是中考必考内容，在其他的章节中也有广泛的应用，它们常与应用题、函数、几何等结合起来在综合题中出现，建立方程（组）或不等式（组）模型加以解决。

关键词：初中数学；方程与不等式；应用

一、要点回顾

建立方程（组）或不等式（组）模型解决实际问题，一定先要掌握下列知识点：

（1）方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念；

（2）一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用。

（3）用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

（4）可化为一元一次方程的分式方程的解法及应用。

（5）不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集。

（6）一元一次不等式（组）的解法。

二、例题呈现

1.整式方程（组）的应用

试题1.2013年4月20日四川雅安芦山发生了7.0级地震，给当地人民带来了巨大的损失，“一方有难，八方支援”，我校全体师生积极捐款，其中九年级186班、187班、188班的学生捐款金额如表所示：

■

王老师统计时不小心把墨水滴在了其中两个班的捐款金额上，但他知道下面三条信息。

信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；

信息二：187班的捐款金额比188班的捐款金额多300元；

信息三：186班学生平均每人捐款的金额大于48元，小于51元。

请根据以上信息，帮助王老师解决下列问题。

（1）求出187班与188班的捐款金额各是多少元；

（2）求出186班的学生人数。

思路：用二元一次方程组来解决。要弄清楚①列方程（组）解实际应用题的一般步骤是什么。②如何找到能够表示题目全部含义的等量关系？③列方程（组）解决应用题有哪些常用的方法？

解答：（1）设187班的捐款金额为x元，188班的捐款金额为y元，则依题意得x+y=7700-2000x-y=300，解得，x=3000y=2700。所以187班的捐款金额为3000元，188班的捐款金额为2700元。

（2）设186班的学生人数为x人，则依题意得48x<200051x>2000，解得39■

创新思维：解决实际问题的关键是认真审题，把握题意，找出等量关系，列出方程（组）或不等式（组）。求解后再对求出的解进行验证，看是否能使实际问题有意义。

2.分式方程的应用

试题2.某超市花5000元买进新品种橙子进行试销，由于销售状况良好，超市又花11000元买进该品种橙子，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，买进橙子数量是试销时的2倍。

（1）试销时该品种橙子的进货价是每千克多少元？

（2）如果超市将该品种橙子按每千克7元定价出售，当大部分橙子售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么该超市在这两次橙子销售中共获利多少元？

思路：用可化为一元一次方程的分式方程来解决。要弄清楚①列分式方程解实际应用题的关键是什么？②列分式方程解实际应用题与列整式方程解应用题比较，要注意什么？③列分式方程解实际应用题如何对方程的解进行检验？

解答：（1）设试销时这种橙子的进货价是每千克x元，依题意可得分式方程■=2×■，解得x=5，经检验x=5是原方程的解，所以这种橙子的进货价是每千克5元。

（2）试销时买进橙子的数量为■=1000（千克），则第二次买进橙子的数量为2000千克。赢利为2600×7+400×7×0.7-5000-11000=4160（元），所以在两次橙子销售中共获利4160元。

创新思维：列分式方程解应用题，应先选取等量关系，再直接或间接设未知數并列出方程，最后还需要检验（检验是否是增根，是否符合实际）。

3.不等式（组）的应用

试题3（2011湖南岳阳）.某厂有一种材料可加工甲、乙、丙三种型号机械配件240个，厂方计划由20个工人一天内辊工完成，并要求每人只加工一种配件，根据下表提供的信息，解答下列问题：

（1）设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，求y与x之间的函数关系式；

（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案；

（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值。

思路：用不等式组来解决。要弄清楚①列不等式（组）解实际应用题时要抓住哪些关键词？②列不等式（组）解实际应用题如何寻找不等关系？③如何用不等式的知识设计不同的方案？如何择最优方案？

解答：（1）由题意得16x+12y+10（20-x-y）=240，整理得y=-3x+20。（2）因为加工每种配件的人数不少于3人，所以x≥3y≥320-x-y≥3，即x≥3-3x+20≥320-x-（-3x+20）≥3，解得3≤x≤■，因为x是整数，所以x=3或4或5，因此共有三种方案：方案一：加工甲、乙、丙三种型号配件的人数分别为3人、11人、6人；方案二：加工甲、乙、丙三种型号配件的人数分别为4人、8人、8人；方案三：甲、乙、丙三种型号配件的人数分别为5人、5人、10人；

（3）方案一获得利润为：16×3×6+12×11×8+10×6×5=1644（元）；

方案二：获得利润为：16×4×6+12×8×8+10×8×5=1552（元）；

方案三：获得利润为：16×5×6+12×5×8+10×10×5=1460（元），所以应选（2）中的方案一，可获得最大利润，最大利润为1644元。

创新思维：本题是涉及实际生活中方案设计的问题，正确列出不等式组是解题的关键，在给出的问题中设计不同的方案，进而比较择优，寻找最佳方案。

总之，在学习方程与不等式知识的应用过程中，要善于建立数学模型，综合其他知识解决实际问题。

（作者单位 湖南省衡山县开云镇中心学校）

编辑 刘青梅