基于概率的由明暗恢复形状的方法研究

吴海鹏 孔凡辉 高镔 邓倩

【摘要】从明暗恢复形状（Shape-from-Shading：SFS）是利用单幅灰度图像的明暗变化恢复物体三维表面形状的技术。目前，关于SFS的研究主要集中在以图像辐照方程为基础的针对光照模型和偏微分方程求解策略的改进，而面向SFS问题的概率求解方法的研究还很少，国外一些学者虽然已开始尝试用概率方法求解此类问题，但目前还未形成比较系统的研究框架。为此，本文拟对基于概率的SFS理论和求解方法进行分析梳理，研究构建基于概率的SFS问题的理论框架体系，探索满足SFS应用需求的求解方法，以提高SFS的恢复精度。

【关键词】Shape-from-Shading;概率;表面恢复

1.引言

三维重建是计算机视觉领域中的经典问题。由图像恢复物体表面的三维形状，是指利用物体的一幅或多幅图像获得该物体表面三维形状信息的技术。图像中的明暗信息是三维形状恢复技术中非常有利用价值的线索。基于图像中明暗信息的变化，美国麻省理工学院的Horn[1]提出了Shape-from-Shading（从明暗恢复形状： SFS）技术，利用单幅图像的明暗信息，实现了物体表面三维形状信息的获取。与其它的三维重建方法相比，SFS技术不需要复杂设备，具有良好的应用前景，在生产、生活、医学、气象、遥感以及国防军事等领域均蕴藏着巨大的应用价值[2，3]。

目前的研究基本上集中在两个点上：其一，是基于真实成像条件下的SFS方法的理论研究和算法实现，研究的主要问题包括光源属性的估计，物体表面反射属性的估计;其二，是关于SFS的新的求解计算方法的研究，以提高算法计算效率和解的精度。这两个研究方向是从两个不同的角度尝试解决同一个问题——提高SFS的恢复质量。但是，直到现在还没有哪一种方法能够在速度、精度、适用性三个方面能够同时满足实际的应用需求，所以必须探索新的方法和途径，以图进一步使SFS的恢复质量得到提升。

2.概率框架下的表面恢复问题

待重构的物体表面可以用基于离散图像空间的法向矢量序列来进行描述， 例如：，代表步长为的带状曲面，为带状曲面的起始表面法向矢量。于是，该带状曲面深度的离散演化形式可描述为：

其中，为根据表面法向矢量计算当前位置深度的计算函数，为调节因子。于是，表面形态的动态演化过程就由表面法向矢量来决定。在这一框架之下，算法的目标就是利用演化寻找一个表面法向序列，在条件先验概率和条件先验观测概率（似然概率）（为图像中的明暗信息）的基础上，实现对表面形态的最优估计，并最终获得表面的相对深度信息。

我们假设表面法向矢量的动态演化过程构成一个马尔科夫链，所以，

即，下一步演化的表面法向矢量只依赖与它的前一个状态，而与历史状态无关。

2.1 表面法向量概率分布模型

基于概率的SFS，实际上就是在概率的框架之下来确定物体的表面形态，公式的形式化描述如下：

这里，代表图像平面位置所对应的表面法向矢量，代表该位置的灰度（亮度值）信息，代表表面法向矢量的后验概率，代表灰度值的似然概率，代表该位置的表面法向矢量的先验概率，这里我们把它称为正则概率。

根据上面描述的概率公式，由贝叶斯原理可知待求解的表面法向矢量就是满足后验概率最大时的值。于是，问题就可以转化为如何求后验分布。可以注意到，的后验概率由似然概率、先验概率和正则概率来决定。其中，似然概率已经得到了比较充分的研究，在不同的光照模型下提出了一些常用的经典分布，比如Bechmann分布，高斯分布等。另外，对于正则概率，因为我们是在未知任何测量信息的情况下进行概率模型的构建，所以，我们可以在隐马尔科夫模型的条件下用如下的公式进行简化计算：

2.2 概率模型下SFS求解方法

图像数据本身由于环境光照及采集噪声的影响，会体现出显著的不稳定性，为此，表面法向矢量表现为与明暗信息变化密切相关的随机过程。所以，利用概率的方法实现SFS才有可能克服数据本身的不稳定性影响，从而提高表面恢复的准确性。在求解概率问题中，粒子滤波是一种蒙特卡洛模拟方法，通过离散采样完成概率的分布计算，适用于非高斯、非线性条件下的概率计算问题。粒子滤波器的基本思想是蒙特卡洛模拟，其中系统状态的后验分布由一组带有权重的离散采样来表达。

粒子滤波算法主要涉及到三步：首先是采样阶段，其中一组新的粒子从提议分布中采样出来，再根据观测密度和贝叶斯定理计算各个粒子新的权重;然后输出系统的状态均值、协方差或更高阶的矩;最后对这组粒子重新采样以保证权重均匀分布。在条件概率密度传播算法的采样阶段，提议分布取为状态转移先验概率密度函数。

采用粒子滤波算法获取表面法向矢量的后验概率分布，出于以下三个方面的考虑：

（1）粒子滤波本身因为采用离散随机采样的思想，对噪声的抑制能力较强。

（2）基于粒子滤波的表面生成和演化的过程中记录了表面形态演化的历史信息，有利于实现全局优化。

（3）粒子滤波由于其基本的计算过程均是以单个粒子为计算单位，所以易于在GPU和多核计算机上实现并行计算，从而可以有效地提高SFS的计算效率。

3.结束语

本文对基于概率的表面形态恢复方法进行了比较系统的阐述，认真分析了基于概率的SFS研究中的若干个重要的问题，并提出了基本的解决思路和研究途径。

参考文献

[1]Horn B K P.Shape from shading：a method obtaining the shape of a smooth opaque object from one view[D].Massachusetts：MIT，1970.

[2]郝平.基于图像灰度的自由曲面重构算法研究[D].大连理工大学，2005.

[3]杨磊，韩九强.一种含有镜面反射由明暗恢复形状的新算法[J].西安交通大学学报，2007，41（4）：435-438.

本课题得到黑龙江省自然科学基金（编号：F201118，F201248）;黑龙江省教育厅项目（编号：12511393，12531485）及黑龙江大学数据库与并行计算重点实验室开放项目资助。

作者简介：吴海鹏（1976—），男，主要研究方向：计算机视觉，无损检测。