三角函数最值问题的常见类型

黄发龙

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0155-02

有关三角函数值域的问题一直以来都是学业水平测试和高考的重点、热点。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

类型一：y=asinx+bcosx+c型的函数

特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。可设cosφ=■，sinφ=■逆用和角公式化为：一次函数型y= ■ sin（x+φ）+c，其中tanφ=■ 。

例1.求函数f（x） =sinx+■cosx在R上的最大值。

解：∵ f（x）=sinx+■cosx=2（sinx·■+cosx·■）=2（sinx· cos■+cosx·sin■）=2sin（x+■）

∴当sin（x+■）=1时，f（x）最大值是2。

类型二：y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d型的函数

特点是含有sinx，cosx的二次式，处理方式是先逆用二倍角公式降幂，再化归为类型一的形式来解。

例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。

解：∵y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x

=1+sin2x+1+cos2x=2+■sin（2x+■）

∴当sin（2x+■）=-1时，y取最小值2-■，此时x的集合{x|x=kπ-■， k∈Z}。

类型三：y=asin2x+bcosx+c型的函数

特点是含有sinx，cosx并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再利用换元化归为一元二次函数在区间上的值域问题，注意定义域对值域的限制。

例3.求函数y=-3cos2x-4sinx+2，x∈■，■的值域。

解：∵y=-3cos2x-4sinx+2=3sin2x-4sinx-1=3（sinx-■）2-■

令sinx=t，由x∈■，■，得t∈■，1∴y=3（t-■）2-■，t∈■，1

∴当t=■时，ymin=-■；当t=1时，ymax=-2故函数的值域为-■，-2。

类型四：含有sinx与cosx的和与积型的函数式

特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子，处理方式是应用（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx进行转化，变成二次函数的问题。

例4.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

解：令sinx+cosx=t（-■≤t≤■），则1+2sinxcosx=t2，所以2sinxcosx=t2-1，故y=t2-1+t=（t+■）2-■根据二次函数的图像，解出y的最大值是1+■。

类型五：y=■或y=■型的函数

特点是一个分式，分子、分母分别含有正弦或余弦的一次式，或分子、分母分别含有正弦、余弦的一次式。 处理方式①是将分式化为整式，再变成类型一利用有界性求解。②是利用几何意义（斜率公式）求解。

例5.求函数y=■的最大值和最小值。

解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y， 即sin（x+φ）=■，∵|sin（x+φ）≤1|，∴■≤1，解出■≤y≤■。

解法2：■表示的是过点（2， 2）与点（cosx， sinx）的斜率，而点（cosx， sinx）是单位圆上的点，观察图1可以得出在直线与圆相切时取极值，解出■≤y≤■。

类型六：sinx+■型函数

特点是一个实数加该实数的倒数，处理方式①是利用均值不等式（注意等号成立条件）求解。 ②是利用函数在区间内的单调性求解。

例6.已知x∈（0，π），求函数y=sinx+■的最小值。

解：∵sinx=■，∴sinx2=2不成立。故不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。令sinx=t，（0

相信通过这一归纳整理，知道解决这类问题不仅要用到三角函数的定义域和值域、单調性、图像以及三角函数的恒等变形，还常常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识，概念性强，具有一定的综合性和灵活性。掌握这几种类型后，常见的三角函数最值问题都可以迎刃而解。