给讨厌数学的人

【摘要】通过奇妙的例题来反映数学的有趣，通过流畅的叙述来说明数学的有用，通过“有趣”和“有用”来唤醒讨厌数学的人，改变他们的数学观念，调动他们学习数学的主动性和积极性，力争使他们津津有味地去学习数学，掌握一些数学知识，提高分析问题、解决问题的能力。

【关键词】数学 兴趣 数学素养

【基金项目】编号SGH13170，高等数学教学中渗透数学人文教育的研究。

【中图分类号】O1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0128-02

数学具有这样的一些特征：数学是由命题罗列起来的抽象的体系结构，数学的推理极其困难和复杂，数学的结论绝对严密。[1]正因为如此，许多学生都会愕然愧忏：数学本身应该是最抽象最枯燥的学问，数学应该是最让人头痛和最讨厌的题海。因此在中小学甚至在大学里，爱好数学、成绩优良、又学的比较轻松的学生不是很多，反而是讨厌数学、畏惧数学、应付数学学习和考试的大有人在，还有少数人对数学避而远之，知难而退。这种现状随着教学改革的逐步推进在改善，但还是跟不上时代的节奏。

笔者设想通过对一些简单奇妙的例题做比较到位的深入及拓广分析展示，会对一些讨厌数学的人起到潜移默化的带动作用，让他们感受到数学的趣味性及数学应用的广泛性，感受到数学推理内在的优美和完善，从而能喜欢数学。

1.鸡兔同笼问题[2]

鸡兔共有20个头，68只脚，问有多少只鸡？多少只兔？

这是一道简单而又典型的题目，是一道小学生就可以做的题目。其思考过程是：如果20只都是鸡，那么是40只脚，题设是68只脚，比40只脚多了28只，这是因为有兔，有一只兔，则多两只脚，现在多了28只脚，表明有14只兔。因此，笼中有6只鸡，14只兔。

初中生可以通过列方程来求解。设有x只鸡，y只兔，则由题意，得

x+y=202x+4y=68

解得x=6，y=14。

如果别出心裁，奇思异想，想象着：鸡将一只脚抬起，兔将两只脚抬起，则鸡兔头数不变，而立在地上的脚却减了一半，为34只脚，可知兔数为34-20=14只，那么有6只鸡。

三种解题方法，意味着思维方式的进步。第三种别出心裁的解题方法，简单，有趣味，更显示出一种发散思维，一种聪慧，不像第一种方法那样绕来绕去，也不像第二种方法那样循规蹈矩。经常这样去考虑问题和处理问题，有助于数学灵感的激发，有助于创新能力的培养。

每个人都不愿意将自己的认识水平停留在小学层面上，这就需要不断的学习，提高自己的知识素养，特别是数学素养，因为数学充实着自然界各个领域。

2.具有对称美的算式[2]

■=■=111111111×111111111=12345678987654321

■=■

=11111111×11111111=123456787654321

事实上，有通式：

n个 n个 n个 n个

■=■=12…（n-1）n（n-1）…21 这里n可取1，2，3，4，5，6，7，8，9中任何一个数字。

这些算式的结果都是回文数，所谓回文数，就是在正整数中，无论从左往右读，还是从右往左读，都是一个数。有无穷多个回文数，它们从表面上看起来具有对称性。这些算式整齐、匀称、和谐、平衡、有规律，给人以美的享受，使人感到惊奇、有趣，你是不是还觉得好玩呢？如果你觉得不是很好玩，那么下面就将上面出现过的部分数字累成金字塔[3]：

用数字建造金字塔能使你感受数学既美又奇妙，蕴含于数学中的美有很多，只要善于挖掘，善于欣赏，一定有助于陶冶情操，开发智力，提高学习数学的兴趣。

牛頓二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，求二项展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题，用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”，图算比式算要简单的多，图算中的“图”指下面的无底金字塔，图的左右两边都是1，内部每一个数字都是其所在位置的肩上（上面一行）相邻两个数字之和。按此规律可以快速写出二项式（a+b）n当n为任意自然数时的展开式系数，从而写出（a+b）n展开式。

许多数学题都有多种解法，在解题时多角度去考虑，比较各种解法，总结特点和技巧，牢记比较简单的解法，这是巩固知识的很好的途径，是学好数学的有效方法之一。

3.数学对联

传说郑板桥当县令时，常微服私访，体察民情。有一年春节私访时，他看到一户人家门上贴的对联：上联是二三四五；下联是五六七八，横批是南北，便微微一笑，马上令差人取来白米和衣物赠送给那户人家。读者你可知道其中的缘由？

一副简单含蓄的数学对联可以兑来白米和衣物，这仅仅是冰山一角，数学与社会是紧密相连的，数学是大有作为的[4、5]。要想理解这一点，就读读《数学与社会》和《大有可为的数学》这两本书。

4.不可思议的等式0.999…=1

许多人认为0.999…是无限循环小数，它与自然数1就差那么一点点，它当然只能近似等于1而不能绝对等于1，这是浮浅的认识。事实上，0.999…与1只是表现形式不同，实际上是相等的，这有多种证明方法，下面给出两种证明方法。

1.1用初等方法证明（这是最常见的解法）

设a=0.999…，则

10a=9.999…=9+0.999…=9+a，

解得a=1，即0.999…=1.

1.2用严格的ε-N定义证明

设xn= ■，即将0.999…看成一个数列0.9，0.99，…，0.999…9，….有

x■-1=■-1=■+■+…+■-1=■■-1=■·■-1=■■

对于任意给定的正数ε，不妨设ε<■，要使x■-1<ε，只要■<ε，亦即只要n>lg■，故可选N=lg■，则当n>N时，有x■-1=■-1<ε，因此，■xn=1. 即就是等式0.999…=1

成立。

0.999…=1体现了无限与有限的统一。还给人以警示，做事情，不要被表面现象所迷惑，不要盲目下结论。要透过现象看本质，要多思考，多探究，多问几个为什么，这也是在培养自己的钻研精神。学习知识，缺少刻苦钻研的精神是不行的。

5.盲目起名

设a=1+2+4+8+16+32+…，则

a=1+2（1+2+4+8+16+…）=1+2a

解得a=-1，这个结果显然是错误的。反思解题过程，可知无穷级数1+2+4+8+16+…是发散的，它不可能等于一个定数，也就是说，不能用一个符号a来表示，更不能将初等数学中的代数方法（处理有限运算问题解方程的方法）套到无限运算上去，就运算法则来说，超限数的运算法则与有限数的运算法则是不完全相同的。

有限和无限是一对很有特色的数学概念，也是哲学家十分关心的概念之一，它们既相互联系，又有个自的特性，有限是无限的基础，有限又包含无限，你中有我，我中有你，有时又水火不容，其中之奥妙，正是辩证之本性，值得深思与探究。

6.算不完的题

例1 求极限■■.

这是■型不定式，适合洛必达法则要求的三个条件，但是如果用洛必达法则求，便会是下面這个样子：

■■=■■=■■=■■=…，

往复循环，不改变方法的话，永远也做不完。这时不要急于下结论，说原极限不存在。事实上，有下面的简单解法：

■■=■■=■■=1

这可谓柳暗花明又一村。做数学题就是这样，在经历了挫折、苦思冥想之后得到了正确答案，困惑厌烦顿时就会变成愉悦的心情。经过成百上千次这样的磨练，不仅仅是提高了数学素养，还会觉得学习数学，苦中有乐，其乐无穷，何乐而不为呢？

例2 求积分■cotxdx

解：用分部积分法做。

■cotxdx=■■dx=■■d（sinx）=1+■sinx·cscx·cotxdx=1+■cotxdx

即有■cotxdx=1+■cotxdx，如果就此消去等号两端的积分，则得0=1，这显然是错误的；如果继续用此方法往下做，则有

■cotxdx=n+■cotxdx，n可以是任意一个自然数，也就是说，任意一个自然数都等于零，这显然是一个谬论。这表明，对于这个积分来说，不适合用分部积分法做。

正确的解法是：

■cotxdx=■■dx=■■d（sinx）=lnsinx+C

这是何等的简单！似乎隐藏着迷途知返，回头是岸的哲理。

7.读读数学史

数学，作为人类文明的重要组成部分，有着非常悠久的历史。据文字记载，至少在5000年以前，人类就已有了数学活动。数学不仅仅是一种方法、一门艺术或一种语言，更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家等都有用，同时也影响着政治家和神学家的学说[6]。数学史，顾名思义就是研究数学科学发生、演变过程及其规律，简单地说，就是研究数学的历史。数学史是一门文理交叉学科。学习数学史，了解数学发展过程，感受数学史中的趣闻和逸事，领略中外数学家的风范，更重要的是：接受数学家们那种不畏艰难险阻，刻苦钻研，努力拼搏的精神的熏陶，同时学习古今数学思想，从数学界名人名言中了解数学的真谛。这些都有助于对数学概念、方法和原理的理解和认识的深化，无疑对提高学习数学的兴趣很有益处，而兴趣一向被认为是接受新知识、新事物的最好的老师。读读数学史，了解数学家所经过的艰苦漫长的道路，看看数学家在科学的道路上如何跌跤，又如何爬起来，如何在重重迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎的积累出他们的丰硕成果，会使你获得一些真知灼见，会增强你的自信心，会增强你的毅力，这对以后的学习和工作都有好处。

接受数学教育，不仅仅是掌握一些数学知识，而且还有助于改变人的思维模式，使之导向理性思维模式，也就是逻辑的、缜密的思维模式，也有助于改善人的审美视觉和表达方式，使人的整体素质得以提高。

数学是数字、变量、符号、规则排列的舞蹈，是点、线、面、体组合的画卷，只要用心认真去学习，做到眼动、耳动、手动、脑动并用，开开心心地学，就不会觉得很困难。

参考文献：

[1]查尔斯·桑德斯·皮尔斯，数学的本质，1870.

[2]张景中，易南轩，数学美拾趣，科学出版社，2002.

[3]邹瑾，杨国安，开心数学，哈尔滨工业大学出版社，2003.

[4]胡作玄，数学与社会，湖南教育出版社，1991.

[5]胡作玄，邓明立，大有可为的数学，河北教育出版社，2006.

[6]M·克莱因，古今数学思想（张理京，张锦炎等译）. 上海科学技术出版社，2002.

作者简介：

张慧（1959-），女，陕西人，陕西科技大学副教授，从事基础数学研究。