巧用几何画板，突破认知难关

甘永林

【摘要】立体几何是高中数学里非常重要的一个板块，它对于学生锻炼空间思维和想象能力有很大作用。但是学生在刚开始接触立体几何时，却很难下手，很难想象出具体画面。在这个时候，教师如果能够合理地利用几何画板来进行辅助教学，会达到事半功倍的效果，对于学生空间想象能力的培养也会起到立竿见影的效果。

【关键词】立体几何 几何画板 辅助教学 空间想象

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0125-02

一、实际背景

立体几何是高中数学的必修课，在课本中占有很大的篇幅，可见其重要性。从短期来看，立体几何在高考分数中占有很大的比重，学好立体几何，能使学生在高考中取得更好的成绩；从长期来看，学好立体几何，能够培养学生的空间想象能力，对于他们空间思维的锻炼也是很有好处的。

现在的学生虽然物质生活更加优越，但是缺乏动手的机会，空间感知能力较弱；另外，立体几何又来源于生活，抽象于生活，空间几何体千变万化，教师很难拥有那么丰富的教学模型。如果上课在黑板作图，一方面效果难以达到，再者也给老师带来很多不便，同时也得不到课堂的有效性。

几何画板可以轻松解决这些问题，利用几何画板，可以直观的给学生演示各种空间几何体，有效的提高课堂效率。

二、具体应用举例

下面，从几个方面来举例说明利用几何画板的优越性。

1.利用几何画板来探究空间几何体的结构特征

在人教版高中教材必修2第1章中，需要研究棱柱的结构特征，这时不妨用几何画板展示几个棱柱（图1.1）

图1.1

通过这几个图，学生就能比较容易的得到几个图的共性，也即是棱柱的结构特征。

另外，在这部分内容里，有些问题比较难以理解，学生根据棱柱的概念不好判断对错。

例1：有一个面是多边形，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？[1]

分析：这个问题的答案是不一定。对于这个问题，只需要给学生举出一个反例即可（图1.2）

解：

2.利用几何画板来探究空间几何体的表面积和体积

例2：在四面体ABCD中，AB=CD=■，BC=AD=2■，BD=AC=5，求四面体ABCD的体积。

分析：很多學生看到这个题就会按照平时的思路，画出一个四面体（图2.1）。

画完之后就难以下手，不知该怎么做，原因是学生没有认识到四面体棱之间的关系。从题目中我们可以发现，四面体两两不相交的棱棱长相等。所以可以引导学生将四面体看成是一个长方体的一部分，而四面体的棱长则是长方体各面的对角线。说到这里还是有些抽象，可以利用几何画板展示给学生（图2.2）。

解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图2.2。

设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，

则x■+y■=13，y■+z■=20，x■+z■=25，，∴x=3y=2z=4

∵VD-ABE=■DE·S△ABE=■V长方体，

同理VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=■V长方体，

∴V四面体ABCD=V长方体-4×■V长方体=■V长方体，

而V长方体=2×3×4=24，

∴V四面体ABCD=8

例3：已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为■，则正三棱柱的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为（ ）

A. S1>S2 B.S1

分析：这个题目阶梯的关键是能够画出正三棱台的直观图，通过图形来解答就较为直观，故可以利用几何画板画出一个正三棱台的直观图（图2.3），让学生直观感受。

解：斜高DE=■

=■=■

S1=■（c+c1）·DE=9■，S2=■×22+■×42=5■，∴S1>S2，选A。

3.利用几何画板探究球的体积和表面积

例4.（2012.新课标全国）平面α截球O的球面多的圆的半径为1，球心O到平面α的距离为■，则此球的体积为（ ）

A.■π B.4■π C.4■π D.6■π

分析：利用几何画板画出直观图（图3.1），再画出截面图（图3.2）会对求解有很大帮助。

图3.1 图3.2

解：如图，设截面图的圆心为O1，M为截面圆上任一点，则

OO1=■，O1M=1

∴OM=■=■，即球的半径为■

V=■π（■）3=4■π，选B

例5.已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为（ ）

A.■π B.4■π C. ■■π D.■■π

分析：利用几何画板画出该组合图的直观图（图3.3），再画出轴截面图（图3.4），即可求解。

图3.3 图3.4

解：设正方体的棱长为a，则6a2=24，解得a=2，又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2■等于球的直径，则球的半径为■，则此球的体积为■π（■）3=■π，选D。

三、实际效果测评

在利用几何画板进行辅助教学一段时间后，学生对于立体几何，空间图形的想象能力有了很大的提高，能够独立自主地画出常见空间几何体的直观图，能够对常规题型进行求解，空间思维得到有效地锻炼。并且，对学生进行了问卷调查，其调查结果如图4.1所示：

图4.1

从调查结果可以看出，利用几何画板进行辅助教学，是学生认可并喜欢的一种教学方式，能够有效的帮助学生认识空间几何体，培养空间思维能力，锻炼空间想象能力。

参考文献：

[1]王朝银.创新设计.西安：陕西人民出版社，2009-02