关于捷径的迷惑

张远南

有这样一个故事：

地理老师提问一个学生：“请指出从上海到广州距离最短的路.”学生看了看摆在讲台上的地球仪，从容答道：“是一条挖通广州与上海的直线隧道.”

众哗然！

其实，从理论上讲，这位学生说得并没有错，那是根据平面几何里的一条公理：两点之间线段最短. 不过，生活在地球上的人类，习惯于把自身的活动，限制在这个星球的表面予以考虑. 这样，在上海与广州之间的最短路线，很自然地被理解为过上海和广州之间的一段大圆弧. 这段大圆弧约长1 200 km.

球面上过两点的大圆的弧，可以用以下的办法直观地显示出来：在地球仪上拉紧过两点的一条细线，这条细线即可看为大圆的弧.

上面的故事是人为杜撰的呢，还是真有其事，现在已经无从得知. 不过，抱有上述想法的，历史上可不乏其人！

大约在20世纪初，俄国旧都彼得堡出现过一本书名很怪的小册子，叫做《彼得堡和莫斯科之间的自动地下铁道》（一本还只写三章，未完待续的幻想小说）. 作者在书中提出了一个惊人的计划：在俄国新旧两个首都之间，挖一条600 km长的隧道，这条笔直的地下通路，把俄国的两大城市连接起来. 这样，“人类便第一次有可能在笔直的道路上行走，而不必像过去那样走弯曲的路”！作者的意思是：过去的道路都是沿着弯曲的地球表面修筑的，因而都是弧形的，而他设计的隧道却是笔直的！

不过，作者写书的主要意图不在于考虑两点间线段最短，而是这样的隧道如能挖成，则任何车辆都能像单摆一样，在两个城市之间来回移动. 开头速度很慢，后来由于重力的作用，车速越来越快;接近隧道中点的地方，达到了难以置信的高速，而后逐渐减速，靠惯性行进到另外一头. 如果摩擦力可以忽略不计的话，在地球上任何两个地方之间走完全程都只需42分12秒.

图1

物理学家早就注意到光沿短路线前进的性质. 如图1，由A点射出的光线，通过l上的点C反射到B点，则由入射角等于反射角推知，C点即为线段A′B与l的交点，这里，A′是A关于直线l的对称点. 容易证明，对于l上另一点C′，必有

AC′+C′B>AC+CB.

事实上，AC+CB=A′C+CB=A′B

结论是很明显的！这表明光所走的折线ACB是从A经l到B最短的路线.

不过，严格地讲，光所走的是一条捷径，即走完全程所用时间最短的路径. 图2的情景，想必许多读者都见过：本来看不见的东西，在水中变得可见了！光线产生这种折转的原因是因为光在空气中和水中的速度不相同，这就造成了光沿一条折线走比光沿一条直线走所花的时间更少！

图2

建议读者亲自做一做下面的试验：

在光滑桌面的另一半铺上一层薄薄的绒布. 让一颗铁球由光滑面斜着滚向绒布. 这时你会看到铁球在绒布的交界处突然折转了方向，如同光线的折射一般！

上述现象发生的原因在于，铁球在光滑桌面和绒布上行进的速度不相同，而且，铁球也像光线一样，走的是一条捷径！

下面是一个有趣的问题：

如图3，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，问蜘蛛要沿怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇.

图3

显然，当把长方体的上底面及右侧面展开成平面图（图4）时，蜘蛛爬行的路线必须是线段AMG或者ANG中較短的一条. 假设AB=a，BC=b，AE=c，则由图知

AMG=

= ，

ANG=

= .

当a>c时，ANG>AMG，说明蜘蛛应当沿折线AMG爬行;当a

另一个类似的趣题：苍蝇为了防止蜘蛛的袭击，想爬过长方体所有的6个面探查一下，并尽快返回原地，则苍蝇至少要爬多少路？

这个问题的结论不太容易想到. 从长方体的展开图（图5）可以看出，苍蝇爬行的路线应当是一条过G点而又平行于图中虚线A—A的线段（为什么？请读者想一想）. 容易算出这条线段长为 （a+b+c）. 这个量与苍蝇原先所在的位置无关.

图5

很明显，对于可以展成平面的曲面，曲面上的短路程问题都可以用类似上面展开的方法加以解决. 图6和图7的圆锥曲面就是一个例子.

然而，并非所有的曲面都能展开成平面. 我们最常见的球面，其任何一个部分，都不可能毫无重叠或破裂而展成平面. 这就是无论哪一种地图，总不可避免地要产生变形的原因. 没有一点畸形的地图根本不存在！这样，当你翻开一张地图细心观察时，你便会发现一个有趣的现象：图上画的航线几乎都是一条条弧线，这才是真正的球面短程线——大圆弧线. 而图面上看起来是直的线，实际上只是保持与经线等角的斜航线.

图8

图8画出了连接非洲好望角和澳洲南部墨尔本港之间的两种航线. 看起来似乎更长的大圆航线只有5 450海里，而看起来笔直的斜航线却有6 020海里. 斜航线竟然比大圆航线长570海里，相当于多了约1 050 km. 由于地图的畸变，给人造成了错觉！