一种MIMO?OFDM系统信道估计简化方法

张朝龙+邱昕+陈杰

摘 要： 提出了一种基于MMSE准则的MIMO?OFDM系统信道估计简化方法。该方法将信道估计问题转化为TBT线性方程求解问题，然后利用快速求解算法避免了复杂的矩阵求逆和矩阵相乘，大大降低了实现复杂度。仿真结果表明，相比于传统MMSE算法，该简化算法在降低复杂度的同时仅带来微弱的性能损失。

关键词： MIMO?OFDM； 信道估计； TBT； 快速求解算法

中图分类号： TN925+.93?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）07?0001?04

A simplified method for channel estimation of MIMO?OFDM systems

ZHANG Chao?long， QIU Xin， CHEN Jie

（Communication and Multimedia SoC Lab， Microelectronics Institute of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100029， China）

Abstract： A simplified channel of estimation method for MIMO?OFDM（multiple input multiple output ? orthogonal frequency division multiplexing） systems based on MMSE（minimum mean square error） criteria is proposed， which translated the problem of channel estimation into the finding out the solution of TBT（Toeplitz?block?Toeplitz） nonlinear equations. And then complex operation of matrix inverse and matrix multiplication can be avoided with fast solution method， which greatly reduced the computation complexity of channel estimation. Simulation results show that， compared with traditional MMSE channel estimation method， the proposed simplified method can reduce computation complexity efficiently with small performance degradation.

Keywords： MIMO?OFDM； channel estimation； TBT； fast solution method

0 引 言

现代通信系统对通信速率和带宽效率提出了更高的要求，而多输入多输出正交频分复用（MIMO?OFDM）技术能够大幅提高通信系统的数据吞吐量和可靠性[1]，并且与空时码的结合可以利用空时码较高的码效率和良好性能进一步的改善MIMO?OFDM系统的效率和性能[2]，所以编码MIMO?OFDM系统受到广泛的关注。IEEE 802.16标准已经把MIMO?OFDM 作为实现其物理层的核心技术[3]。对于结合空时码编码的MIMO?OFDM系统来说，无论空时码的译码还是信道干扰抵消都与信道估计的准确度密切相关。目前信道估计技术的主流技术为基于导频的相干解调，在各种估计方法中基于最小均方误差（MMSE）准则进行的信道估计可以获得最佳性能[4]，但是复杂的矩阵求逆和矩阵乘法导致其复杂度难以接受。所以基于MMSE准则信道估计简化算法被广泛研究，但无论是降阶矩阵处理[5]还是奇异值分解（SVD）算法[6]都难以避免复杂的矩阵乘法和求逆运算，虽然可以采用迭代递归计算的方法解决信道矩阵求逆问题[7]，但是算法复杂并且收敛性难以保证。文献[8]提出了可以通过优化训练符号可以大大简化信道估计，但是对训练符号的依赖性限制了其应用范围，并且在信道变化较大情况下性能有限。文献[9]采用了一种新型的子空间信道估计方法，这种方法对于SIMO信道具有较好的效果，但是快收敛特性并不能在MIMO信道中很好的体现。

本文将MMSE信道估计算法等效为一个Toeplitz块矩阵线性系统，进而利用Toeplitz块矩阵的快速变换算法，提出了一种简化的MMSE信道估计算法，用二维FFT和简单的矩阵对应位置相除代替矩阵乘法和求逆，大大减少了实现复杂度。

1 系统及信道模型

1.1 空时编码MIMO?OFDM系统

采用空时编码具有两条分支的MIMO?OFDM系统框图如图1 所示。在发射时间[n，]二进制数据块[b[n，k]：k=0，1，2，…]经过空时编码后得到两路不同的信号[ti[n，k]：k=0，1，2，…，]其中[i=1，2]分别代表两路信号，每一路信号分别经过调制和IFFT变换构成OFDM符号流通过对应的发射天线同时送出。所以在接收端，每个接收天线上接收到的数据为两个发射天线数据经过信号后的叠加，可以表示为：

[rj[n，k]=i=12Hi，j[n，k]ti[n，k]+wj[n，k]] （1）

式中：[Hi，j[n，k]]为信道矩阵中的每个元素，代表第[i]个发射天线和第[j]个接收天线之间所对应的在时间[n]第[k]个子载波上的信道频域响应；[wj[n，k]]代表第[j]个接收天线上收到的零均值方差为[σ2n]的加性高斯白噪声，该噪声项对于不同的[n，k，j]均不相关。所以接收机的平均信噪比可以定义为：

[SNR=EH1j[n，k]2+H2j[n，k]2σ2n] （2）

即说明[H1j[n，k]2]和[H2j[n，k]2]均被视为有效信号。

图1 空时码MIMO?OFDM系统示意图

文献[2]中的空时码译码算法，其函数可以表示为：

[r[n，k]-H[n，k]t[n，k]2] （3）

式中：[?]代表求范数操作；[r[n，k]]和[H[n，k]]分别为接收到的信号向量和估计得到的信道参数矩阵，具体如下：

[r[n，k]=r1[n，k]r2[n，k]；H[n，k]=H11[n，k]H21[n，k]H12[n，k]H22[n，k]] （4）

而[t[n，k]]为估计得到的信号向量，定义为：

[t[n，k]=t1[n，k]t2[n，k]] （5）

因此，信道参数的准确估计是空时码译码和数据恢复的关键。

1.2 移动无线信道特征

移动无线信道脉冲响应的复数基带等效模型可以表示为：

[h（t，τ）=kγk（t）c（τ-τk）] （6）

式中：[τk]为第[k]径的延迟；[γk（t）]为第[k]径的复数振幅，[c（t）]为成形脉冲函数，其频率响应通常为平方根升余弦奈奎斯特滤波器。因此时间[t]上的信道频域响应可以表示为：

[H（t，f）=-∞+∞h（t，τ）e-j2πfτdτ=C（f）kγk（t）e-j2πfτk] （7）

式中[C（f）=-∞+∞c（τ）e-j2πfτdτ。]

由于接收机的移动，[γk（t）]可以建模等效为一个广义平稳窄带复数高斯过程，服从Jake功率谱且各个径独立分布。另外可以假设不同路径上的幅度具有相同的归一化时间相关函数和不同的平均功率[σ2k]。

如果OFDM系统中具有合适的循环前缀和采样时间，信道频域响应可以表示为：

[H[n，k]=H（nTf，kΔf）=l=0K0-1h[n，l]WklK] （8）

式中：[h[n，l]=h（nTf，kts）；Wk=exp（-j（2π/K）），][K]为OFDM系统中的子载波数目；[Tf]和[Δf]分别代表OFDM符号长度和子载波间隔；[ts]代表系统的采样间隔，满足[ts=1Δf。]可以得知[h[n，l]，l=0，1，…，K0-1，]为宽稳态窄带复数高斯过程。[h[n，l]]的平均功率和最大多径延迟[K0]取决于无线信道的延迟参数和散射特性。

2 信道估计算法

信道估计的难点在于对于不同的接收天线每个子载波对应多个信道参数。但是每个信道下不同子载波上对应的信道参数具有相关性，可以根据这种相关性来进行准确的信道参数估计。

2.1 基本信道估计方案

在接收端对应于第[i]个发射天线上第[n]个OFDM符号中第[k]个子载波上的频域信道响应可以表示为：

[Hi[n，k]=l=0K0-1hi[n，l]WklK] （9）

可以看出为了估计得到[Hi[n，k]]只需要先估计[hi[n，l]]。则在每个接收天线上的接收信号可以表示为：

[r[n，k]=i=12Hi[n，k]ti[n，k]+w[n，k]] （10）

式中：[k=0，1，…，K-1。]如果传输信号为训练符号则[ti[n，k]，i=1，2]已知，对[hi[n，l]]的时域估计可以通过MMSE代价函数的最小化优化来得到，其MMSE代价函数为：

[Chi[n，l]；i=1，2=k=0K-1r[n，k]-i=12l=0K0-1hi[n，l]WklKti[n，k]2] （11）

因此[hi[n，l]]的优化可由下式决定：

[?Chi[n，l]?hi[n，l0]=12?Chi[n，l]??hi[n，l0]-j?Chi[n，l]??hi[n，l0]=0] （12）

其中[?（?）]和[?（?）]分别代表复数的取实部和取虚部计算，经过计算后可以变化为：

[k=0K-1r[n，k]-i=12l=0K0-1hi[n，l]WklKti[n，k]?Wkl0Kt?j[n，k]=0] （13）

其中[j=1，2]，[l0=0，1，…，K0-1]，符号[?]为取共扼符号。然后定义：

[pj[n，l]=k=0K-1r[n，k]t?j[n，k]W-klK] （14）

[pij[n，l]=k=0K-1ti[n，k]t?j[n，k]W-klK] （15）

所以式（13）可以表示为：

[i=12l=0K0-1hi[n，l]qij[n，l0-l]=pj[n，l0]] （16）

如果表示成矩阵形式则有：

[Q[n]h[n]=p[n]] （17）

其中：

[h[n]=h1[n]h2[n] p[n]=p1[n]p2[n]Q[n]=Q11[n]Q21[n]Q12[n]Q22[n]] （18）

并且有：

[hi[n]=hi[n，0]，hi[n，1]，…，hi[n，K0-1]Tpi[n]=pi[n，0]，pi[n，1]，…，pi[n，K0-1]TQij[n]=qij[n，0]qij[n，-1]…qij[n，-K0+1]qij[n，1]qij[n，0]…qij[n，-K0+2]????qij[n，K0-1]qij[n，K0-2]…qij[n，0]] （19）

所以信道参数矩阵[h[n]]可以通过下式求得：

[h[n]=Q-1[n]p[n]] （20）

根据所得到的时域信道参数经过FFT即可获得信道频域响应。

系统首先利用信号中的已知训练序列计算得到初始的信道估计，随后的数据符号利用前一个符号估计得到的信道参数进行译码和解调，同时根据解调后的数据重新编码作为信道估计的输入参考信号进行信道估计以更新信道参数。这样接收机可以对每个符号进行信道估计，可以保证快速衰落信道下的系统性能。

2.2 简化方案

由式（20）可以发现为了获得时域信道估计必须计算[Q-1。]如果按照传统算法需要对[K0×K0]大小的矩阵进行求逆计算。由于信道延迟长度未知，常利用循环前缀的长度来作为最大的信道延迟长度来进行计算，所以计算量仍然很大。

从式（17）可以看出信道相关矩阵[Q]为一个Toeplitz块矩阵，所以信道估计求解问题是可以看成一个TBT线性系统。文献[9]给出了一种针对TBT（Toeplitz?block?Toeplitz）线性系统的快速算法，该算法将TBT系统求解问题转化为二维的解卷积问题，利用二维FFT将解卷积转化成二维变换域内的矩阵向量除法，简化了矩阵的求解过程。

所以可以将式（17）写成二维卷积形式如下：

[Q′ij[n]??h[n]=p[n]] （21）

式中：[??]为二维卷积符号；[Q′ij[n]，][h[n]，][p[n]]均为[3×（2K0-1）]的矩阵，并满足：

[Q′ij[n]=q21[n，-K0+1]…q21[n，0]…q21[n，K0-1]q11[n，-K0+1]…q11[n，0]…q11[n，K0-1]q12[n，-K0+1]…q12[n，0]…q12[n，K0-1]；]

[h[n]=h[n]000；][h[n]=h1[n，0]h1[n，1]…h1[n，K0-1]h2[n，0]h2[n，1]…h2[n，K0-1]；]

[p[n]=p[n]z12z21z22；][p[n]=p1[n，0]p1[n，1]…p1[n，K0-1]p2[n，0]p2[n，1]…p2[n，K0-1]] （22）

其中[z12，z21，z22]代表在二维线性卷积结果中的扩展部分，该部分与[p[n]]有很强的相关性，可以利用带限信号的数据扩展性质计算得到内插滤波器系数，扩展部分数据通过对前[2K0+1]个数据通过外插推算得到。内插滤波器系数不需要数据统计信息即可确定，并且二维内插可以利用一维内插函数通过两次一维内插实现二维数据扩展，仅需要计算[3（K0-1）]个数据，所以数据外插的计算量非常有限。当这些扩展数据得到之后，整个方程求解即可按照二维解卷积问题来解决。而整个信道估计过程可以简化，如图2所示。

图2 信道估计简化框图

具体的方程求解过程可以划分为以下步骤：

（1） 根据[p[n]]经过两次一维外插得到[z12，z21，z22，]构成[p[n]；]

（2） 对[p[n]]和[Q′ij[n]]分别进行二维DFT计算，在两个所得到的矩阵均为非零值的位置上的数据进行除法计算；

（3） 由于零值位置数据不完整，所以需要在上一过程结果的基础上加以外插得到[h[n]]完整的二维DFT值，再对其进行二维IDFT计算，并在对应位置上得到[h[n]]，重组后即可得到信道参数矩阵[h[n]]。

整个方程求解过程不需要复杂的矩阵求逆和矩阵乘法，需要用到的计算只有一维外插和二维DFT以及二维IDFT计算。整个过程的计算量需要[54K0log2（2K0）+][6K20-3K0+3]个实数乘加运算。并且由于插值后的矩阵含有大量零值，所以二维DFT的计算量还可以减小。对比于文献[5]中[O（K50）]和文献[6]中[O（K40）]的计算量具有很大的优势。

3 仿真结果

在对MIMO?OFDM仿真系统搭建的过程中，参考了IEEE 802.16e中的系统参数，信道带宽为10 MHz，信道被划分为1 024个子信道。OFDM符号长度为102.4 μs，循环前缀长度为25.6 μs。仿真信道采用TU6信道，最大信道扩展延迟为5 μs，并且添加100 Hz多普勒频率模拟移动信道。

仿真系统采用两个发射天线和两个接收天线实现空间分集，不同发射机与接收机之间的信道互相独立。系统中空时分组码（STBC）采用文献[3]中定义的编码方式，以数据簇为单位进行编码，编码后的数据经过4QAM映射分成两个OFDM符号分别进行发射。

图3给出了TU6信道下多普勒频率为100 Hz，采用4QAM调制时估计器的MSE性能和BER性能。

图3 信道估计性能曲线

其中，理想的信道估计表示采用精确的信道参数进行仿真，而basic MMSE表示基本的MMSE算法，simplify MMSE表示简化后的MMSE算法。从图3（a）中可以发现简化算法的MSE性能相对于基本MMSE算法有大约0.5 dB的损失，这是由于简化算法在进行内插计算引入的误差所造成，从图3（b）中可以看出简化后的MMSE算法的BER性能相对于基本的MMSE算法有大约1 dB的下降，与理想信道相比有接近3 dB的性能差距。但是考虑到复杂度明显的降低，该简化算法的优势仍非常明显。

4 结 语

本文研究了空时编码MIMO?OFDM系统的信道估计算法，提出了针对MMSE信道估计算法的简化方案，根据数据相关矩阵为Toeplitz块矩阵的特性，将信道估计问题转化为Toeplitz块矩阵线性方程求解问题，并且利用Toeplitz块矩阵快速算法快速求解方程，方程解算过程仅需要数据内插和二维FFT/IFFT计算，避免了复杂的矩阵求逆和矩阵相乘，大大降低了信道估计的复杂度。仿真结果表明在复杂度大大降低的前提下系统误码率与MMSE算法相比仅有大约1 dB的差距，具有很强的实用性。

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