基于粒子群优化算法的直升机粘弹减摆器模型参数优化计算

李源

摘 要：在时域内基于热不可逆原理建立了直升机粘弹减摆器的模型。通过模型参数绘制出粘弹减摆器在受剪力作用时的应力应变关系，并对模型参数进行了粒子群优化计算。结果表明：所建立的模型能够很好地反映粘弹减摆器的非线性特性，通过粒子群优化算法求解的模型参数使剪切应力应变关系曲线的总体误差更小，更能反映实际的变化关系。

关键词：粘弹减摆器；非线性模型；粒子群优化；参数优化

1 粘弹减摆器

1.1 主要作用及结构形式

直升机动力学问题一直是限制直升机发展的主要问题，而动力学问题又可以分为两大类，即直升机动稳定性问题和直升机动态响应问题。在动稳定性问题中，“地面共振”和“空中共振”问题一直是人们关注的焦点，该问题一旦出现就会酿成灾难性的事故，而粘弹减摆器作为直升机旋翼桨毂部分的重要零部件，能够为直升机桨叶的摆振运动提供足够的刚度和阻尼，用来抑制直升机的“地面共振”和“空中共振”，从而提高直升机的动力学稳定性。

粘弹减摆器一般由硅橡胶和钢板形成的层压结构构成，其结构形式很多，一般有以下三种形式：板式粘弹减摆器、筒式粘弹减摆器和多层叠加式粘弹阻尼器，如图1所示。

（a）板式粘弹减摆器 （b）筒式粘弹减摆器

（C）多层叠加式粘弹减摆器

图1 粘弹减摆器的三种结构形式

1.2时域模型

E.C.Smith等人基于热不可逆原理在时域内建立了线性滞弹位移场（Anelastic displacement field，ADF）材料模型，该模型是通过在无弹位移场将非线性弹簧和非线性Kelvin元件串联而成，其单滞弹位移场的材料本构关系如下：

（1）

（2）

式中，？滓和？着分别是材料的总应力和总应变，？滓i和？着i分别是第i个滞弹性位移场的应力和应变，？滓■■和？着■■分别是第i个滞弹性位移场的滞弹性应力和滞弹性应变，N是滞弹性场的个数，Gu是材料的剪切模量，？赘i是第i个滞弹性场的松弛时间，ci是第i个滞弹性位移场与弹性位移场间的耦合系数。

当N=1时，广义的线性ADF模型就变成单层ADF模型，该问题可以简化成一个一维剪切问题，？着表示横截面位移场的总位移，？着A表示滞弹位移场部分的位移，此时，就是用一个单层的ADF来建立滞弹性位移场的模型。如图2所示：一个阻尼器和一个与其平行的弹性元件共同构成一个Kelvin元件，再与一个弹性元件串联构成广义的Maxwell模型。

现有的非线性粘弹性材料模型都是在线性单层ADF模型的基础上发展而来的，如图3所示，图中穿越弹簧元件和阻尼元件的箭头表示它们是非线性的，此时弹性元件和Kelvin模块都具有非线性力学特性。

2 模型参数识别和验证

2.1 模型参数识别

首先要确定出现在非线性ADF模型中的特征函数f、g和h，这三个特征函数是用来描述材料在受到各种变化力时的行为，这部分主要用来合成非线性ADF模型的参数。对于这三个未知的特征函数的方程形式，我们用Ku、Ka和d来表示，方程形式的选取加以修改如下：

（8）

（9）

（10）

（11）

在上述方程形式中，保留了基础的低幅值线性材料特征，常数ku1、ka1和kd1分别相当于线性ADF模型中的参数Gu、c和？赘。模型中的参数可以通过非线性减摆器动态试验数据来识别，识别出来的数据是力信号和位移信号，而模型的参数关系是关于应力和应变的，因此需要把力和位移的信号转化为应力和应变的关系，其对应关系为：

（12）

（13）

于是式（8～11）中的系数可以通过试验数据进行参数识别，首先对于第i时刻的应变值？着i，可根据式3求得相应的应力值？滓i，然后得到各时刻的模型预测值，对其进行优化处理，就可以得到模型参数。

2.2 模型验证

为了验证该粘弹减摆器的非线性ADF模型的正确性，下面将模型参数理论值和实际试验[8]数据通过应力应变曲线进行对比，如图4所示，该图是在无预偏置下粘弹减摆器模型理论值和实验值的数据对比，图中离散点是在4Hz简谐激振力作用下所测出的剪切位移为1cm的试验值，光滑曲线是通过非线性ADF模型识别出来的参数所绘制的应力应变滞迟回线。从图中可以直观地看出试验值和理论值吻合良好，该非线性ADF模型较理想地表现出粘弹性材料的非线性特性。

3 模型参数的粒子群优化计算

从模型验证的应力应变关系曲线可以看到，根据非线性ADF模型绘出的关系曲线与实验值基本一致，但是在中间部分区域与实验值还是存在一些出入，为了更精确地反映出实际工作中粘弹减摆器的应力应变迟滞回线的特性，减少理论计算和实际实验结果的误差，下面将通过粒子群优化算法来对模型参数进行优化计算，并将通过优化计算的结果绘制出的应力应变关系曲线计算所得的结果进行对比。

根据实验获得的频率在4Hz时的剪切应力应变关系曲线如图5所示：

通过实验数据对模型参数进行粒子群优化计算，首先计算幅值为0.1cm，频率为4Hz时的应力应变关系曲线，如图5中最里面的曲线，在图上获取一定数量的实验点，根据非线性ADF模型和式（8～11）用粒子群优化算法来计算参数ku1，ku2，ku3，ku4和ka1的值，选取五维的空间，学习因子c1=2，c2=2，惯性权重w=0.8，最大迭代次数为3000，初始化群体个体数目为30，通过MATLAB编程计算所得的优化参数结果如下：

ku1=1.309 ku2=-2.254 ku3=2.184 ku4=3.151 ka1=0.012

计算所得的优化极值为0.651，满足优化极值要求。endprint

根据所计算的参数值描绘出剪切应力应变关系曲线如图6所示，将该优化曲线中使用一般算法计算的曲线相对比如图7所示：

由图7可见，使用粒子优化算法计算所得的结果和使用一般算法所得的结果很相近，这是因为当幅值较小时，阻尼较小，粘弹减摆器非线性材料的动力学特性无法体现出来，幅值越小，材料的特性越接近线性，所以使用粒子优化算法和一般算法所得的结果差异不大，当幅值足够小时，两者的计算结果接近重合。

下面将根据粒子群优化算法来计算幅值为0.5cm，频率为4Hz时的剪切应力应变关系曲线，如图5中中间的曲线，同样在图上获取一定数量的实验点，用粒子群优化算法通过MATLAB编程，计算所得的优化参数结果如下：

ku1=0.866 ku2=-4.771 ku3=6.148 ku4=8.836 ka1=0.016

计算所得的优化极值为0.946，满足优化极值要求。

根据所计算的参数值描绘出剪切应力应变关系曲线如图8所示，将该优化曲线中使用一般算法计算的曲线相对比如图9所示：

从图9中可以看出，使用粒子群优化算法计算所绘制出的剪切应力应变关系曲线与实验所得曲线误差很小，几乎重合一致，使用一般计算方法所得的曲线虽然也能较好地反应粘弹性材料的迟滞特性，但是在曲线拟合上还是存在一定的误差，没有使用粒子群优化算法计算所得的结果精确。

根据所计算的参数值描绘出剪切应力应变关系曲线如图10所示，将该优化曲线中使用一般算法计算的曲线相对比如图11所示：

从图11可以看出，使用一般计算方法所得出的曲线在中间部分与原实验曲线存在一定的误差，虽然也能较好地体现出非线性材料的迟滞特性，但是误差较大；而使用粒子群优化算法计算得出的曲线在中间90%的部分几乎与原实验曲线重合，两者之间的误差很小，可以说与原实验曲线是相一致的；但在实验两端，两种计算方法所得到的剪切应力应变关系曲线都不可避免的存在一定的误差，这可能是由曲线两端趋势的突变引起的。

4 结束语

根据粘弹减摆器非线性ADF模型，用粒子群优化算法对模型参数进行了优化计算。优化计算的模型参数不仅能够反应幅值较小时的实验应力应变曲线关系，当幅值变大时仍能够很好的与实验曲线相一致，较一般计算方法更为精确，可见所采用的粒子群优化算法合理，且优化方法有效可行。因此通过粒子群优化算法计算的模型参数具有更广的适用范围，可以用来计算有静位移作用下的剪切应力应变关系等。endprint

根据所计算的参数值描绘出剪切应力应变关系曲线如图6所示，将该优化曲线中使用一般算法计算的曲线相对比如图7所示：

由图7可见，使用粒子优化算法计算所得的结果和使用一般算法所得的结果很相近，这是因为当幅值较小时，阻尼较小，粘弹减摆器非线性材料的动力学特性无法体现出来，幅值越小，材料的特性越接近线性，所以使用粒子优化算法和一般算法所得的结果差异不大，当幅值足够小时，两者的计算结果接近重合。

下面将根据粒子群优化算法来计算幅值为0.5cm，频率为4Hz时的剪切应力应变关系曲线，如图5中中间的曲线，同样在图上获取一定数量的实验点，用粒子群优化算法通过MATLAB编程，计算所得的优化参数结果如下：

ku1=0.866 ku2=-4.771 ku3=6.148 ku4=8.836 ka1=0.016

计算所得的优化极值为0.946，满足优化极值要求。

根据所计算的参数值描绘出剪切应力应变关系曲线如图8所示，将该优化曲线中使用一般算法计算的曲线相对比如图9所示：

从图9中可以看出，使用粒子群优化算法计算所绘制出的剪切应力应变关系曲线与实验所得曲线误差很小，几乎重合一致，使用一般计算方法所得的曲线虽然也能较好地反应粘弹性材料的迟滞特性，但是在曲线拟合上还是存在一定的误差，没有使用粒子群优化算法计算所得的结果精确。

根据所计算的参数值描绘出剪切应力应变关系曲线如图10所示，将该优化曲线中使用一般算法计算的曲线相对比如图11所示：

从图11可以看出，使用一般计算方法所得出的曲线在中间部分与原实验曲线存在一定的误差，虽然也能较好地体现出非线性材料的迟滞特性，但是误差较大；而使用粒子群优化算法计算得出的曲线在中间90%的部分几乎与原实验曲线重合，两者之间的误差很小，可以说与原实验曲线是相一致的；但在实验两端，两种计算方法所得到的剪切应力应变关系曲线都不可避免的存在一定的误差，这可能是由曲线两端趋势的突变引起的。

4 结束语

根据粘弹减摆器非线性ADF模型，用粒子群优化算法对模型参数进行了优化计算。优化计算的模型参数不仅能够反应幅值较小时的实验应力应变曲线关系，当幅值变大时仍能够很好的与实验曲线相一致，较一般计算方法更为精确，可见所采用的粒子群优化算法合理，且优化方法有效可行。因此通过粒子群优化算法计算的模型参数具有更广的适用范围，可以用来计算有静位移作用下的剪切应力应变关系等。endprint

根据所计算的参数值描绘出剪切应力应变关系曲线如图6所示，将该优化曲线中使用一般算法计算的曲线相对比如图7所示：

由图7可见，使用粒子优化算法计算所得的结果和使用一般算法所得的结果很相近，这是因为当幅值较小时，阻尼较小，粘弹减摆器非线性材料的动力学特性无法体现出来，幅值越小，材料的特性越接近线性，所以使用粒子优化算法和一般算法所得的结果差异不大，当幅值足够小时，两者的计算结果接近重合。

下面将根据粒子群优化算法来计算幅值为0.5cm，频率为4Hz时的剪切应力应变关系曲线，如图5中中间的曲线，同样在图上获取一定数量的实验点，用粒子群优化算法通过MATLAB编程，计算所得的优化参数结果如下：

ku1=0.866 ku2=-4.771 ku3=6.148 ku4=8.836 ka1=0.016

计算所得的优化极值为0.946，满足优化极值要求。

根据所计算的参数值描绘出剪切应力应变关系曲线如图8所示，将该优化曲线中使用一般算法计算的曲线相对比如图9所示：

从图9中可以看出，使用粒子群优化算法计算所绘制出的剪切应力应变关系曲线与实验所得曲线误差很小，几乎重合一致，使用一般计算方法所得的曲线虽然也能较好地反应粘弹性材料的迟滞特性，但是在曲线拟合上还是存在一定的误差，没有使用粒子群优化算法计算所得的结果精确。

根据所计算的参数值描绘出剪切应力应变关系曲线如图10所示，将该优化曲线中使用一般算法计算的曲线相对比如图11所示：

从图11可以看出，使用一般计算方法所得出的曲线在中间部分与原实验曲线存在一定的误差，虽然也能较好地体现出非线性材料的迟滞特性，但是误差较大；而使用粒子群优化算法计算得出的曲线在中间90%的部分几乎与原实验曲线重合，两者之间的误差很小，可以说与原实验曲线是相一致的；但在实验两端，两种计算方法所得到的剪切应力应变关系曲线都不可避免的存在一定的误差，这可能是由曲线两端趋势的突变引起的。

4 结束语

根据粘弹减摆器非线性ADF模型，用粒子群优化算法对模型参数进行了优化计算。优化计算的模型参数不仅能够反应幅值较小时的实验应力应变曲线关系，当幅值变大时仍能够很好的与实验曲线相一致，较一般计算方法更为精确，可见所采用的粒子群优化算法合理，且优化方法有效可行。因此通过粒子群优化算法计算的模型参数具有更广的适用范围，可以用来计算有静位移作用下的剪切应力应变关系等。endprint